2015年江苏省高考数学试卷考点卡片

考点卡片

1.并集及其运算

【知识点的认识】

由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作AU8.

符号语言：或xCB}.

图形语言：

AU3实际理解为：①尤仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③尤是A且是B中的元素.

运算形状：

@AUB=BUA.@AU0=A.@AUA=A.©AUB2A,(5)AU⑥A

UB=0,两个集合都是空集.⑦AU(CuA)=U.@Cu(AUB)=(CUA)Cl(CUB).

【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解.不能把“或”

与“且”混用；注意并集中元素的互异性.不能重复.

【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，

也可以与函数的定义域，值域联合命题.

2.函数零点的判定定理

【知识点的知识】

1、函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=/(无)在区间团，句上的图象是连续不断的一条曲线，并且有/(a)

•/(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,6)内有零点，即存在(a,6),使得/(c)

=。，这个c也就是/(无)=0的根.

特别提醒：

(1)根据该定理，能确定/(x)在(a,b)内有零点，但零点不一定唯一.

(2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说

明函数在(a,b)上没有零点，例如，函数f(x)=7-3工+2有/(0)・/(3)>0,但函数

f（x）在区间（0,3）上有两个零点.

（3）若/（x）在［a,切上的图象是连续不断的，且是单调函数，/（a）,f（b）<0,则/（尤）

在（m6）上有唯一的零点.

2、函数零点个数的判断方法：

（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=/（x）的图象联系起来，并

利用函数的性质找出零点.

特别提醒：

①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程7-2x+l=0

在［0,2］上有两个等根，而函数无）=*-2x+l在［0,2］上只有一个零点；

②函数的零点是实数而不是数轴上的点.

（2）代数法：求方程/（无）=0的实数根.

3.函数的零点与方程根的关系

【函数的零点与方程根的关系】

函数的零点表示的是函数与无轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一

样的.但是，他们的解法其实质是一样的.

【解法】

求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不

多讲了.我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）.

例题：求函数/（无）=¥+5/-27?-101%-70的零点.

解：'：f（X）=X4+5X3-27x2-101x-70

=（x-5）・（x+7）・（x+2）・（x+l）

函数/（无）=/+5尤3-27/-lOlx-70的零点是：5、-7、-2、-1.

通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的

乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0

时的解即可.

【考查趋势】

考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可.

4.函数与方程的综合运用

【知识点的知识】

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想，是

从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或

方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解.有时，还

实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的.笛卡尔的方程思想是：实际问题

一数学问题一代数问题一方程问题.宇宙世界，充斥着等式和不等式.

5.利用导数研究函数的单调性

【知识点的知识】

1、导数和函数的单调性的关系：

(1)若/(x)>0在(a,b)上恒成立，则/(%)在(a,b)上是增函数，f'(无)>0

的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；

(2)若于'(%)<0在(a,b)上恒成立，则/'(x)在(a,6)上是减函数，f(无)<0

的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.

2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：

(1)确定了(x)的定义域；

(2)计算导数，(x)；

(3)求出/(x)=0的根；

(4)用/(x)=0的根将/(%)的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内,

(x)的符号，进而确定，(x)的单调区间：f(x)>0,则/(尤)在对应区间上是增函数,

对应区间为增区间；f(x)<0,则/(x)在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.

【典型例题分析】

题型一：导数和函数单调性的关系

典例1：已知函数了(%)的定义域为R,/(-1)=2,对任意xeR,/(x)>2,则无)

>2尤+4的解集为()

A.(-1,1)B.(-1,+8)C.(-°°,-1)£).(-8,+CO)

解：设g(x)=/(x)-2x-4,

则g'(无)—f'(x)-2,

:对任意x€R,f(尤)>2,

...对任意xCR,g'(无)>0,

即函数g(X)单调递增，

■:f(-1)=2,

.,.g(-1)=f(-1)+2-4=4-4=0,

则由g(x)>g(-1)=0得

x>-1,

即/(无)>2x+4的解集为(-1,+8),

故选：B

题型二：导数和函数单调性的综合应用

典例2：已知函数/(%)—alnx-ax-3(aGR).

