专题4.4数列的求和

知识点一知识点一数列的求和公式1.等差数列的前和的求和公式：.2．等比数列前项和公式一般地，设等比数列的前项和是，当时，或；当时，（错位相减法）.3.常见数列前项和①重要公式：（1）（2）（3）（4）②等差数列中，；③等比数列中，.知识点知识点二几种数列求和的常用方法(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n项和．裂项时常用的三种变形：①；②；③.(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．(4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．(5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.考点01公式法求和【典例01】（2023秋·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）已知数列，其前项的和为，则.【答案】【分析】利用等比数列的定义及求和公式运算即可得解.【详解】解：由题意，∴，.∴数列是首项为，公比为的等比数列.∴前项和，.∴.故答案为：.【典例02】（2023秋·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）设等差数列的前n项的和为，满足，，则的最大值为（

）A．14 B．16 C．18 D．20【答案】B【分析】首先把已知条件表示为两个基本量首项与公差的关系式，进而求出基本量，要使得最大，只需把前面有限项符号为正的那些项相加即可.【详解】设的首项为，公差为，所以等差数列的通项公式为，前n项的和公式为，则由题意有，，由以上两式解得，，因此，令，解得，从而数列得前4项为正，其余项为负，故的最大值为.故选:B.考点02分组求和与并项求和【典例03】（2022秋·福建莆田·高二校考期中）已知数列是1为首项，2为公差的等差数列，是1为首项，2为公比的等比数列，设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出数列、的通项公式，可求得的表达式，利用分组求和法可求.【详解】由已知可得，，，故选：A.【典例04】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项之积为.(1)求数列的通项公式；(2)记为在区间中的项的个数，求数列的前50项和.【答案】(1)(2)243【分析】（1）根据数列的递推公式即可求解；（2）根据（1）的结论求出，进而求和.【详解】（1）由数列的前项之积为：，可得，依题意有，又因为符合上式，所以.（2）由题意，，即，当时，，当时，当时，，共有个，，则.【总结提升】分组转化法求和的常见类型(1)若，且为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{}的前n项和．(2)通项公式为的数列，其中数列是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）.提醒：注意在含有字母的数列中要对字母进行分类讨论．考点03裂项相消法求和【典例05】（2022秋·福建漳州·高二校考期中）设数列的各项都为正数，且．(1)证明数列为等差数列；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）将两边取倒数，再结合等差数列的定义即可得证；（2）利用裂项相消法求解即可.【详解】（1）由数列的各项都为正数，且，得，即，所以数列是以为公差的等差数列；（2），由（1）得，所以，则，所以.【典例06】（2022秋·福建漳州·高二校考期中）已知等差数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和.(3)，求数列的前项和.【答案】(1)；(2)；(3)当为奇数时，；当为偶数时，.【分析】（1）设等差数列的公差为,根据题意求出的值，即可得答案；（2）由题意可得，再采用分组求和即可得答案；（3）由题意可得，分为奇数、偶数分别求解即可.【详解】（1）解：设等差数列的公差为，由，可得，即，即，则，解得，所以；（2）由（1）可得：所以（3）解：因为，当为奇数时，，所以；当为偶数时，，.【总结提升】1.裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．考点04错位相减法求和【典例07】（2022秋·四川巴中·高二四川省通江中学校考期中）已知数列的首项，且满足，若.(1)求证为等比数列；(2)在数列中，，对任意的，，都有，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）将两边同时除以，化简变形可证得结论，（2）通过题意得出为等比数列，为等差数列，的前项和由错位相减法即可得出.【详解】（1）∵，∴两边同时除以，得，即，∵，∴，又∵首项，∴，故是以2为首项，2为公比的等比数列，（2）由（1）可得，∵在数列中，，对任意的，，都有，∴是以4为首项，3为公差的等差数列，则，故，，两式相减得，∴.【典例08】（2023秋·吉林长春·高二长春市解放大路学校校考期末）已知数列满足，且数列的前n项和.(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题目条件得到为公差为2的等差数列，首项为1，求出通项公式；（2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）因为，所以，故为公差为2的等差数列，中，令得，解得，则；（2），故①，则②，两式①②得，故.【规律方法】1.使用“错位相减法”的方法步骤：：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.3.在历年高考命题中，“错位相减法”为高频考查内容.考点05倒序相加法求和【典例09】（2023秋·江苏·高二专题练习）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（）A．2022 B．4044 C．2023 D．4046【答案】D【分析】先得到，再用倒序相加法即可求解.【详解】因为正数数列是公比不等于1的等比数列，且，所以，又∵函数，∴，令，则，∴，∴.故选：D.【典例10】（2023春·高二校考课时练习）在数列中，，则…的值是.【答案】1005【分析】根据，即可倒序相加求解.【详解】由得，所以，所以,相加可得,故答案为：1005【总结提升】注意观察数列（函数）特征：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．考点06数列与函数的综合问题【典例11】（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）已知函数，则；设数列满足，则此数列的前2023项的和为.【答案】【分析】由题意可知，即可根据此关系求出，因为，则，利用倒序相加法求和即可，【详解】解：已知，则，，所以，则，已知数列，，，数列的前2023项的和，且，两式相加，得，故答案为：；【典例12】（2023秋·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考阶段练习）已知等差数列与等比数列满足，，，且既是和的等差中项，又是其等比中项．(1)求数列和的通项公式；(2)记，其中，求数列的前项和；(3)记，其前n项和为，若对恒成立，求的最小值．【答案】(1)，；(2)(3)【分析】（1）由已知条件，列方程组求出等差数列的公差和等比数列的公比，可得数列的通项；（2）根据数列的特征，运用分组求和法求前项和；（3）利用函数思想，求出A的最大值和B的最小值，可得的最小值．【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，，，所以，解得，，既是和的等差中项，又是其等比中项，得，，解得，即，所以，．（2）∵，∴．又∵，∵

