人教A版高中数学选择性必修第二册重点训练：数列递推公式与通项公式

6.数列递推公式与通项公式

i.累加法.................................................................1

2.累积法................................................................3

3.周期数列..............................................................4

4.Sn型.................................................................7

5.观察猜想归纳型........................................................8

6.二阶等比数列.........................................................11

7,分式倒数等差型.........................................................12

8.高次取对数型.........................................................14

9.二阶等差等比函数型...................................................15

10.因式分解型..........................................................17

11.复合数列型..........................................................18

12.二阶“和”型数列....................................................20

13.综合构造型..........................................................21

1.累加法

【典例分析】

己知数列｛%｝满足q=。，“2“=%i+2"（weN*）,生用=%,+（T）"（〃€N*）,则数列｛",｝

的第2022项为（）

A.2,0"-2B.2m2一3

C.2,,）|2-2D.2,0,,-1

【答案】C

【分析】先求出的，通过条件得到。2“=4-+2"+（-D"T,再利用累加法即可求解.

【详解】由4=0，/“=%,i+2"（"eN*）,可得%=%+2=2

由«2„+i=%,+（T）"得«2„-i+（T）'i（〃eN\«>2）,

又%”=+2",可得%”=a2n_2+2"+(T严,

所以%=+2?+(-1)，4=。4+2,+(-1)2，4=4+24+(-1)3,9^2022=6^2020+21011+(-1)，

将上式相加得―2=%+(—l)+(—l)2+L+(-l)，0，°+22+23+L+2,0,,

=2+4-(.-2-)=2„„2_2

1-2

【变式训练】

1.在数列｛。“｝中，4=2,^=-^+ln^l+^j,则a“=()

A.4B.2+(〃—l)ln力C.l+〃+ln〃D.2〃+〃ln〃

【答案】D

_.,_1rL../口,।c1,〃+1,,,cia”i,〃ci,a”),n—1

【详解r】由题1意得，*■=jtt+ln——，则」ft=*-+ln——，=tl江=j^+ln----

n+1nnnn-\n-\n-\n-2n—2

&=5+1/,

211

由累加法得，—+ln—++ln-,即&!•=%+In(上不":•~

n1n-1n-21n\n-in-21

则4t=2+ln〃，所以%=2〃+〃ln/7

n

2.在数列｛4｝中，q=；,an+l-an=五一，则该数列的通项公式%=

数列｛4｝中最小的项的值为.

4»-3

【答案】

4/?-22

【详解】由题意知，％一4二看弓贵一票7.当在2时'

4=（%一。,1）+卜*一4-2）++（的一《）+4

；（小T£卜；导?一止工扑金卜;二拦

4-

4〃一3

当〃=1时，也满足该式，故该数列的通项公式。〃=-----；

4n-2

由％=3（1一止J+;,结合反比例函数的单调性可知当“21时，数列｛4｝为单调递增

数列，故数列｛风｝中最小的项的值为4=；.故答案为：拦!；!

n2

3.己知数列｛6,｝满足4=-1,an-an_｝=(-l)-n(/?..2,eN*),则4oo=.

【答案】5050

【分析】【详解】因为q=—l,a“-a,i=(-1)"♦rr(n..2,〃eN*),

22

所以“lOO—。99=10。-,心—“98=-99,...,a2—Oj=2,左右分别相加得:

2222222222

a100=-l+2-3+4-99+100,=(-l+2)+(-3+4)++(-99+100)

=(-1+2)(1+2)+(-3+4)(3+4)++(-99+100)(99+100),

=l+2+3+4+99+100.

=100X100^)=5050。

2

2.累积法

【典例分析】

已知数列｛«„｝的前〃项和为s„,«,=1,S„=n2a,,(〃eN*),则数列｛«„｝的通项公式为

2

【答案】4=7-

〃(及+1)

【详解】

2

由可得当"22时，Sn_1=(«-1)an_x,

则an=S“_%=n2a„-(n-l)2a„_,,即(n2-1)氏=(〃-，故+=士1,

a

n-\十1

.ana,,-\an-24a2„_n-X〃-2〃一3212

。〃_2an-3a2a\九+1n〃-143〃(〃+1)

22

当“=1,4=1满足an=〃([[).故数列｛a„｝的通项公式为an=拓币y.