(I)求函数/(无)的单调区间；

(II)若函数y=/(x)的图象在点(2,7(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的蛇口,

2],函数g(x)=炉+公『(劝+为在区间(t,3)上总不是单调函数，求相的取值范围；

ln2ln3ln4Inn1

(III)求证:—x—x—x…x—<-(n>2,neN)•

234nn

a(1x)

解：(I)f'(x)=y~(x>0)(2分)

当。>0时，f(x)的单调增区间为(0,1],减区间为[1,+8)；

当。<0时，f(x)的单调增区间为[1,+8),减区间为(0,1]；

当。=0时，f(x)不是单调函数(4分)

(II)ff(2)=—今=1得a=-2jf(x)=-21nx+2x-3

•'•g(x)=x3+(y+2)x2—2x»

(x)=3X2+(m+4)x-2(6分)

(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，且屋(0)=-2

cm

由题意知：对于任意的空口，2],g'(r)<0恒成立,

仅‘⑴VO

所以有：\g'(2)<0，-y-<7H<-9(10分)

口(3)>0

(III)令〃=-1此时/(x)=-lruc+x-3,所以7(1)=-2,

由(I)知/(x)=-lnx+x-3在(1,+8)上单调递增，

・•・当尤(1,+8)时/(冗)>/(1),即-服+%-1>0,

・••加xVx-1对一切比(1,+8)成立，(12分)

•・•〃三2,HGN*,贝iJ有0V/〃〃V1,

・

.・uA<—<)7-1---1-

nn

.ln2ln3ln4Inn123n-11

••••—.一—•------=~(n>2,n6iV)

234n234nn

【解题方法点拨】

若在某区间上有有限个点使，(尤)=0,在其余的点恒有，(x)>0,则/(%)仍为增

函数(减函数的情形完全类似).即在区间内f(x)>0是/(x)在此区间上为增函数的

充分条件，而不是必要条件.

6.指、对数不等式的解法

【概述】

指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二

点就是学会指数和指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解.

【例题解析】

例1：己知函数/(x)="一1(e是自然对数的底数).证明：对任意的实数无，不等式/(x)

恒成立.

解：(/)设/?(X)=/(%)-尤=〃-1-尤

.,./?!(无)1-1,

当x>l时，h(x)>0,h(x)为增，

当x<l时，h(x)<0,h(x)为减，

当x=l时，h(x)取最小值/i(1)=0.

：.h(x)2(1)=0,即/(尤)》尤.

这里面是一个综合题，解题的思路主要还是判断函数的单调性，尤其是指数函数的单

调性，考查的重点其实是大家的计算能力.

例2：已知函数无）=loga（X-1）,g（无）=logo（3-X）（。>0且。#1）,利用对数函数

的单调性，讨论不等式/（x）（X）中X的取值范围.

解：•.,不等式/（X）（X）,即logo（X-1）Nloga（3-%）,

...当41时，有「一解得2Vx<3.

11<x<3

当l>a>0时，有卜一解得］<x<2

综上可得，当。>1时，不等式/（x）（x）中X的取值范围为（2,3）；

当1>。>0时，不等式无）2g（无）中x的取值范围为（1,2）.

这个题考查的就是对数函数不等式的求解，可以看出主要还是求单调性，当然也可以右

边移到左边，然后变成一个对数函数来求解也可以.

【考点点评】

本考点其实主要是学会判断各函数的单调性，然后重点考察学生的运算能力，也是一

个比较重要的考点，希望大家好好学习.

7.等比数列的性质

【等比数列】

（又名几何数列），是一种特殊数列.如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比

等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的

比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（qWO）.注：q=l时，

劭为常数列.

等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第〃项的通项公式，这

里G为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点.②求和公

式，曲=当手，表示的是前面〃项的和.③若〃?+"=q+p，且都为正整数，那么有

Cln=Clp*Clq.

例：2,x,y,z,18成等比数列，贝|y=.

解：由2,x,y,z,18成等比数列，设其公比为必

则18=2q4,解得/=3,

.,.y—2g1—2X3—6.

故答案为：6.

本题的解法主要是运用了等比数列第〃项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某

两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项.关键是对公式的掌握，

方法就是待定系数法.

【等比数列的性质】

nm

(11)通项公式的推广：an—am,q,(",mGN*).

