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第一章导数及其应用人教版选修2-21.7定积分的简单应用[问题1]不用计算,根据图形,你能比较下列定积分的大小吗?课前预习一、用定积分求平面图形的面积新知导入二、解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤:1.画草图,求出曲线的
坐标.2.将曲边形面积转化为
面积.3.根据图形特点选择适当的.4.确定
和.5.计算定积分,求出面积.交点曲边梯形的积分变量被积函数积分区间预习自测4.计算曲线y=x2-2x+3与直线y=x+3所围成图形的面积.题型探究一.不分割图形面积的求解1.用定积分求“曲边图形”面积的步骤:(1)先画出草图,确定所求面积是哪部分;(2)解方程组得到交点的坐标,确定被积函数以及积分的上、下限;(3)把所求的面积用定积分表示;(4)根据微积分基本定理求出面积.2.注意事项:(1)准确地画图,并合理分割图形;(2)被积函数与积分上、下限要对应;(3)当面积在x轴的下方时,面积是定积分的相反数.1.(1)计算由曲线y=x2(x>0)与直线x=4,y=0所围成图形的面积;(2)计算由曲线y=x2与直线y=x+2所围图形的面积.变式训练
(1)
(2)二.分割图形面积的求解方法二:若选积分变量为y,则三个函数分别为x=y2,x=2-y,x=-3y.因为它们的交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1),
由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形,在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化,通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标,可以将积分区间进行细化分段,然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和,在每个区段上被积函数均是由上减下;若积分变量选取x运算较为复杂,可以选y为积分变量,同时更改积分的上下限.2.计算由曲线y=x2+2与直线y=3x,x=0,x=2所围图形的面积.变式训练计算由曲线y=x2+2x(x≥-1)与直线x=-1,x=1及x轴所围图形的面积.典例剖析【错因】本题错解的原因是没有正确理解定积分的几何意义,因为曲线y=x2+2x(x≥-
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