【数学】离散型随机变量测试卷-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第1页（共1页）离散型随机变量一．选择题（共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）1．下列X是离散型随机变量的是（）①某座大桥一天经过的车辆数X；②在一段时间间隔内某种放射性物质放出的α粒子数η；③一天之内的温度X；④一射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分．A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④2．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为如表，则q＝（）ξ﹣101P2q﹣1qA． B． C． D．3．已知离散型随机变量X的概率分布为X123pi0.30.20.5则下列正确的是（）A．P（1≤X≤3）＝0.5 B．P（1≤X≤3）＝1 C．P（X＝4）＝0 D．P（X＝4）＝0.24．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的数学期望E（ξ）＝8.9，则y的值为（）A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.25．随机变量X的分布列如表所示，若E（X）＝，则D（3X﹣2）＝（）X﹣101PabA．9 B．7 C．5 D．36．某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记这2人成绩在90分以上（含90分）的人数为ξ，则ξ的数学期望为（）A． B． C． D．7．一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为（）A．2.44 B．3.376 C．2.376 D．2.48．若随机变量ξ的分布列如表所示，则D（1﹣3ξ）＝（）ξ﹣101Pa2A． B．2 C． D．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。）（多选）9．某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为，游览B，C，D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立．用随机变量X表示该游客游览的景点个数，则（）A．该游客至多游览一个景点的概率为 B． C． D．（多选）10．为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程．则（）A．甲乙丙三人选择课程方案有120种方法 B．恰有三门课程没有被三名同学选中的概率为 C．已知甲不选择课程“御”的条件下，乙丙也不选择“御”的概率为 D．设三名同学选择课程“礼”的人数为ξ，则（多选）11．袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则（）A．X～B（4，） B． C．X的期望 D．X的方差（多选）12．设离散型随机变量X的分布列为X01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y满足Y＝2X+1，则下列结果正确的有（）A．q＝0.1 B．EX＝2，DX＝1.4 C．EX＝2，DX＝1.8 D．EY＝5，DY＝7.2三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分。）13．某射手射击所得环数ξ的分布列如表，已知ξ的期望Eξ＝8.9，则y的值为．ξ78910Px0.10.3y14．已知离散型随机变量X的分布列如表．若E（X）＝0，D（X）＝1，则a＝，b＝．X﹣1012Pabc15．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则DX＝．16．某班有A，B两个学习小组，其中A组有2位男生，1位女生，B组有2位男生，2位女生．为了促进小组之间的交流，需要从A，B两组中随机各选一位同学交换，则交换后A组中男生人数的数学期望为．四．解答题（共6小题，共70分）17．(10分)袋中装有6个白球，3个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．（1）若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列；（2）若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列．18．（12分）为落实“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动．甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛．规定：每局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局．首先获得5分者获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率都是．（1）求比赛结束时恰好打了6局甲获胜的概率；（2）若甲以3：1的比分领先，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列．19．（12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．20．（12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）．（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中有放回的抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）21．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？22．（12分）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．

