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课时作业(十七)求导法则及其应用一、选择题1.若f(x)=eq\f(1-x2,sinx),则f(x)的导数是()A.eq\f(-2xsinx-(1-x2)cosx,sin2x)B.eq\f(-2xsinx+(1-x2)cosx,sin2x)C.eq\f(-2xsinx+(1-x2),sinx)D.eq\f(-2xsinx-(1-x2),sinx)2.函数f(x)=x+xlnx在(1,1)处的切线方程为()A.2x+y-1=0B.2x-y-1=0C.2x+y+1=0D.2x-y+1=03.设曲线y=eq\f(x+1,x-1)在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=()A.2B.eq\f(1,2)C.-eq\f(1,2)D.-24.函数y=(2023-8x)3的导数y′=()A.3(2023-8x)2B.-24xC.-24(2023-8x)2D.24(2023-8x)2二、填空题5.已知f(x)=ln(3x-1),则f′(1)=________.6.若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是________.7.设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=________.三、解答题8.已知函数f(x)=ax2+bx+3(a≠0),其导函数f′(x)=2x-8.(1)求a,b的值;(2)设函数g(x)=exsinx+f(x),求曲线g(x)在x=0处的切线方程.9.曲线y=e2x+1在点(-eq\f(1,2),1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为eq\r(5),求直线l的方程.[尖子生题库]10.(1)已知f(x)=eπxsinπx,求f′(x)及f′(eq\f(1,2));(2)在曲线y=eq\f(1,1+x2)上求一点,使在该点的切线平行于x轴,并求切线方程.课时作业(十七)求导法则及其应用1.解析:f′(x)=eq\f((1-x2)′sinx-(1-x2)·(sinx)′,sin2x)=eq\f(-2xsinx-(1-x2)cosx,sin2x).答案:A2.解析:∵f′(x)=(x+xlnx)′=1+x′lnx+x(lnx)′=1+lnx+1=2+lnx,∴f′(1)=2+ln1=2,∴函数f(x)在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.答案:B3.解析:∵y=eq\f(x+1,x-1)=1+eq\f(2,x-1),∴y′=-eq\f(2,(x-1)2),∴y′|x=3=-eq\f(1,2).∴-a×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)))=-1,即a=-2.答案:D4.解析:y′=3(2023-8x)2×(2023-8x)′=3(2023-8x)2×(-8)=-24(2023-8x)2.答案:C5.解析:f′(x)=eq\f(1,3x-1)·(3x-1)′=eq\f(3,3x-1),∴f′(1)=eq\f(3,2).答案:eq\f(3,2)6.解析:设P(x0,y0).∵y=xlnx,∴y′=lnx+x·eq\f(1,x)=1+lnx.∴k=1+lnx0.又k=2,∴1+lnx0=2,∴x0=e.∴y0=elne=e.∴点P的坐标是(e,e).答案:(e,e)7.解析:易知y′=aeax,k=ae0=a,故a×(-eq\f(1,2))=-1,则a=2.答案:28.解析:(1)因为f(x)=ax2+bx+3(a≠0),所以f′(x)=2ax+b,又f′(x)=2x-8,所以a=1,b=-8.(2)由(1)可知g(x)=exsinx+x2-8x+3,所以g′(x)=exsinx+excosx+2x-8,所以g′(0)=e0sin0+e0cos0+2×0-8=-7,又g(0)=3,所以曲线g(x)在x=0处的切线方程为y-3=-7(x-0),即7x+y-3=0.9.解析:因为y=e2x+1,所以y′=2e2x+1,又因为切点(-eq\f(1,2),1),所以k=2,故曲线在点(-eq\f(1,2),1)处的切线方程为2x-y+2=0,设直线l的方程为2x-y+m=0(m≠2),由eq\f(|m-2|,\r(5))=eq\r(5)得,m=7或-3,所以直线l的方程为2x-y+7=0或2x-y-3=0.10.解析:(1)∵f(x)=eπxsinπx,∴f′(x)=πeπxsinπx+πeπxcosπx=πeπx(sinπx+cosπx).∴f′(eq\f(1,2))=πeeq\s\up6(\f(π,2))(sineq\f(π,2)+coseq\f(π,2))=πeeq\s\up6(\f(π,2)).(2)设切点坐标为P(x0,y0)
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