山西省长治市第十五中学高三数学理月考试题含解析

山西省长治市第十五中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知复数f（n）=in（n∈N*），则集合{z|z=f（n）}中元素的个数是(

)A．4 B．3 C．2 D．无数参考答案：A【考点】虚数单位i及其性质；集合中元素个数的最值．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数的幂运算，化简求解即可．【解答】解：复数f（n）=in（n∈N*），可得f（n）=，k∈Z．集合{z|z=f（n）}中元素的个数是4个．故选：A．【点评】本题考查复数单位的幂运算，基本知识的考查．2.集合A={x|x2﹣a≤0}，B={x|x＜2}，若A?B，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，4） C．[0，4] D．（0，4）参考答案：B【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】分类讨论，利用集合的包含关系，即可得出结论．【解答】解：a=0时，A={0}，满足题意；当a＜0时，集合A=?，满足题意；当a＞0时，，若A?B，则，∴0＜a＜4，∴a∈（﹣∞，4），故选B．3.已知直线3x+（1﹣a）y+1=0与直线x﹣y+2=0平行，则a的值为（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2参考答案：A【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线的方程可得其斜率，由平行可得直线的斜率相等，解此方程可得．【解答】解：可得直线x﹣y+2=0的斜率为1，由于直线平行，故有斜率相等，故可得=1，解得a=4故选：A4.已知函数，若存在实数，满足，且，则的取值范围是（A）(20，32)

（B）(9,21)

（C）(8,24)

（D）(15，25)参考答案：B5.如图是判断“美数”的流程图，在[30，40]内的所有整数中“美数”的个数是（

）A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：C【分析】由程序框图可知，美数就是能被3整除不能被6整除或能被12整除的数，即可得到本题答案.【详解】由程序框图知美数是满足：能被3整除不能被6整除或能被12整除的数，在内的所有整数中，所有的能被3整除的数有30，33，36，39共4个，其中能被12整除的有36，不能被6整除的有33，39，所以在[30，40]内的所有整数中“美数”的个数是3.故选：C【点睛】本题主要考查程序框图，属基础题.6.双曲线的左、右焦点分别是、，过垂直x轴的直线与双曲线C的两渐近线的交点分别是M、N，若为正三角形，则该双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A7.

已知f(x)=是奇函数，那么实数a的值等于（

）A．1

B．-1

C．0

D．±1参考答案：A8.向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线,则实数（

）A.－2 B.－1 C.1 D.2参考答案：D【分析】由图像，根据向量的线性运算法则，可直接用表示出，进而可得出.【详解】由题中所给图像可得：，又，所以.故选D【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量的线性运算法则，即可得出结果，属于基础题型.9.函数在定义域内可导，若，且当时，，设，则（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B

10.对于定义域为[0,1]的函数，如果同时满足以下三个条件：①对任意的，总有②③若，，都有成立；则称函数为理想函数．下面有三个命题：若函数为理想函数，则；函数是理想函数；若函数是理想函数，假定存在，使得，且，则；其中正确的命题个数有（

）A．3个

B．2个

C．1个

D．0个参考答案：A试题分析：（1）取，代入，可得,即，由已知对任意的，总有可得，∴;（2）显然在上满足；②．若，且，则有,故满足条件①②③，所以为理想函数．由条件③知，任给，当时，由知，∴．若，则，前后矛盾；若，则，前后矛盾．故．∴三个命题都正确，答案为．考点：1．新定义问题；2．函数的定义域、值域；3．函数的单调性．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则________．参考答案：【知识点】二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．C6C2

【答案解析】

解析：∵sinα﹣cosα=，①0≤x≤π∴1﹣2sinαcosα=，∴2sinαcosα=，∴α∈（0，）∴1+2sinαcosα=，∴sinα+cosα=，②由①②得sinα=，cosα=，∴sin（+2α）=cos2α=2cos2α﹣1==﹣，故答案为：﹣．【思路点拨】把所给的条件两边平方，写出正弦和余弦的积，判断出角在第一象限，求出两角和的结果，解方程组求出正弦和余弦值，进而用二倍角公式得到结果．12.等差数列{an}中，a2=8，S10=185，则数列{an}的通项公式an=

