圆周率的计算

关于圆周率的计算1、实验时期通过实验进行估算,这是计算圆周率

的的第一阶段中国:“圆径一而周三”----《周髀算经》(2)“周三径一,方五斜七”----木工口诀

古埃及：数谷粒与称重量：第2页,共22页，2024年2月25日，星期天2、几何算法用圆内接正多边形和圆外切正多边形逼近的方法第3页,共22页，2024年2月25日，星期天6边形12边形24边形圆刘徽:割之弥细,所失弥少.割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣

3n=3072)阿基米德第4页,共22页，2024年2月25日，星期天

祖冲之的这一研究成果享有世界声誉:巴黎“发现宫”科学博物馆的墙壁上著文介绍了祖冲之求得的圆周率,莫斯科大学礼堂的走廊上镶嵌有祖冲之的大理石塑像,月球上有以祖冲之命名的环形山……公元5世纪,祖冲之《隋书·律历志》：“宋末,南徐州从事祖冲之更开密法.以圆径一亿为丈,圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽,朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽,正数在盈朒二限之间.密率:圆径一百一十三,圆周三百五十五约率,圆径七,周二十二。”

第5页,共22页，2024年2月25日，星期天1579年,韦达证明1630年,德国人鲁道夫:小数点以后35位1150年,印度数学家婆什迦罗:3.141614241424年,中亚细亚数学家卡西:3.14159265358979325……….3.141

592

653

589

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462

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88第6页,共22页，2024年2月25日，星期天3、分析方法

从十七世纪中叶起,人们开始用分析方法来求π的近似值,其中应用的主要工具是收敛的无穷乘积和无穷级数.

麦琴(Machin)给出(Machin公式)第7页,共22页，2024年2月25日，星期天1656年,沃里斯(Wallis)证明取k=10取k=20第8页,共22页，2024年2月25日，星期天欧拉证明了(1735)注：BaselProblem,1644年提出第9页,共22页，2024年2月25日，星期天1、Buffon投针1.在白纸上画上许多条间距为d的平行直线2.取长为l(l<d)的针,随机地投掷在白纸上,投掷n次,观察与直线相交的次数,记为m.4、概率方法针线相交的概率第10页,共22页，2024年2月25日，星期天随机投针的概率含义针的中点M与平行线的距离x均匀分布于区间[0,d/2]

针与平行线的交角均匀分布于区间记针的中点为M,x表示点M与较近的平行线间距离,θ表示针与平行线间夹角在间隔为d的平行线间随机投掷长度为l的针[0,d/2]中随机选取x,[0,π]中随机产生θ,构成平面中点[x,θ]第11页,共22页，2024年2月25日，星期天计算针和直线相交的概率是设投掷n次,相交m次,则针与线相交的频率为m/n针与平行线相交的条件n=2212,Buffon:π=3.142;n=5000,Wolf:π=3.1593第12页,共22页，2024年2月25日，星期天d=45;l=36;n=20000;x=[];y=[];P=[];Q=[];fori=1:n,x1=rand*d*0.5;

y1=rand*pi;

if2*x1<=l*sin(y1),x=[x,x1];y=[y,y1];

elseP=[P,x1];Q=[Q,y1];endendm=length(x),p=2*l*n/(d*m)s=0:0.01:pi;plot(s,l*sin(s)/2,'k','Linewidth',2)holdonplot(y,x,'r.'),plot(Q,P,'b.'),plot([0,pi],[0,0],'k','Linewidth',2),plot([0,pi],[22.5,22.5],'k','Linewidth',2)plot([0,0],[0,22.5],'k','Linewidth',2),plot([pi,pi],[0,22.5],'k','Linewidth',2)axis([-0.2,3.3,-2,24])第13页,共22页，2024年2月25日，星期天利用蒙特卡洛算法计算圆周率第14页,共22页，2024年2月25日，星期天利用蒙特卡洛算法计算定积分第15页,共22页，2024年2月25日，星期天2、互素数分布取一个大整数N,在1到N之间随机取一对整数a,b,它们互素的概率注：随机整数randint(1,1,[])求a,b最大公约数gcd(a,b)第16页,共22页，2024年2月25日，星期天5、数值积分方法第17页,共22页，2024年2月25日，星期天数值积分方法第18页,共22页，2024年2月25日，星期天6、代数迭代对正数a0,b0,定义算术均值数列和几何均值数列若两数列极限相等,则称此极限为它们的算术几何均值,记为AGM(a0,b0)取则有记第19页,共22页，2024年2月25日，星期天年代19491973198919992011精确位数2035100万10亿2061亿2000万亿“十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内,三十位小数便能使整个可见宇宙的四周准确到连最强大的显微镜都不能分辨的一个量。”

——西蒙·纽克姆

第20页,共22页，2024年2月25日，星期天实验一小结1、几何算法:割圆法,正多边形逼近圆2、