2023-2024学年天津市南开大学附中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年天津市南开大学附中高二（下）月考数学试卷（3月份）一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知C172x=CA.2 B.5 C.2或5 D.2或62.已知函数f(x)=eA.1 B.0 C.e2 D.3.已知曲线f(x)=x3−ax2+2A.−2 B.−1 C.2 4.用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有(

)A.40个 B.42个 C.48个 D.52个5.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有(

)A.36种 B.48种 C.72种 D.96种6.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)，f′(x)A.(0,e2) B.(l7.在(1+x)3+(1A.83 B.84 C.55 D.888.2022年北京冬奥会结束了，有7名志愿者合影留念，计划站成一横排，但甲不站最左㙐，乙不站最右端，丙不站正中间，则理论上他们的排法有(

)A.3864种 B.3216种 C.3144种 D.2952种9.已知函数f(x)=xlnxA.(−∞,−12) B.10.已知函数f(x)=lnA.(0,1) B.(1,二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。11.已知函数f(x)=tanx，则曲线12.已知函数f(x)=x3+3ax13.在(3x−3x)n14.在(x−1x)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x15.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有______种(用数字作答)．16.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，“赵爽弦图”如图所示，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成，现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有______种(用数字作答)．

17.(2x+x)(x18.若关于x的方程kx+1=ln三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题12分)

求下列函数的导函数．

(1)y=cos(3x−2)；20.(本小题12分)

已知二项式(x2+1x)n(n∈N*21.(本小题12分)

已知函数f(x)=(t+1)x−lnx．

(1答案和解析1.【答案】C

【解析】解：由C172x=C17x+2(x∈N+)

可得22.【答案】D

【解析】【解答】

解：∵f′(x)=2e2x，

∴△x→0limf3.【答案】C

【解析】解：求导函数可得f′(x)=3x2−2ax

∵函数f(x)=x3−ax2+2在x=1处的切线倾斜角为344.【答案】D

【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：

①、若0在个位，

此时只须在1，2，3，4，5中任取2个数字，作为十位和百位数字即可，

有A52=20个没有重复数字的三位偶数；

②、若0不在个位，

此时必须在2或4中任取1个，作为个位数字，有2种取法，

0不能作为百位数字，则百位数字有4种取法，十位数字也有4种取法，

此时共有2×4×4=32个没有重复数字的三位偶数；

综合可得，共有20+32=52个没有重复数字的三位偶数；

故选：D．

由于0不能在首位数字，则分2种情况讨论：①、若0在个位，此时5.【答案】C

【解析】解：根据题意，分两种情况讨论；

①两端恰有两个空座位相邻，则必须有一人坐在空座的边上，其余两人在余下的三个座位上任意就座，此时有2C31A32=36种坐法；

②两个相邻的空座位不在两端，有三种情况，此时这两个相邻的空座位两端必须有两人就座，余下一人在余下的两个座位上任意就座，此时有3A32A26.【答案】C

【解析】解：设g(x)=f(x)x(x>0)，则g′(x)=xf′(x)−f(x)x2<0，

∴g(x)在(0,+∞)上单调递减，

7.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查二项式系数的性质，组合数性质的应用，考查计算能力，属于基础题．

通过求出各项二项式中x2项的系数，利用组合数的性质求和即可．

【解答】

解：(1+x)3+(1+x)4+8.【答案】B

【解析】解：根据题意，分种情况讨论：

①甲在右端，若乙在中间，则丙有5个位置可选，再将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，有5A44=120种情况；

甲在右端，若乙不在中间，则乙还有5个位置可选，此时丙还有4个位置可选，

再将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，有5×4×A44=480种情况，

两种情况合并，共有(5+5×4)A44=600种情况；

②若甲在中间，分丙在右端与丙不在右端两种，情况同①共有(5+5×4)A44=600种情况；

③若甲不在中间也不在右端，先排甲，有4种方法，再排乙，

乙若在中间，则丙有5种排法；乙若不在中间，则乙有4种排法，此时丙有49.【答案】C

【解析】解：∵f(x)=xlnx+ax2+a2在区间(0,+∞)上单调递减，

∴f′(x)=lnx+1+2ax≤0在(0,+∞)上恒成立⇒−2a10.【答案】B

【解析】解：由f(x)=lnx，则f′(x)=1x，

则g(x)=f(x)−f′(x)=lnx−1x．

函数g(x)的定义域为(0,+∞)，

g′(x)=1x+1x2>11.【答案】x−【解析】解：∵f(x)=tanx，

∴f′(x)=1cos2x，

则f′(π)=1.12.【答案】11

【解析】解：∵f(x)=x3+3ax2+bx+a2，

f′(x)=3x2+6ax+b，函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=−1时有极值0，

可得

f13.【答案】252

【解析】解：∵在(3x−3x)n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，

∴2n=256，解得n=8，

∴(3x−3x)8中，Tr+1=C8r(3x)8−r(14.【答案】70

【解析】解：由只有第5项的二项式系数最大可得：n=8，

∴通项公式Tr+1=C8rx8−r(−1x)r=(−1)r15.【答案】60

【解析】解：分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得，共有A43=24种；

一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张，共有C32A42=36种，

共有24+36=60种．

16.【答案】420

【解析】解：根据题意，假设五个区域分别为①②③④⑤，

分2步进行分析：

对于区域①②③，三个区域两两相邻，有A53=60种情况，

对于区域④⑤，若④与②的颜色相同，则⑤有3种情况，

若④与②的颜色不同，则④有2种情况，⑤有2种情况，此时区域④⑤的情况有2×2=4种，

则区域④⑤有3+4=7种情况，17.【答案】−20【解析】解：根据(x−1)5的展开式Tr+1=C5r⋅(−1)r⋅x5−r，(r=0,1,2,3,4,18.【答案】(−【解析】解：设f(x)=lnx−kx−1，

则f′(x)=1x−k=1−kxx

(x>0)，

若k≤0，则f′(x)>0，f(x)为(0,+∞)上的增函数，

∵x→0时，f(x)→−∞，

∴f19.【答案】解：(1)由y=cos(3x−2)，得y′=−3sin(3x−2)【解析】根据题意，根据基本初等函数的求导公式以及求导法则以及复合函数的求导法则，即可求得答案．

本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．20.【答案】解：(1)Tk+1=Cnk(x2)n−k⋅(1x)k=Cnk(12)n−kxn−3k2，

∵第7项为常数项，∴k=6且n−3k2=0，

【解析】(1)先写出二项式的通项，再根据第7项为常数项求出n的值．

(2)由(1)知Tk+121.【答案】解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=t+1−1x=(t+1)x−1x，

当t≤−1时，f′(