(2)若｛丽｝为等比数列，且左+/=〃?+〃，(,k,I,m,HGN*),则ak*al—am,an

(3)若｛e｝(项数相同)是等比数列，则3”｝(A^O),｛a｝,｛an-bn｝,仍是等比数

列.

(4)单调性：上或卜1<00｛板｝是递增数列；卜1或<°｛即｝是递减数歹U;

lq>l(0<q<1(0<q<1[q>l

q=l=｛a”｝是常数列；4coQ｛tto｝是摆动数列.

8.数列的求和

【知识点的知识】

就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比

数列等等，常用的方法包括：

(1)公式法：

①等差数列前〃项和公式：Sn^nai+^n(n-1)”或5=辿空位

②等比数列前"项和公式：

'吗0=1)

S”=%Qq")=%%为小

1-q1-q

③几个常用数列的求和公式：

cE1

(1)S"—k=l+2+3+...+八=2n(n+1)

“1

(2)2222

S“=yk=i+2+3+...+九2=_〃(〃+1)(2〃+1)

6

n1

33332

(3)\=l+2+3+...+n=[1n(n+l)]

(2)错位相减法:

适用于求数歹U｛反义加｝的前n项和，其中｛的｝｛阮｝分别是等差数列和等比数列.

(3)裂项相消法:

1

适用于求数列｛---｝的前n项和，其中｛斯｝为各项不为0的等差数列，即一-

anan+ianan+id

anan+i

特另|J:二1111

n(n+1)nn+ls2'

an=/------=J〃+1—4

Vn+1+y/n

(4)倒序相加法：

推导等差数列的前〃项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再

把它与原数列相加，就可以得到〃个(m+帆).

(5)分组求和法：

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个

等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

【典型例题分析】

典例1：已知等差数列｛砺｝满足：03=7,45+47=26,｛丽｝的前W项和为

(I)求斯及SH；

(II)令bn=—(〃EN*),求数列｛'｝的前〃项和7k

OrT-l

分析：形如{第差%的求和，可使用裂项相消法如：

11111111111

——+——+——+…+------=-{(1--)+(---)+(---)+…+(―-

1X33X55X799X10023355799

199

---)}=---

100200

解：（I）设等差数列｛丽｝的公差为d,

•43=7,Q5+〃7=26,

7解得小=3,d=2,

\2a±+lOd=26

.•・劭=3+2(〃-1)=2〃+l；

Sn=3冗+x2=/旬1.

(II)由(I)知劭=2〃+l,

・〃_1_________]_11_1/1、

-n~On2-1-(2n+l)2-l-4九(九+1)一,令一行I)

%（7+»+＞右）=/.（1一击）=而片,

即数列｛历｝的前W项和Tn=n

4±（n+l）

点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像

友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和.

【解题方法点拨】

数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要

往这里面考.

9.数列递推式

【知识点的知识】

1、递推公式定义：如果已知数列｛丽｝的第1项（或前几项），且任一项而与它的前一项即

一1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

2、数列前〃项和甑与通项所的关系式：a〃=[Sn-SnT；：nS；.

在数列｛斯｝中，前〃项和酣与通项公式板的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握.

注意：(1)用丽=S-%」求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？("'2,

当〃=1时，ai=Si)；若m适合由所的表达式，则。"不必表达成分段形式，可化统一为一

个式子.

(2)一般地当已知条件中含有斯与S”的混合关系时，常需运用关系式坂=S=S」，先将

已知条件转化为只含an或S”的关系式，然后再求解.

3、数列的通项的求法：

(1)公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.

;；n>2

(2)已知Sn(即m+〃2+…+劭=/("))求an,用作差法：an=sn-sH-1

SI;；n=1,

般地当已知条件中含有斯与品的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含

或的关系式，然后再求解.

「⑴;\n=1

(3)已知〃1・。2…砺=/(〃)求即，用作商法：an,=jf(n)、.

(f(n-l)：n~2

(4)若an+l-an=f(H)求an,用累加法：an=(劭-砺一1)+(an-1-an-2)+…+(〃2-

〃i)+〃i(九22).

(5)已知巴“与(”)求即，用累乘法：加=①.巴曰….丝(〃22).