①∴

②①减②得：∴，∴．（3），，，则是首项为公比为的等比数列，，，令，，当n为奇数时，，且递减，可得的最大值为，当n为偶数时，，且递增，可得的最小值为，所以的最小值为，最大值为，因为，对恒成立，所以，所以，所以的最小值为．【总结提升】解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到数列的求和、和的最值，利用函数性质或不等式性质求解较为常规．考点07数列与不等式的综合问题【典例13】（2023秋·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据公式，即可求解；（2）根据（1）的结果化简数列，再利用裂项相消法求和，根据数列的单调性，即可证明.【详解】（1）当时，，得，当时，，则，，即，两边同时除以，得，即数列是首项为，公差为1的等差数列，，即，所以数列的通项公式；（2），即，，，即，随着的增大，增大，所以的最小值为，随着的增大，无限接近1，所以.【典例14】（2023秋·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）已知数列的前n项和为，且有，数列满足，且，前9项和为153.(1)求数列，的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数k的值.【答案】(1)，(2)8【分析】（1）根据计算出的通项公式，再判断出为等差数列，根据，前9项和，得到公差，求出通项公式；（2）裂项求和得到，由得到单调递增，故，进而得到不等式，求出的最大正整数k的值.【详解】（1），故当时，；当时，，满足上式，.又，∴，数列为等差数列，令其前n项和为，∴，∵，∴，公差，.（2）由（1）知：，故，.又，单调递增，故.由题意可知；得：，k的最大正整数为8.【总结提升醒】数列与不等式的结合，除应熟练掌握数列的通项公式、求和公式，关于不等式证明、不等式恒成立问题的处理方法亦应灵活运用.考点08数列与实际应用问题【典例15】（2022秋·福建宁德·高二统考期中）若某地区2019年年底人口总数为50万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2020年年初开始到2029年年底每年人口比上一年增加0.2万人，从2030年年初开始到2039年年底每年人口为上一年的99%，（注：2019年年底的人口总数即为2020年年初的人口总数，以此类推）(1)求实施新政策后第年的人口总数的表达式（注：2020年年底为第1年）；(2)若实施新政策后，从2020年年初到2039年年底平均每年的人口总数超过51.5万，则需调整政策，否则无需调整，试判断到2039年年底是否需要调整政策，（附：）【答案】(1)(2)到2039年年底不需要调整政策【分析】（1）根据增加和增长率的含义分类讨论进行求解即可；（2）根据等差数列和等比数列的前项和公式进行求解即可.【详解】（1）当，时，，，∴．当，时，，，．∴．∴实施新政策后第年的人口总数的表达式为（2）当，时，记前10年的人口总数为，，当，时，记后10年的人口总数为，，∵，∴到2039年年底不需要调整政策．【典例16】（2023·全国·高二课堂例题）如图，一个小球从10m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的．(1)小球第10次落地时，经过的路程是多少米？(2)小球第几次落地时，经过的路程为？【答案】(1)(2)4【分析】（1）设从第次落地到第n次落地时经过的路程为，得到当时，，利用等比数列的性质求出通项公式，并求和；（2）设小球第n次落地时，经过的路程为，由于，从而得到方程，求出答案.【详解】（1）设小球从第次落地到第n次落地时经过的路程为，则，，，…．而且，当时，我们可以得到递推关系，．这是一个首项为，公比为的等比数列．因此，且．所以小球第10次落地时，经过的路程为．