【变式训练】

1.已知数列｛4｝满足q=2,(2〃-1)。,用=(2〃+l)a.5cN*),则%=.

【答案】18

【解析】

_2〃+1a2a32n-l

得。〃=4=4〃-2

an2n-14%2〃一3

则。5=18。

a,〃+2

2.已知数列满足二皿=——(〃eN*),且q=l,则4=

%〃

【答案】c

2

%3a,4a5an+1.、

【解析】根据题中条件可以得到一二7二二:^上A二工…,jn=—;z（〃之2）,将以上式

a11a22a33an_｝n-1

a345n+1n｛n+1）«（n+l）,、与、

子累乘可得」n^=丁彳・丁・・・・一7=^—72=—^（^^2）,当〃=1时上式也成立，故

q123n-11x22

n（n+l）

3.已知数列｛叫满足智=誓，4=3,则数列的｝的通项公式是（）

A.4=3〃B.an=n+2

C.an=2n+1D.4=3/

【答案】A

【分析】由题意可得数列［个｝为首项为3的常数列，从而可得出答案.

【详解】由题意得&=%,即&=&=L=今=?=3

/?+1nn+\n21

所以数列｛?1是以;=3首项为的常数列，则£=3,得。“=3”.故选：A

3.周期数列

【典例分析】

在数列｛%｝中，q=-2,a“+i=i--则生口棒的值为（

【答案】B

【解析】

1Ia2=1----=1------=----

由J=1一7，得'«„+l1—。“.所以

"a"

〃一1一1

an+3—1—1i——an

4+2I•

，＞1।

即数列｛4“｝以3为周期的周期数歹！L所以的016=。3==]•故选B-

【变式训练】

1..己知数列｛a,J的前〃项和为S“，4=1,〃=2,an+2-an+l-an,则82019=.

【答案】4

【分析】

归纳出数列的周期，求出一个周期的和，即得解.

【详解】

由题得。3=。2-4=2-1=1,

〃4=〃3—。2=1—2=-1，

%=%—=-]—]=-2,

=。5-%=-2_(-1)=_1,

%=。6—〃5=T-(-2)=1,

必=%—%=1-(—1)=2,

所以数列的周期为6,q+a2++6=0，

2019=6x336+3，

所以4^2019=q+生+%=1+2+1=4.

故答案为：4

2.若数列｛q｝满足4=2,%=3，4=也(〃之3且〃wN*),则出018等于()

an-2

12

A.-B.2C.3D.一

23

【答案】C

【分析】

先由题设求得数列｛%｝的前几项，然后得到数列｛”“｝的周期，进而求得结果.

【详解】

因为q=2,a,=3,«„(〃23且〃€1<：)，

*

2

a_3〃__2_1

2%=2=_1

所以生=a5--_Q_彳

4=生3

7一532I

2

12

%3-263-_%|=3

--

==1---=-2,

％3%14

--

233

所以数列｛。,｝是周期为6的周期数列，

%-1,%>1

3.已知数列｛4｝满足4=J5,〃eN"),则“2021=<)

«„

+|一,0<。“<1

A.V2-1B.V2c.V2+1D.2

【答案】A

【分析】

由递推公式求出数列的前几项,即可得数列｛%｝的周期为3,从而可求得的02L

【详解】

4-l,a.>1

解：因为q=0，用1n(〃eN*),

—,0<<1

所以%=q_1=V2—1,

—1=5/2,

a4—1=>/2-1,

4=—=y/2+l,

所以数列｛%｝的周期为3,

因为2021=3x673+2,

所以“2021=%=&-1,

故选：A.

4.Sn型

【典例分析】

2

已知数列｛为｝的前〃项和为S,=：-3〃，则通项公式为.

【答案】4=,一§("="

-2-3"-'(n..2)

【分析】由4=工计算q,由当〃22时由a〃=S“-Si求出/，即可得.