Clji%!—1%i—2

(6)已知递推关系求所，有时也可以用构造法(构造等差、等比数列).特别地有，

n

①形如斯一l+b、an=kan-i+b(k,6为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为

公比为左的等比数列后，再求

②形如缶的递推数列都可以用倒数法求通项・

(7)求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明.

10.平面向量的基本定理

【知识点的知识】

1、平面向量基本定理内容：

如果ei、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一a，有且仅有一对

实数入1、12,使a=2,%+4?纭.

2、基底：不共线的ei、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底.

3、说明：

（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行.

（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一.

11.平面向量数量积的性质及其运算

【知识点的知识】

1、平面向量数量积的重要性质：

设5都是非零向量，"是与6方向相同的单位向量，；与6和夹角为。，则：

（1）a-e=e-a=|a|cos6；

（2）a1b0a•b=0；（判定两向量垂直的充要条件）

（3）当Z，；方向相同时,a-b=\a\\b\;当Z，；方向相反时,a-J=-|all6|；

特别地：1片=面2或面=^11（用于计算向量的模）

TT

（4）cos8=q］（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）

（5）la-J^lallW

2、平面向量数量积的运算律

（1）交换律：a•b=b•a；

（2）数乘向量的结合律：（入=入（a•b）=a*（A&）;

(3)分配律：(。•b)・c工Q・(b•c)

【平面向量数量积的运算】

平面向量数量积运算的一般定理为①(a+b)2=a2+2^-b+b2.②G-G(a+b)

=?-b2.@a-(b-c)WCa-b)-c，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是

相同的，有些不一样.

【例题解析】

例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：

①"nm=nm”类比得到吗1=晨日

②“(zn+〃)t=mt+ntv类比得到“(a+&)*c=a-c+b・c”；

③“/WO,mt=nt=>m=n^类比得到“c工0,a-c=b-c^a=c";

④•川=|利・|川”类比得到呜・引=而|引”;

⑤t=m类比得到“G工)•？=Z•(£2)”；

TTT

⑥“竺=巴，类比得到笺=2以上的式子中，类比得到的结论正确的是①②.

bebba

解：；向量的数量积满足交换律，

Aumn=nmn类比得到吗工=晨7：

即①正确；

:向量的数量积满足分配律，

a(m+n)t=mt+nt”类比得到、(a+b)'c=a-c+b・c”,

即②正确；

•••向量的数量积不满足消元律，

ut^0,mt=nt=>m=nn不能类比得到"Zh0,a-c=b-c=>a=c">

即③错误；

“防•川=6•同”不能类比得到“自工|=而亩”；

即④错误；

•••向量的数量积不满足结合律，

“（根•〃）t=m（nW”不能类比得到“"工）4=>（晨Z）”，

即⑤错误；

•••向量的数量积不满足消元律，

A—=%’不能类比得到签=

bebb・ca

即⑥错误.

故答案为：①②.

向量的数量积满足交换律，由“如?=〃相”类比得到“£工=3麻”；向量的数量积满足分

配律，故“（〃?+”）类比得到+=向量的数量积不满足

消元律，故”华0,根=”"不能类比得到“ZH0,a-c=b-c^a=Z";la-b|W

而•向，故“防・"|=加•同”不能类比得到“向上|=而山”；向量的数量积不满足结合律，

故“（加•”）t=m（〃•/）”不能类比得到“G£）4=1（0Z）”；向量的数量积不满足消元

律，故a竺c=o巴.，不能类比得到ag.,c=h2

bebb.ca

【考点分析】

本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，

题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握.

12.复数的模

【知识点的知识】

1.复数的概念：形如a+biQ,66R)的数叫复数，其中a,b分别是它的实部和虚部.若

b=0,则a+〃为实数；若。#0,则a+应为虚数；若a=0,bWO,则a+6为纯虚数.

2、复数相等：a+bi—c+di^a—c,b—d(a,b,c,deR).

3、共轨复数：a+4与c+由共趣=a=c,b+d=O(a,b,c,deR).

4、复数的模:后的长度叫做复数z=a+W的模,记作|z|或|a+如,BP|z|=|a+W|=Va2+h2.

13.众数、中位数、平均数

【知识点的认识】

1.众数、中位数、平均数

众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，

其中以平均数的应用最为广泛.

