2021-2022学年安徽省合肥市包河区九年级（上）期末数学试卷（解析版）

2021-2022学年安徽省合肥市包河区九年级第一学期期末数学试

卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

2.已知线段a、b、c满足工-=上，其中a=4cnz,b—\2cm,则c的长度为（）

bc

A.9cmB.\ScmC.24cmD.36cm

3.已知反比例函数的解析式为y=-旦，则它的图象经过点（）

X

A.（1,3）B.（1,-3）C.（-1,3）D.（-2,3）

4.如图，在边长为1的正方形网格中，点A、O、3均在格点上，则tanNAOB的值是（）

A.—B.2c.JRD.匹

5.将函数y=2x2+4x+l的图象向下平移两个单位，以下结论正确的是（）

A.开口方向改变B.对称轴位置改变

C.y随x的变化情况不变D.与），轴的交点不变

6.如图，口80石尸顶点。、E、尸分别在△ABC的三边上，则下列比例式不成立的是（）

AD_AE口AEDE「ADDEnADCF

DB"EC'AC"BC'EF'FC'AB'BF

7.如图，在离铁塔BC底部30米的。处，用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为a=30°,

测角仪高AD为1.5米，则铁塔的高8。为（）

B

A.16.5米B.(10^3+1.5)米

C.(15A/3+1.5)米D.(15&+1.5)米

8.如图，四边形ABC。内接于。0,若NAO3=40°,BC//OA,则NAQC的度数为（)

D

A.60°B.65°C.70°D.75°

9.在西宁市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球

飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足函数解析式），=-士炉+多+与，由此可

1233

知该生此次实心球训练的成绩为（）

A.6米B.8米C.10米D.12米

10.如图，在RtZk4BC中，ZACB=90°,AC=6,BC=4.点尸为射线C8上一动点，过

点C作尸于交AB于E,。是AB的中点，则0M长度的最小值是（）

祀C.1D.76-2

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11.二次函数y=N-3的顶点坐标是

12.如图,AB是的直径，弦CDL48于点E,AB=4,CD=2五,则BE的长度是

A

13.已知点A是y=K(x>0)图象上的一点，点8是x轴负半轴上一点，连接AB,交y

x

轴于点C,若AC=8C,SABOC=1,则％的值是.

14.如图，在△ABC中，A8=9,BC=6,NACB=2NA,C£>平分/ACB交AB于点O,

点M是AC上一动点(AMVaAC),将△AOM沿DM折叠得到△EDM,点A的对应点

为点E,与4c交于点F.

(1)CD的长度是；

(2)若MEHCD,则AM的长度是

三、(本大题共2小题，每小题8分，总计16分)

15.计.算：sin450*cos45°-tan600-rcos30°.

16.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交

点)为顶点的△A8C和格点O.

(1)以点O为位似中心，将△A8C放大2倍得到△4BC1,在网格中画出△AiBCi；

(2)将AABC绕点。逆时针旋转90°得△A2&C2,画出AAzB2c2.

四、(本大题共2小题，每小题8分，总计16分)

17.已知一次函数yi=fcc+匕与反比例函数”=旦的图象交于点A(3,m)BCn,-3).

x

(1)求一次函数的解析式；

(2)在图中画出一次函数的图象，并根据图象直接写出的自变量x的范围.

18.已知，如图，ABHDC,ZABC+ZADB=ISO°.

(1)求证：XABDsXBDC；

(2)若4E平分ND4B,8尸平分NOBC,且BF=2AE,S&ABD=3,求SABDC.

五、(本大题共2小题，每小题10分，总计20分)

19.数学兴趣小组的成员在观察点A测得观察点B在4的正北方向，古树C在A的东北方

向：在B处测得C在B的南偏东63.5°的方向上，古树。在8的北偏东53°的方向上,

已知。在C正北方向上，即CZ）〃4B,AC=50«米，求古树C、。之间的距离.（结

果保留到01米，参考数据：&M.41,sin63.5°-0.8%cos63.5°-0.45,tan63.5°弋

2.00,sin53°^0.80,cos530*=0.60,tan53°^1.32）

20.二次函数y=ax2+陵+4的部分对应值如表所示：

x-01234

y—ax2+hx+4•••46640

（1）求二次函数的解析式，并求其图象的对称轴；

Q

⑵点（〃?，》）、（2-，*,”）是其图象上的两点，若«>-|,则9y2（填“>”、

或"="）.

六、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）

21.如图，已知A8是。。的直径，C为。。上一点，/OCB的平分线交。。于点。，过点

D作。0的切线交CB的延长线于点E.