777

【详解】；数列｛%｝的前〃项和为5"=(一3",.•.当〃=1时，《=，=：—3|=-:，

当〃上2时，a.=S"-S“T=(g-3")-(|-3"T)=_2x3"T,而4=一]，不适合上式,

7[7

所以4=「3("=”，故答案为：q,=『3("=D.

-2・3"T(〃..2)〔UTS..2)

【变式训练】

1.已知为数列｛〃〃｝的前〃项和，且log2(S〃+l)=〃+l,则数列｛。〃｝的通项公式为()

A.即=2〃B.。尸伊口问

C.an=2n~!D.an=2n+I

【答案】B

【详解】由log2(S〃+1)=〃+1,得S〃=2"*，-1,当〃=1时，〃/=S/=3：当佗2时，an=Sn

—Sn/=2〃，所以数列｛丽｝的通项公式为加=1/、

2>2)

2.已知数列｛4｝的前n项和S,=2/+3〃(〃eN*),则｛4｝的通项公式为

A.a„=2n+\B.an=2n-\C.a„=4«+1D.an=4n-1

【答案】C

【分析】首先根据求出首项生的值，然后利用/=5,,-5,_|求出〃*2时%的表

达式，然后验证％的值是否适合，最后写出《，的式子即可.

【详解】因为5“=2勿+3”,

所以，当“N2时，«„=S„-5„.,=2n2+3n-\2{n-1)2+3(«-1)]=4n+1,

当”=1时，4=S[=2+3=5,上式也成立,

所以%=4〃+l.

3.已知5,,为数列｛叫的前”项和，且S"=2"'-l,则数列｛4｝的通项公式为（）

[3,71=1,1]

1・见=2〃B.q=C.4=2〃-D.%=2日

[2,72>2

【答案】B

【分析】当在2时，由％=5〃-5〃T求出勺=2"；当〃=1时，由求出6；即可求解.

【详解】当〃之2时，S〃T=2T,%=S〃-5,1=2用一1-2〃+1=2〃；

3,n=l

当九=1时，q=S[=21+I-1=3,不符合%=2",则为=

T,n>2,

5.观察猜想归纳型

【典例分析】

根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中

分别填上第5项的图形和点数.

381524)

【答案】•・・21・13•••••••35

・・・・・・・・・・・・・・III：：：：

【分析】结合图中点的规律即可写出一个通项公式以及横线处所需填的数值.

【详解】（1）设第n个图形的点数为第〃个图形有5个分支，每个分支有〃个点，中间的

•••

一个是重复，共计算5次，则为=5〃-4,%=21,••・：・•・：

.・

••

••

（2）设第，7个图形的点数为心,第八个图形有3个分支，每个分支有〃个点，中间的一个是重

复，共计算3次，则a“=3〃-2,%=13,

（3）设第"个图形的点数为见，由图可知,第"个图形横方向上有（〃+2）个点，竖方向上有

〃个点，则="（"+21）="2+2〃,4=35,

2.数列£9号27,…的一个通项公式为

【答案】（-1）"•上二

2n-l

【分析】根据数列各项所满足的规律可写出结果.

oO27」53

【详解】7=（_『.」_7（）2x4-1

'72x1-1子E等

•••一个通项公式为：（一些探

故答案为：（一厂白

【变式训练】

1.数歹U3,8,15,24,35,…的一个通项公式％等于（）

A.n2+2B.n2—n+3C.n2+2nD.2n2+n

【答案】C

【分析】用排除法对选项逐一分析即可.

【详解】本题为选择题，可用排除法，对选项逐一分析,

对于A答案，展开可得数列为3,6,11……，不符合题意，故A错误,

对于B答案，展开可得数列为3,5,9……，不符合题意，故B错误，

对于D答案，展开可得数列为3,10,21....不符合题意，故D错误,

对于C答案，展开可得数列为3,8,15.24……，符合题意，故C正确，

2.根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式%=

161116

【答案】5n-4

【分析】观察图中点数增加规律是依次增加5,可得求解。

【详解】第一图点数是1;第二图点数6=1+5;第三图是11=1+2'5；第四图是16=1+3'5

则第"个图点数4=l+(n-D?55〃-4

3.数列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的一个通项公式是%=()

B.1(10--1)

D.部0T)

【答案】C

【分析】根据0.3,0.33,0.333,0.3333,…与9,99,999,9999,…的关系,结合9,99,

999,9999,…的通项公式求解即可.