(1)众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；

(2)中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个

数据的平均数)叫做这组数据的中位数；

(3)平均数：一组数据的算术平均数，即元=沁工+七+...+/).

2.众数、中位数、平均数的优缺点

特征数优点缺点

众数体现了样本数据的最大只能表达样本数据中的很少一部分

集中点信息无法客观反映总体特征

中位数不受少数极端值的影响不受少数极端值的影响

平均数与每一个数据有关，更受少数极端值的影响较大，使其在

靛反映全体的信息.估计总体时的可靠性降低.

【解题方法点拨】

众数、中位数、平均数的选取：

（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；

（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）;

（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）.

根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：

（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数.

（2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中

位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以

估计中位数的值.

（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点.平均数等于频率分布直方

图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之

和.

14.列举法计算基本事件数及事件发生的概率

【知识点的知识】

1、等可能条件下概率的意义：一般地，如果在一次试验中，有w种可能的结果，并且它们

发生的可能性都相等，事件A包含其中的〃2种结果，那么事件A发生的概率为PG4）/

等可能条件下概率的特征：

（1）对于每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的；

（2）每一个结果出现的可能性相等.

2、概率的计算方法：

（1）列举法（列表或画树状图），

（2）公式法；

列表法或树状图这两种举例法，都可以帮助我们不重不漏的列出所以可能的结果.

列表法

（1）定义：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法.

（2）列表法的应用场合

当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能

的结果，通常采用列表法.

树状图法

（1）定义：通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法.

（2）运用树状图法求概率的条件

当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可

能的结果，通常采用树状图法求概率.

【典型例题分析】

典例1：将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为。，第二次出现的点数记为b,设任

意投掷两次使两条不重合直线/1：力=2,12：x+2y=2平行的概率为P,相交的概率为

P2,若点（尸1,尸2）在圆（X-m）2+『=事的内部，则实数机的取值范围是（）

144

A.（一盘，+8）B.（-8,—）C.（—工,—D.（一盘，—）

181818islo18

解析：对于a与b各有6中情形，故总数为36种

设两条直线/l：ax+by=2,fa：尤+2y=2平行的情形有a=2,6=4,或a=3,b=6,故概率

为八P=—36=—18

设两条直线依+力=2,/2：x+2y=2相交的情形除平行与重合即可，

:当直线/1、/2相交时图中满足6=2a的有（1,2）、（2,4）、（3,6）共三种，

,满足bf2a的有36-3=33种，

直线/1、/2相交的概率2=叁=整，

□O1Z

:点（P1,尸2）在圆（尤-7%）2+/2=感的内部，

(--m)2+(-)2_137

<-144,

1812

解得一得〈根

故选：D

典例2：某种零件按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级，现从一批该零件巾随机抽取20

个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下

等级12345

频率0.05m0.150.35n

（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求机，〃；

（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件

等级恰好相同的概率.

解析：（1）由频率分布表得0.05+777+0.15+0.35+72=1,

即m+n=0A5.…（2分）

由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，

得71==0.1.…（4分）

所以力=0.45”0.1=0.35.…（5分）

（2）：由（1）得，等级为3的零件有3个，记作xi,X2,尤3；等级为5的零件有2个，

记作yi,yi.从尤i,X2,%3,y\,”中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：（尤i,X2）,（尤1,

X3）,（XI,yi）,（XI,V2）,（X2,X3）,（X2,JI）,（X2,y2）,（X3,>1）,（X3,J2）,（jl,"）

共计10种.…（9分）

记事件A为“从零件尤1,尤2,X3,yi,”中任取2件，其等级相等”.

则A包含的基本事件为（尤1,X2）,Cxi,尤3）,Cx2,%3）,（yi,>2）共4个.…（11分）

故所求概率为P（4）=吉=04…（13分）

15.伪代码（算法语句）

【知识点的认识】

1.伪代码：一种介于自然语言和计算机语言之间的文字和符号.

2.基本算法语句：

（1）输入语句：实现算法的输入信息功能.

INPUT"提示内容”；变量

或/NPUF"提示内容1,提示内容2,提示内容3,…”；变量1,变量2,变量

3,…

说明：①“提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量是指程序在运行时其值是可

以变化的量.