（2）设小球第n次落地时，经过的路程为，由于，因此，解得．所以当小球第4次落地时，经过的路程为．【总结提升】1.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.2.等比数列最值有关问题的解题思路：求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．考点09数列的“新定义”问题【典例17】（2023春·辽宁·高二凤城市第一中学校联考阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足（），则．【答案】【分析】计算出，，倒序相加得到答案.【详解】，，因为①，所以②，两式相加得，所以.故答案为：【典例18】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，且.(1)求数列的通项公式；(2)已知数列满足,定义使为整数的k叫做“幸福数”，求区间内所有“幸福数”的和.【答案】(1).(2).【分析】（1）通过迭代相减发现的奇数项和偶数项各自成等差数列，继而分奇偶项求出通向公式即可;（2）根据新定义求出并令其为，将用表示，并根据的范围求出的范围，结合，确定的值并求“幸福数”的和.【详解】（1），当时，，故两式相减可得：，的奇数项和偶数项各自成等差数列，且公差为2，且，，奇数项，则n为奇数时，，偶数项，则n为偶数时，，数列的通项公式为.（2）且，，令，则，令，则，又，m的值取为1，2，3，4，5，区间内所有“幸福数”的和为.【温馨提醒】立足于“转化”，将新定义问题转化成等差数列、等比数列问题求解.1．（2020·全国·统考高考真题）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比的方程，求解即可得出结论；（2）由（1）结合条件得出的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.【详解】（1）设的公比为，为的等差中项，，；（2）设的前项和为，，，①，②①②得，，.2．（2023·全国·统考高考真题）设为数列的前n项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据即可求出；（2）根据错位相减法即可解出．【详解】（1）因为，当时，，即；当时，，即，当时，，所以，化简得：，当时，，即，当时都满足上式，所以．（2）因为，所以，，两式相减得，，，即，．3.（2023·全国·统考高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)证明：当时，．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.【详解】（1）设等差数列的公差为，而，则，于是，解得，，所以数列的通项公式是.（2）方法1：由（1）知，，，当为偶数时，，，当时，，因此，当为奇数时，，当时，，因此，所以当时，.方法2：由（1）知，，，当为偶数时，，当时，，因此，当为奇数时，若，则，显然满足上式，因此当为奇数时，，当时，，因此，所以当时，.一、单选题1．（2022秋·福建宁德·高二统考期中）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”那么，此人第1天走的路程是（

）A．24里 B．60里 C．192里 D．216里【答案】C【分析】由题意可得此人每天所走的路程是以为公比的等比数列，再根据等比数列前项和公式即可得解.【详解】设这个人第天行走的路程为，由题意可得，则数列是以为公比的等比数列，则有，解得，即此人第1天走的路程是192里.故选：C.2．（2023秋·广西贵港·高二统考期末）如图，这是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，图中虚线上的数1,3,6,10,…构成数列，则（