【详解】数列9,99,999,9999,…的一个通项公式是。=10"-1,U数歹U0.9,0.99,0.999,

0.9999,…的一个通项公式是4=表*(10"-1)=1-击，则数列0.3,0.33,0.333,0.3333,...

的一个通项公式是-强).

6.二阶等比数列

【典例分析】

已知数列｛4｝满足4=1,册=2；'；（〃-劣，则通项公式%=.

【答案】有匕卜""）

12a„,+3.31（1

【分析】先取倒数可得一=⑦一=2+——，即一+1=3——+1,山等比数列的定义可得

an%%a„（%）

n>2时,+1=6-3"2,即4=亚七，再检验n=1时是否符合即可

a[2〃+33i，]、

【详解】由题，因为4=井上（〃22）,所以一=—^=2+—，所以2-+1=3——+1,

2。“_1+3a„a,-an_ta,t（的）

当〃=2吐。2=：737=!，所以,+1=5+1=6,所以当〃22吐,+1=6-3"\则

—=2-3,-'-1即.=——1——

当”=1时，4=。=1,符告所以为=，^7T.故答案为:*=（〃wN*）

【变式训练】

1.已知数列｛«„｝中，4=1,«„=3a,i+4(〃eN*且〃力2),则数列｛4｝的通项公式为

Wn

A.an=3-1B.。"=3"+1C.。〃=3"-2D.an-3

【答案】C

【详解】由。”=34〃_[+4,可得a“+2=3(4i+2).

即｛q+2｝是以4+2=3为首项，以3为公比的等比数列.

。“+2=3x3〃T=3〃.即a”=3〃-2.故选C.

2.在数列｛〃〃｝中，a/=2,an+i=-2an+3,则数列｛a〃｝的通项公式。〃等于()

A.(一2)〃一/+1B.2n-/+l

C.(—2)〃—/D.(—2)〃'，—1

【答案】A

【详解】即*/=-2〃〃+3,

即为—1——2(an—I),又a/—1=1>

所以数列-1｝是首项为1,公比为一2的等比数歹I」,

故1=(一2)〃—，，即“N=(—2)"，+1.故选:A.

3.已知数列仅“｝中,若/=2,4川=3«„+2(n>l)，则该数列的通项公式4=

A.2"+'-2B.3"-1C.2"-3D.4"-2

【答案】B

【详解】分析：由ai=2,ae=3an+2,变形为:an+!+l=3(an+l),利用等比数列的通项公式即

可得出.

详解：

n

Vai=2,an+i=3an+2,变形为：an+i+l=3(an+l),.,.数列｛an+1｝是等比数列，公比为3,.*.an+l=3x3

,,即an=3"-L故答案为B.

7.分式倒数等差型

【典例分析】

己知数列｛%｝中，4=1，4川=言匚(〃€7*),则可归纳猜想｛%｝的通项公式为

2211

A・一B.a=——C.a=—D.a=——

nnn+\nnnn+l

【答案】B

2a77o

【详解】••♦4=1，%=立?，.。2=：0=：,归纳猜想｛加｝的通项公式为。"=胃「

【变式训练】

1.已知数列｛《,｝满足：4=1,凡+|=一三("CN+),由%、%、。4归纳出数列｛。”｝的通项

公式是.

【答案】氏=“

【分析】由递推公式求出的、小、“4,归纳出数列｛q｝的通项公式，可利用对弓变

形求得数列］是等比数列，再求通项公式.