②输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式.

③提示内容与变量之间用分号“；”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，”

隔开.

（2）输出语句：实现算法的输出结果功能.

PR/NT”提示内容”；表达式

说明：①“提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达式是指程序要输出的数据.

②输出语句可以输出常量、变量或表达式的值及字符.

（3）赋值语句：表明赋给某个变量一个具体的确定值的语句.

变量=表达式（其中“=”为赋值号）

说明：①先计算赋值号右边的表达式的值，再把求得的值赋值给左边的变量，使该变

量的值等于表达式的值.

②赋值号左边只能是变量名字，不能是表达式，且赋值号左右不能对换.

③注意赋值号“=”与数学中等号意义不同，不能用于进行代数式的演算.

（4）条件语句：处理条件分支逻辑结构的算法语句.

（IF-THEN-ELSE格式）（IF-THEN格式）

IF条件THENIF条件THEN

语句1语句

ELSEENDIF

语句2

ENDIF

说明：①IF-THEN-ELSE：执行时，先对"1后的条件进行判断，若条件符合，执行

语句1,否则执行语句2.

@IF-THEN：执行时，先对"1后的条件进行判断，若条件符合，执行THEN后的语句，

否则结束条件语句，

执行其他语句.

（5）循环语句：实现算法中的循环结构，分WHILE（当型）和UNTIL（直到型）两种语句.

（WHILE语句）（UNTIL语句）

WHILE条件DO

循环体循环体

WENDLOOPUNTIL条件

说明：①WHILE语句：前测试型循环.先判断真假，若条件符合执行循环体，再判断

条件真假，若仍符合，

再次执行，如此反复，直到某次条件不符合为止，跳出循环体，执行WEND

之后的语句.

②UNTIL语句:先执行，再判断条件是否符合，若不符合，再次执行，再判断，如此反复,

直到条件符合

为止，跳出循环体，执行循环体外的语句.

【命题方向】

伪代码知识点的考查常以选择、填空题形式出现，难度不大，属于基础题.掌握各种基本算

法语句的定义，了解它们的格式和作用，是正确理解伪代码的关键，也是解此类题的关键.

（1）程序运行计算

例：根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）

：输入X]

•If烂50Then

；j7.5。I

：Else

；J=25+0.6*（A50）I

[EndIfI

：输出F；

II

A.25B.3QC.31D.61

分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用

是计算并输出分段函数y=f°,5x，50的函数值.

（25+0.6（x-50）,x>50

解答：分析程序中各变量、各语句的作用,

再根据流程图所示的顺序，可知:

该程序的作用是计算并输出分段函数y=|°，5X，A-50的函数值.

(25+0.6(x—50),x>50

当x=60时，则y=25+0.6(60-50)=31,

故选C.

点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视.程序

填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋

值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是：不能准确理解流

程图的含义而导致错误.

(2)程序填空

例：阅读如下程序，若输出的结果为蔡，则在程序中横线？处应填入语句为()

s=o

n=2

i=l

DO

S=S+1/n

n=2*n

i=i-l

LOOPUNTIL?

PRINTS

END

A.i26B.C.iW7D.运8.

分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用

是累加并输出变量S的值，要确定进入循环的条件，可模拟程序的运行，用表格对程序运行

过程中各变量的值进行分析，不难得到题目要求的结果.

解答：程序运行过程中，各变量值如下表所示：

Sni是否继续循环

循环前021/

第一圈242是

2

第二圈二+283是

24

第三圈一HF-164是

248

第四圈2+二+2+2325是

24816

第五圈一H-----F-H-----+-646是

2481632

生,团11111163“日

第6圈―+—+—+—+—+—=—1287/E

24816326464

第7圈否

即，=7时退出循环

故继续循环的条件应为：，27

故选艮

点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视.程序

填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋

值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是：不能准确理解流

程图的含义而导致错误.