离散型随机变量参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．【解答】解：对于①，X表示某座大桥一天经过的车辆数，X的值可以一一列举，是离散型随机变量，对于②，η在一段时间间隔内某种放射性物质放出的α粒子数，η的值可以一一列举，是离散型随机变量，对于③，X表示一天内的温度，不能一一列举，不是离散型随机变量，对于④，X表示该射手在一次射击中的得分，X的值为0和1，是离散型随机变量，故选：B．2．【解答】解：根据题意可得+2q﹣1+q＝1，解得q＝，故选：B．3．【解答】解：P（1≤X≤3）＝P（X＝1）+P（X＝2）＝0.2+0.5＝0.7，故A、B错误；X的可能取值不能为4，所以P（X＝4）＝0，故C正确，D错误．故选：C．4．【解答】解：由表格根据分布列的性质可得，可知：x+0.1+0.3+y＝1，因为E（ξ）＝8.9，所以7x+8×0.1+9×0.3+10×y＝8.9解得y＝0.4．故选：C．5．【解答】解：∵E（X）＝，∴由随机变量X的分布列得：，解得a＝，b＝，∴D（X）＝（﹣1﹣）2×+（0﹣）2×+（1﹣）2×＝．∴D（3X﹣2）＝9D（X）＝9×＝5．故选：C．6．【解答】解：由题意得：（0.006+0.006+0.01+0.054+x+0.006）×10＝1，解得x＝0.018，由题意得[80，90）内的人数为50×0.018×10＝9人，[90，100]内的人数为50×0.006×10＝3人，从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记这2人成绩在90分以上（含90分）的人数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，则ξ的数学期望Eξ＝＝．故选：B．7．【解答】解：由题意知ξ＝0，1，2，3，∵当ξ＝0时，表示前三次都没射中，第四次还要射击，但结果不计，∴P（ξ＝0）＝0.43，∵当ξ＝1时，表示前两次都没射中，第三次射中∴P（ξ＝1）＝0.6×0.42，∵当ξ＝2时，表示第一次没射中，第二次射中∴P（ξ＝2）＝0.6×0.4，∵当ξ＝3时，表示第一次射中，∴P（ξ＝3）＝0.6，∴Eξ＝2.376．故选：C．8．【解答】解：由a++a2＝1，a＞0，化为3a2+a﹣2＝0，a＞0，解得a＝，E（ξ）＝﹣1×+0×+1×＝，∴D（ξ）＝（﹣1）2×+02×+12×﹣＝．∴D（1﹣3ξ）＝（﹣3）2D（ξ）＝9×＝．故选：D．二．多选题（共4小题）9．【解答】解：X的所有可能取值为0，1，2，3，4．A.，P（x＝1）＝×+3××＝，∴该游客至多游览一个景点的概率为，故A正确．B．P（X＝2）＝×××+×××＝，故B正确．C.，故C错误．D．P（X＝3）＝×××+（1﹣）××＝，∴，故D正确．故选：ABD．10．【解答】解：选项A：甲乙丙三人每人都有6中选择，共有6×6×6＝216种，故A错误，选项B：恰有三门课程没有被三名同学选中即3名学生选择了不同的三门，则概率为P＝，故B正确，选项C：甲不选择课程“御”的概率为1﹣，甲乙丙同时不选择课程“御”的概率为＝，则甲不选择课程“御”的条件下，乙丙也不选择“御”的概率为，故C正确，选项D：由于各门机会相等，则6E（ξ）＝3，所以E（ξ）＝，故D正确，故选：BCD．11．【解答】解：由于每次取球互不影响，故所有结果有4类：①4次全是白球，X＝0，记其概率为；②4次只有1次是黑球，X＝1，记其概率为；③4次只有2次是黑球，X＝2，记其概率为；④4次只有3次是黑球，X＝3，记其概率为；⑤4次全是黑球，X＝4，记其概率为．故X～B（4，），故A正确，B错误；因为X～B（4，），所以X的期望，故C正确；因为X～B（4，），所以X的方差，故D正确．故选：ACD．12．【解答】解：由离散型随机变量X的分布列的性质得：q＝1﹣0.4﹣0.1﹣0.2﹣0.2＝0.1，E（X）＝0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2＝2，D（X）＝（0﹣2）2×0.1+（1﹣2）2×0.4+（2﹣2）2×0.1+（3﹣2）2×0.2+（4﹣2）2×0.2＝1.8，∵离散型随机变量Y满足Y＝2X+1，∴E（Y）＝2E（X）+1＝5，D（Y）＝4D（X）＝7.2．故选：ACD．三．填空题（共4小题）13．【解答】解：由表格可知：x+0.1+0.3+y＝1，7x+8×0.1+9×0.3+10×y＝8.9解得y＝0.4．故答案为：0.4．14．【解答】解：由题知，﹣a+c+＝0，，∴，。故答案为：；．15．【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p＝0.02，n＝100，则DX＝npq＝np（1﹣p）＝100×0.02×0.98＝1.96．故答案为：1.96．16．【解答】解：P（B组出男生）＝，P（B组出女生）＝，P（A组出男生）＝，P（A组出女生）＝，两组各自出的是哪个人相互独立，设交换后A组中男生X人，则X＝1，2，3，P（X＝1）＝P（A组出男生）•P（B组出女生）＝，P（X＝2）＝P（A组出男生）•P（B组出男生）+P（A组出女生）•P（B组出女生）＝，P（X＝3）＝P（A组出女生）•P（B组出男生）＝，所以．故答案为：．四．解答题（共6小题）17．【解答】解：（1）袋中装有6个白球，3个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为X，由题意可知X的可能取值为0，1，2，3，X～H（13，3，3），，，，，所以，X的分布列为：X0123P（2）每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为Y，有放回地抽取3次，可看作3次独立重复试验，每次抽取到黑球的概率均为，由题意可知Y的可能取值为0，1，2，3，Y～B（3，），，，，，所以Y的分布列为：Y0123P18．【解答】解：（1）比赛结束时恰好打了6局，甲获胜的概率为；（2）X的可能取值为2，3，4，5，则，，，．所以X的分布列如下：X2345P19．【解答】解：用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，Ak表示第k局甲获胜，Bk表示第k局乙获胜，则P（Ak）＝，P（Bk）＝，k＝1，2，3，4，5（Ⅰ）P（A）＝P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）＝（）2+×（）2+××（）2＝．（Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5．P（X＝2）＝P（A1A2）+P（B1B2）＝，P（X＝3）＝P（B1A2A3）+P（A1B2B3）＝，P（X＝4）＝P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）＝，P（X＝5）＝P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5）+P（B1A2B3A4A5）+P（A1B2A3B4B5）＝＝，或者P（X＝5）＝1﹣P（X＝2）﹣P（X＝3）﹣P（X＝4）＝，故分布列为：X2345PE（X）＝2×+3×+4×+5×＝．20．【解答】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10＝1解得a＝0.03；又由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，而50个样本小球重量的平均值为：＝0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40＝24.6（克）故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2；则X～B（3，），X＝0，1，2，3；P（X＝0）＝×（）3＝；P（X＝1）＝×（）2×＝；P（X＝2）＝×（）×（）2＝；P（X＝3）＝×（）3＝，∴X的分布列为：X0123P即E（X）＝0×＝．21．【解答】解：（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，P（X＝200）＝＝0.2，P（X＝300）＝，P（X＝500）＝＝0.4，∴X的分布列为：X200300500P0.20.40.4（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，