1]_

1_1

【详解】4"出告4二3Ja一4一1一1

1+2-3?415

4+21+2%+2%

37

此归纳出数列｛q｝的通项公式%=不工，以下证明：

由。向=告7,得」一=2+1,所以」一+l=2p>+］,

4+2%%41M1%)

又q=l,所以,+1=2,所以数列［,+1］是以2为首项，2为公比的等比数列,

所以_L+1=2X2-'=2",所以数歹IJ｛为｝的通项公式.

an2-1

2.己知在数列｛4｝中，4=1,%+产意丁，则数列｛4｝的通项公式为4=

［答案］诟F

1(1

【分析】把已知数列递推式取倒数，然后变为一+1=3—+1,可得数列一+是等比

a1

4+ilnJ

数列，求其通项公式后可得数列｛q｝的通项公式.

a13+2a3.g|I—+i=sf—+ll

【详解】由题意，共n一，取倒数得一=——n-=—+2«

3+2”“«n+1a„a„

又，+l=2wO,所以，数列，工+11是公比为3的等比数列，故,+1=2x3"-，

所以〃“=+T.故答案沏―7

3.若数列｛/｝满足q=<，。眉=*一，则数列｛%｝的通项公式为=______.

21+3ali

【答案】-1-

3n-l

【分析】在等式一两边取倒数，可得出一L-'nS,然后利用等差数列的通项公

I+an+\an

式求出,—，的通项公式,即可求出

【详解】…&，等式两边同时取倒数气卜詈U+3,••・六一33.

所以，数列是以，=2为首项，以3为公差的等差数歹!=2+3(〃-1)=3〃-1.

因此，％=丁二.故答案为：丁二

3〃-13n-i

8.高次取对数型

【典例分析】

数列仅“｝中，若4=3,向T=a“(〃eN")，则数列｛《,｝的通项公式4,=.

【答案】3户

【分析】把递推关系两边同时取常用对数得gig。,川=lg”“，从而确定数歹U｛1g4｝是等比数列,

求出它的通项公式后可得知.

【详解】因为反=4,等式两边同时取对数有:怆。用=怆4,则警包=2,又因为q=3,

a

2唱n

则数列｛1g%｝是以lg3为首项,2为公比的等比数列，所以lgM=lga「2"T=2"1g3,”,,=32,

故答案为：32'".

【变式训练】

1.数列伍“｝中，若〃e=°：("日⑼)，4=3,则｛a,,｝的通项公式为.

v

【答案】an=3"(nGN,)

【分析】两边取对数，化简整理得鬻­=3,得到数列｛10g3”,J是以1为首项，公比为3的

1Oa3an

等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解.

【详解】由。"产a：("eN*),两边取对数，可得log3aM=31og、q,即髭誓=3,

又由4=3,则logs%=1,所以数列｛1」34｝是以log冯=1为首项,公比为3等比数列,

则logs%=1•3"T=3"T,所以4=33“'(neN*).

2.已知数列｛q｝,«([=«;'>(„>2)>4=e，则数列｛《,｝的通项公式为4=.

【答案】e"

【分析】取对数，化简运算可得’~=1(〃22),利用累乘法求出lna“=〃ln4=〃，即

In*n-\

可求解.

〃—nIna,n7

【详解】因为4=斓(心2)，所以lna*ln明=念1叫_「即苛=匚z^刈，所以

皿=2眄=24=—所以gxl^x…x4=2x3x…X—所

99

Inq]']na22，…'Inq-n-\叨/Inqlna2Inan_x12n-\,

以詈％="（〃22）,又4=e,

In4

所以Ina”="ln4=〃，所以a“=e"（〃W2）,4=6也符合，所以凡=e，.故答案为：e"

3.设正项数列｛为｝满足q=1,4=%3（〃22）,则数列｛%｝的通项公式是.

[答案]«„=22""-'

【分析】将等式两边同时取对数后，转化为/的形式，再利用构造法求通项公式.

【详解】原式两边同时取对数，得摩24,=1+21呜。,1（，*2）,

即Iog2q+l=2（log24i+l）.设b.=log2a“+1,则年=也_|（〃22）,

乂4=l+log24=1,

所以他,｝是以2为公比，1为首项的等比数列，

所以2=1X2”T=2"T,所以log2a"+1=2"T,所以a"=22”:.