16.两角和与差的三角函数

【知识点的认识】

(1)C(a邛)：cos(a-p)=cosacos0+sinasinB；

(2)C(a+p)：cos(a+p)=cosacos0-sioasinB；

(3)S(a+p)：sin(a+p)=sinacos0+cosasinB;

(4)S(a邛)：sin(a-p)=sinacos0-cosasin0；

tana^tanft

(5)T(a+p):tan(a+0)=

1—tanatanft

tana-tan。

(6)T(oc邛):tan(a-p)

1-^-tanatanp

17.二倍角的三角函数

【二倍角的三角函数】

二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即a=0的一种特例，其公式为:

sin2a=2sina・cosa；其可拓展为l+sin2a=(sina+cosa)2.

二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即a=B的一种特例，其公式为:

cos2a=cosa-sina=2cosa-1=1-2sina.

二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即a=0的一种特例，其公式为:

tan2a=产吗.对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可.

1-tan-a

【例题解析】

例：y=sin2x+2sin_xcosx的周期是IT

解：'/y=sin2.r+2sinxcosx

上浮+sin2x

=sin2x-^cos2x+：

=-7^-sin(2x+(p)+£，(tan<p=—)

其周期T=^=n.

故答案为：it.

这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相

关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相

似性，所以大家要熟记各种公式.

【考点点评】

本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练

习，熟记各种公式.

18.余弦定理

【知识点的知识】

1.正弦定理和余弦定理

定理正弦定理余弦定理

内容a2=b2+c1-2Z?ccosA,

abc

———2R

sinAsinBsinC庐=〃2+。2-2accos_B,

（R是△ABC外接圆半径）c21=a2^-b1-2abcos_C

变形①〃=2RsinA,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C；

同b-+c2-a2

cosA=-----------,

形式2bc

@sinA=枭sinB=导sinC=卷；

cosB=------------,

③a：b：c=sinA：sinB：sinC；2ac

④“sinB=/?sinA,/?sinC=csinB,asinC

cosC=-+

=csinA2ab

解决①已知两角和任一边，求另一角和其他两①已知三边，求各角；

三角条边；②已知两边和它们的夹角，求第三边和

形的②②已知两边和其中一边的对角，求另其他两角

问题一边和其他两角

【正余弦定理的应用】

1、解直角三角形的基本元素.

2、判断三角形的形状.

3、解决与面积有关的问题.

4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方

面都要用到解三角形的知识

（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理

就可解决.

解题关键在于明确：

①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形

两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；

②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应

用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可

到达的一点之间的距离问题.

（2）测量高度问题：

解题思路：

①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三

角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，

然后转化为解直角三角形的问题.

②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，

然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余

弦定理求解即可.

点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念.仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与

水平线的夹角.当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角.

19.圆的标准方程

【知识点的认识】

1.圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆.定点叫做圆心，定

长就是半径.

2.圆的标准方程：

（尤-a）2+（y-b）2—r（r>0）,

其中圆心C（a,6）,半径为r.

特别地，当圆心为坐标原点时，半径为厂的圆的方程为：

x1+y2=r1.

其中，圆心（a,b）是圆的定位条件，半径，是圆的定形条件.

【解题思路点拨】

已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是

求出a,"厂的值再代入.一般求圆的标准方程主要使用待定系数法.步骤如下：

（1）根据题意设出圆的标准方程为（x-a）2+（厂6）2=，；

（2）根据已知条件，列出关于a,b,7"的方程组；

（3）求出a,b,/■的值，代入所设方程中即可.

另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程.

【命题方向】

可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a,6,厂值的求解可能和直线

与圆的位置关系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度.在解答题中，圆的标准

方程作为基础考点往往出现在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，

找出a,b,/•的值或解得圆的一般方程再进行转化.

例1：圆心为(3,-2),且经过点(1,-3)的圆的标准方程是(x-3)2+(y+2)2=5

分析：设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程.

解答：设圆的标准方程为(x-3)2+(y+2)2=网，

由圆M经过点(1,-3)得产=5,从而所求方程为(尤-3)2+(y+2)2=5,

故答案为(尤-3)2+(y+2)2=5

点评：本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径.

例2：若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4尤-3y=0和无轴都相切，则该圆的

标准方程是()

A.(x-2)2+(y-1)2=1

B.(尤-2)2+(y+1)2=1

C.(x+2)2+(j-1)2=1

D.(尤-3)2+(j-1)2=1

分析：要求圆的标准方程，半径已知，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为(。，6),由已

知圆与直线4尤-3y=0相切，可得圆心到直线的距离等于圆的