（1）求证：CEJ_£>E；

七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）

22.已知，如图，直线y=2x+4与x轴、y轴交于点A、B,抛物线y=—1■x2+bx+c经过点A、

B,与x轴交于点C.

(1)求氏c•的值，并求直线BC的解析式；

(2)点P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AB、BC于点M、

N,连接CM,小明认为：当△CMN面积最大时，线段PN的长度最大，小明的想法对吗？

八、(本大题共1小题，每小题14分，总计14分)

23.如图1,/\ABC^/\DAE,NB4C=NADE=90°.

(1)连接CE,若AB=l,点B、C、E在同一条直线上，求AC的长；

(2)将绕点A逆时针旋转a(0°<a<90°),如图2,8c与A。交于点F,

8c的延长线与AE交于点N,

过点。，作力例〃AE交BC于点M.

求证：①BM=DM；

②M—NF.NB.

图I佟12

参考答案

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)

1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

解：4不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意.

故选：C.

2.已知线段b、c满足包上，其中。=4的，b—\2cm,则c的长度为()

bc

A.9cmB.18cwC.24cmD.36cm

【分析】根据线段比例中项的概念，可得b=b：c,可得匕2=碇=144,故c的值可求.

解："."a：b—b：c,a—4cm,b—12cm,

.".b2—ac—4c—144,

解得c=36,

故选：D.

3.已知反比例函数的解析式为y=力，则它的图象经过点()

X

A.(1,3)B.(1,-3)C.(-1,3)D.(-2,3)

【分析】根据丫=心得上=盯=-6,所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于-6,就在函

X

数图象上.

解：:y=~

x

*.k=xy=-6,

A.砂=1X3=3W攵，不符合题意；

B,xy=lX(-3)=-3半k,不合题意;

C.xy=-lX3=-3#Z,不合题意;

D.xy=-2X3=-6=kf符合题意.

故选：D.

4.如图，在边长为1的正方形网格中，点A、0、3均在格点上，则tanNAOB的值是（）

A.—B.2C.疵D.S

2v2

【分析】连接48,在直角AAOB中利用正切函数的定义即可求解.

解：如图，连接A8.

在直角△AOB中，VZOfiA=90°,AB=2,08=4,

故选：A.

5.将函数y=2%2+4x+l的图象向下平移两个单位，以下结论正确的是（）

A.开口方向改变B.对称轴位置改变

C.y随x的变化情况不变D.与），轴的交点不变

【分析】由于抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，。不变，抛物线的增减性不变.

解：A、将函数ynaP+foc+c（a#0）的图象向下平移两个单位，“不变，开口方向不变,

故不符合题意.

B、将函数y=ax2+6x+c（aWO）的图象向下平移两个单位，顶点的横坐标不变，对称轴

不变，故不符合题意.

C、将函数y=a«2+fev+c（aWO）的图象向下平移两个单位，抛物线的开口方向不变，对

称轴不变，则y随x的变化情况不变，故符合题意.

D、将函数）=以2+云+c（a¥o）的图象向下平移两个单位，与y轴的交点也向下平移两

个单位，故不符合题意.

故选：c.

6.如图，oBDE尸顶点。、E、尸分别在△ABC的三边上，则下列比例式不成立的是（）

AEDE„ADDE「ADCF

A.他金Rc.--=---

DBECACBCEFFCABBF

【分析】根据平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例、比例的性质对以下选项

进行一一验证.

解：•・•四边形是平行四边形,

DE//BC,EF〃AB,DE=BF、BD=FE.

A♦：DE〃B3

黑=绘，故A选项正确;

DBEC

B,:DE〃BC,

/=坐，故B选项正确;

ACBC

C,:DE〃BC,

ZAED=ZCf/ADE=/B,

EF//AB,

/B=NEFC,

/ADE=/EFC,

△NDEs[\EFC,

”=理，故C选项正确:

EFFC

D.,:DE〃BC,

墨=,二,'故。选项错误;

故选：D.

7.如图，在离铁塔BC底部30米的D处，用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为a=30°,

测角仪高4Q为1.5米，则铁塔的高3。为（)

B

A.16.5米B.（10扬1.5）米

C.（15扬1.5）米D.（15扬1.5）米

【分析】过点A作AEJ_BC,E为垂足，由锐角三角函数的定义求出3E的长，再由BC

=CE+BE即可得出结论.

解：过点A作AEJ_BC,E为垂足，如图所示：

则四边形ADCE为矩形，AE=30米，

：.CE=-AD=\.5米，

在中，tana=^=tan30°=返，

AE3

BE=^-AE=J^-X30=1073（米），

33

：.BC=BE+CE=（10V3+1.5）米，

故选：B.