9.二阶等差等比函数型

【典例分析】

在数列｛《,｝中，4=1,。角=6a"+3"”,则数列｛4｝的通项公式为4,=.

【答案】3"一（2角一3）

【分析】方法1：设%M+h3"“=6（q+h3"）,解出％=1,可构造出数歹1」｛4+3"｝为等比数

列，确定该数列的首项和公比，求出数列｛对+3"｝的通项公式，可求出知；

方法2：在等式4*I=64+3""两边同时除以3向得爵=2•参+1,利用待定系数法得出

黯+1=2修+1）可知数列q+1｝为等比数列，求出该数列的通项公式，可求出4.

【详解】方法1：令一+公3同=6（4+乂3”）,

+l

即am=6a„+k-3",与an+1=6a,,+3川比较得&=1,

乂q+h3'=4,所以｛2+3"｝是以4为首项，6为公比的等比数列，

所以。“+3"=4X6"T,即4=4x6"T-3"=3"T（2向一3）:

方法2：由1=6〃“+3向，两边同时除以3向得爵=2•果+1,

设黑■+%=2（*+「，化简得耨=2.黑+匹与金=2・黑+1比较得女=1.

J\/DJJJ

.•.爵+1=2俘+1）,故数列仔+1｝是以|｝_+1=：为首项，2为公比的等比数列,

所以争+1=扣"、即％=31（2向-3）,故答案为3”一（2向-3）.

【变式训练】

1.已知4=1,a,-2an_t=2",则｛《,｝的通项公式为

【答案】4=2"T（2〃-1）

【分析】首先求得4的值，然后整理递推关系式，结合等差数列的通项公式即可确定其通项

公式.

2

【详解】由递推关系式可得:a2-2a2_t=2,即％=24+4=6,

且由4—21=2”可得祟-得=1，

故数列｛墨｝是以%为首项，以1为公差的等差数列，

则黑='（〃—2）xl=〃—；，4,=2"[〃[12[2"-1）,

故数列的通项公式为：«„=2"-'（2n-l）.

2.已知数列｛%｝中，％=1,。川=3〃“+3”,求数列｛q｝的通项公式___________

【答案】4,=〃•卡

【分析】由已知条件可得符《=；,从而可得数列住｝是等差数列，求出其通项公式后

化简即可得到％.

【详解】••.-=3%+3",.•.煞*=；,.•.数列怡｝是等差数列，公差为:，又g=：，

+（n-1）x—=—,a=n-3"'.

3"333

3.在正项数列｛q｝中，4=2,%=2q+3x5",则数列｛4｝的通项公式为.

【答案】a“=5"-3x2"T

【分析】推导出数列｛4-5”｝是等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列｛可｝的

通项公式.

【详解】因为a“M=2/+3x5",设。l+八5向=2（%+匕5"）,可得《“产24-3人5",

所以，-3k=3,可得k=-l,所以，用—5"M=2(%-5"),

且q-5=-3,故数列是以-3为首项，以2为公比的等比数列,

所以，a“-5"=-3x2"T,故对任意的”eN,,=5"-3x2"-'.

10.因式分解型

【典例分析】

设数列｛%｝是首项为1的正项数列，且5+1)匕-，叱+/4=0,则它的通项公式《,=

【答案】-

n

【分析•】由条件有[(〃+1”向-%,]3+|+。,,)=0,由数列也,｝为正项数列，即得

(«+l)a„+l-n«„=0,然后利用累乘法可求出数列的通项公式.

【详解】由(〃+1)吭一*+(+|•%=0,则[(”+1)J-+4,)=。

又数列｛%｝为正项数列，即。“>0,4=1

Z7»7

所以(〃+1)4用一叫,=0,即上=_

%w+1

Canan-\n-1n-21,11

所以〃〃=-----------x-xx—x1=-o故答案为：一

%an-24〃〃-12nn

【变式训练】

1.设也,｝是首项为I的正项数列且"a3+(”+l)a：-(2〃+l)a“a“+i=0(〃eN*),且a"‘产”“，求

数列｛4｝的通项公式_________

【答案】a„=n

a〃

【分析】由已知条件化简可得工=―-»^2),再由递推累乘法可得风，最后检验4=1是

*n-\

否符合即可.