▲

(n?N*)．参考答案：3n+213.圆（θ为参数）上的点P到直线（t为参数）的距离最小值是______．参考答案：【分析】化成直角坐标方程后用点到直线的距离，再减去半径．【详解】由得x2+（y-1）2=1，由，得x-2y-3=0，圆心（0，1）到直线x-2y-3=0的距离，所以所求距离的最小值为．故答案为：．14.设在约束条件下，目标函数的最大值为4，则的值为

．参考答案：3本题考查线性规划求最值和解一元二次不等式的问题，难度中等。目标函数z=x+5y化为，因此当目标函数过的交点即时z取最大值，此时，解得m=3。15.在△ABC中，若a=2,b+c=7,cosB=,则b=

。参考答案：4 因为若a=2,b+c=7,cosB=,所以由余弦定理得：，解得b=4.16.在△中，已知，，且的面积为，则边长为

．参考答案：7略17.数列为等差数列，且，则数列的通项公式是___

；参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某市食品药品监督管理局开展2019年春季校园餐饮安全检查，对本市的8所中学食堂进行了原料采购加工标准和卫生标准的检查和评分，其评分情况如下表所示：中学编号12345678原料采购加工标准评分x10095938382757066卫生标准评分y8784838281797775（1）已知x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（精确到0.1）（2）现从8个被检查的中学食堂中任意抽取两个组成一组，若两个中学食堂的原料采购加工标准和卫生标准的评分均超过80分，则组成“对比标兵食堂”，求该组被评为“对比标兵食堂”的概率．参考公式：，；参考数据：，．参考答案：（1）；（2）．（1）由题意得：，，，．故所求的线性回归方程为．（2）从8个中学食堂中任选两个，共有28种结果：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．其中原料采购加工标准的评分和卫生标准的评分均超过80分的有10种结果：，，，，，，，，，，所以该组被评为“对比标兵食堂”的概率为．19.（本小题满分12分）设函数（1）若关于x的不等式在有实数解，求实数m的取值范围；（2）设，若关于x的方程至少有一个解，求p的最小值.（3）证明不等式：

参考答案：（1）依题意得 ，而函数的定义域为∴在上为减函数，在上为增函数，则在上为增函数即实数m的取值范围为

………………4分（2） 则显然，函数在上为减函数，在上为增函数则函数的最小值为

所以，要使方程至少有一个解，则，即p的最小值为0

…………8分（3）由（2）可知：在上恒成立所以

，当且仅当x=0时等号成立令，则

代入上面不等式得：即，

即

所以，，，，…， 将以上n个等式相加即可得到：

………………12分20.选修4－1：几何证明选讲如图，Δ内接于⊙O，,直线切⊙O于点，弦，与相交于点.（1）求证：Δ≌Δ；（2）若，求．参考答案：（Ⅱ）∵∠EBC=∠BCM

∠BCM=∠BDC∴∠EBC=∠BDC=∠BAC

BC=CD=4又

∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB

∴

BC=BE=4

……………8分设AE=，易证

ΔABE∽ΔDEC∴又

∴……………10分

略21.(本小题满分13分）

已知数列的前项和,.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和.参考答案：（Ⅰ）由，当时，当时，而，所以数列的通项公式，.

………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得

当为偶数时，

当为奇数时，为偶数，综上，

…………13分

22.某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润30元（1）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N）的函数解析式（2）商店记录了50天该商品的日需求量n（单位：件）整理得表：日需求量89101112频数91115105若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[400，500]的概率．参考答案：考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表．专题：概率与统计．分析：（1）根据题意分段求解得出当1≤n≤10时，y利润，当n＞10时，y利润，（2）运用表格的数据求解：频数9天，380；频数11天，440；频数9，500；频数5，560，得出当天的利润在区间[400，500]有20天，即可求解概率．解答： 解：（1）当1≤n≤10时，y利润=50n+（10﹣n）×（﹣10）=60n﹣100，当n＞10时，y利润=50×10+（10﹣n）×30=800﹣30n，所以函数解析式y利