）A．20099 B．20100 C．21000 D．211001【答案】B【分析】先归纳出数列的递推公式，然后利用累加法即可求解.【详解】由题意，，，…，所以数列的递推公式为，且，所以.所以，故.故答案为：B.3．（2023秋·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）记为等比数列的前项和，且成等差数列，则（

）A．126 B．128 C．254 D．256【答案】A【分析】根据可得，整理得，进而可得，结合等比数列的求和公式运算求解.【详解】设等比数列的公比为，则，由题意可得，即，整理得，则，解得，所以.故选：A.4．（2023春·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）数列的通项公式为，已知其为单调递增数列，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用数列的单调性的定义及不等式恒成立的解决方法即可求解.【详解】因为，所以.因为数列为单调递增数列，所以在恒成立，所以，即可.令，，则，由一次函数知，当时，取得最大值为,即.所以的取值范围为.故选：B.二、多选题5．（2023春·云南楚雄·高二统考期末）我国在预测人口变化趋势上有直接推算法、灰色预测模型、VAR模型、队列要素法等多种方法，直接推算法使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口增长率，为预测期间隔年数，则下列说法正确的有（

）A．若在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势B．若在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势C．若在某一时期内，则这期间人口数摆动变化D．若在某一时期内，则这期间人口数不变【答案】ABD【分析】利用数列的单调性逐项判断，可得出合适的选项.【详解】由，得当时，，因为，所以，对任意的，，所以，，则，此时，在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势，A对；对于B选项，当时，，因为，所以，对任意的，，所以，，则，故在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势，B对；对于C选项，由B选项可知，在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势，C错；对于D选项，当时，，故在某一时期内，则这期间人口数不变，D对.故选：ABD.三、填空题6．（2023秋·江苏无锡·高二江苏省南菁高级中学校考阶段练习）数列满足，其前n项和为，若，则正整数m的值为．【答案】251【分析】由得出为等比数列，求得，利用分组求和求出，分为奇数和为偶数，两种情况讨论，列出方程，即可求解．【详解】由，可得，所以为等比数列，所以，所以，所以，又由，当为奇数时，，得＝251，当为偶数时，，得，因为，所以为奇数，所以为偶数时无解．综上所述，＝251．故答案为：251．7满足：第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推，记为数列的前项和，则；当时，若存在，使得，则的最小值为.【答案】【分析】利用得出数列的求和公式，判断出前10项的和为前4组的和，进而求得的值，假设前项的和为前项的和，由已知得，转化为为的整数幂，得到应该被消去，由此可知加上组的部分项，求得满足题意的的最小值，即可求得的最小值，最后利用，求得的最小值，即可求解.【详解】由数列满足：第一组为，第二组为，，第组为，则前组中共有项，令，可得，所以数列前4组中共有10项，所以，当时，可得，若前项的和为前项的和，可得：，由已知得，整理得，由此可得为的整数幂，其中为的整数幂，则应该被消去，所以若前项和应再加上组的部分项，设应加上组的前项时，被消去，即，可得，则为等式的成立的最小值，此时，所以，所以，所以的最小值为，则的最小值为.故答案为：；.四、解答题8．（2023·全国·高二课堂例题）某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40mm，满盘时直径为120mm（如图）．已知卫生纸的厚度为0.1mm，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（精确到1m）？【答案】100m．【分析】根据给定条件，可以把绕在盘上的卫生纸近似地看作一组同心圆，然后分别计算各圆的周长，再借助等差数列前n项和公式求总和.【详解】卫生纸的厚度为0.1mm，由内向外各圈的半径分别为20.05，20.15，…，59.95，因此各圈的周长分别为，，…，，显然各圈半径组成首项为20.05，公差为0.1的等差数列，设圈数为n，则，解得，于是各圈的周长组成一个首项为，公差为，项数为400的等差数列，根据等差数列的求和公式，得，，所以满盘时卫生纸的长度约为100m.9.（2023春·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）已知等差数列满足，且，，成