【详解】依题意4=1,〃a,3+(〃+l)a；-(2〃+l)a“a“+|=0(〃eN*),所以

(4用一%)[〃.,田一(〃+1)%]=。,

又因为4“产4,所以4,+|-%*。，所以加♦-(〃+l)a“=0,｝=三[("*2),

annan-\〃一J

_a”a3a2n-\321

所以an-------------------a\=--n---------------1=n,

。〃一2a2aln—\n-221

经检验，4=1也符合上式.所以为="(”€N)综上所述，/=〃.故答案为：a„=n.

2.设｛%｝是首项为1的正项数列，且(〃+2)4,/-〃4：+2q+血”=0(〃€1^),求通项公式

2

【答案】

a77

【分析】由条件可得5+2)--叫=°,化简得才=百，再由递推即可得到所求通项.

【详解】由("+2Ml+；_“2+2an+ia„=O(neN*),得[("+2)a„+1-na„](a„+l+a,)=0,

a〃

an>0,：.an+|+a„>0,(n+2)a„+l-na„=0,—=——

a.a.a123n-2n—\2/、八、

=4­—•—•—...—n=lfx—x—x—x---x----x----=-------(n>2),

4a2a3an_x345nn+]〃("+1)

2

又4=1满足上式，・・・4

/?(«+!)

11.复合数列型

【典例分析】

已知数列｛(｝中，4=(且4间1+1=2见一数列也｝满足4=丁片,则也｝的通项公式

是b“=.

【答案】

【分析】根据已知，利用作差法求仇,一々1易判断｛"｝为等差数列，写出通项公式即可.

【详解】Va„an.l+l=2a„,l,

.b„-bnl=—_______=%-%=%i==1

"a"-lan-\~1(«„-1)+1-«„-i-a„«„_|-a„

4,17

又“=三，则4=----=

7q-]3

7

，数列｛a｝是首项为-(，公差为1的等差数列，

**•包=-*1+〃-1=.故答案为：.

【变式训练】

1.已知数列｛%｝满足4=1,。同=母］“€心）,若己=/密2（；+1）,则数列出｝的通项公

式是•

【答案】＞=n

【分析】利用数列的递推关系式和等差数列的定义，得到数列｛｛〃｝是以4=1为首项，1为公

差的等差数列，即可求出数列的通项公式，得到答案.

【详解】由题意，数列｛q｝满足4=1,

a

n+乙

又由2=log2（-+i）,贝!=log2（-^—+i）,

a

n。〃+1

—+1

可得b„+l~b„=四式竿一）=1常数），

—+1

an

又由々=/0g2（,+l）=10g22=l,

故数列｛々｝是以仇=1为首项，1为公差的等差数列.

所以£=1+（〃-1）=〃,

由于数列的首项符合通项，所以数列｛勿｝的通项公式为包=〃.

故答案为:b〃=n.

17

2.已知数列｛每｝,｛%｝满足%=1,an+1=1-—,bn=—~,其中neN+.

求出数列｛%｝的通项公式；

【答案】（1）即=答；川）左3一温依.

2222

试题解析：（I）证明：.••加+】一以=亚二二—冏二赤手一砧

=建7—五仁=2,.•.数列出"｝是公差为2的等差数列，又仄=五M=2,.•.b=2+5—

1）X2=2n,

故；〃'二喜，解得斯=嚎・

3.己知数列｛4｝满足q=1,all+i=4q,+3〃-1,〃=4+〃.求数列｛a,,｝的前”项和.

【答案】⑴a“=2x4"T-“；（2）

【详解1（1）bn=an+n,；.bn+i=an+l+n+1.

又：.=y+3〃-1,.•.媪=…+1=（4…-1）+〃+1=40+〃）=4

bnan+"an+nan-\-n

又・.,伪=q+l=l+l=2,・••数列｛〃｝是首项为2,公比为4的等比数列.