8.如图，四边形4BC。内接于若NAO8=40°,BC//OA,则/AOC的度数为（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

【分析】根据平行线的性质求出NOBC,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求

出/OBA,进而求出NABC,再根据圆内接四边形的性质计算，得到答案.

解："：BC//OA,乙408=40°,

AZOBC=ZAOB=40°,

9

：OA=OBfNAOB=40°,

：.ZOBA=—X（180°-40°）=70°,

2

.♦・NA8C=NO8A+NO8C=40°+70°=110°,

・・•四边形ABC。内接于O。，

・・・NA£>C=180°-ZABC=180°-110°=70°,

故选：C.

9.在西宁市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球

飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足函数解析式y=-磊x2+圣+晟，由此可

■LNOO

知该生此次实心球训练的成绩为（）

A.6米B.8米C.10米D.12米

【分析】根据铅球落地时，高度y=0,把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可.

解：当y=0时，即y=--^2+2%+$=0,

1233

解得，x=-2（舍去），x=10.

故选：C.

10.如图，在RlZ\ABC中，ZACB=90°,AC=6,8C=4.点/为射线上一动点，过

点C作CMLA/于M,交A8于£。是A8的中点，则。M长度的最小值是（）

C.1D.五-2

【分析】如图，取AC的中点T,连接。T,MT.利用三角形的中位线定理求出。T,利

用直角三角形的中线的性质求出MT,再根据。M2MT-OT,可得结论.

解：如图，取AC的中点T,连接CT,MT.

*：AD=DB,AT=TCf

：.DT=—BC=2,

2

'：CE.LAF9

・・・NAMC=90°,

：,TM=—AC=3,

2

・•.点M的运动轨迹是以T为圆心，7M为半径的圆，

-DT=3-2=\,

・・・OM的最小值为1,

故选：C.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分2（）分）

11.二次函数y=N-3的顶点坐标是（0,-3）.

【分析】根据顶点式y=a（x-h）2+上的顶点坐标是（〃，k）,找出〃，人即可得出答案.

解：二次函数y=9-3的顶点坐标为（0,-3）,

故答案为（0,-3）.

12.如图，AB是。0的直径，弦CZJLAB于点E,A8=4,CD=2近,则8E的长度是2

二

【分析】求出半径为2,根据垂径定理求出CE,再根据勾股定理求出。£即可.

解：•.•直径A8=4,

，半径0C=0B=2,

\'CD±AB,AB过圆心0,CD=2近,

:.CE=DE=®,/OEC=90。，

由勾股定理得：OE=d℃2-Cg2=d22_(a)2=近,

:.BE=OB-0E=2-近,

故答案为：2-

13.已知点A是y=K(x>0)图象上的一点，点8是x轴负半轴上一点，连接AB,交y

X

轴于点C,若AC=8C,右6"=1,则k的值是4.

【分析】连接04作AOLx轴于。，则AO〃OC,根据题意得出2OC=AD,然后根据

三角形面积公式以及反比例函数系数k的几何意义求得即可.

解：连接0A,作入轴于。，贝

9

：AC=BCf

：.BO=DO,

：.20C=ADf

：SABOC=」BO・OC=1,

2

：.SAOD^—OD>AD^—BO-2OC^2,

A22

,点A是、=区(x>0)图象上的一点,

X

•••S^AOD=因'

.审I=2,

・・.仁士4,

•在第一象限,

；・k=4.

故答案为：4.

14.如图，在△ABC中，AB=9,BC=6,ZACB^2ZA,CD平分/ACB交AB于点O,

点M是AC上一动点(AMV/AC),将aAOM沿£>M折叠得到△EQM,点A的对应点

为点E,E。与AC交于点足

(1)8的长度是5；

(2)若MEHCD,则AM的长度是2.5.

【分析】(1)根据已知条件可得NACD=NA=N8C£>,所以AO=C£),然后证明AABC

s/\CBD,进而可以解决问题；

(2)由翻折可得OE=AO=5,/E=/4,由ME〃CD,可得/E=NE£)C,NEMC=

ZACD,根据等腰三角形的性质可得CM=QE=5,再根据△ABCs/\CBQ,得AC=7.5,

进而可以解决问题.

解：(1)平分NAC8,

NACB=2NACD=2NBCD,

'：ZACB=2ZA,

：.ZACD=ZA=ZBCD,

：.AD=CD,

VZA^ZBCD,NB=NB,

：.MABCs^CBD,

♦岖=区

••而一丽’

._9=_6_

,7一而

：.BD=4,

：.AD=AB-BD=9-4=5,

：.CD=AD=5.

・・・C。的长度是5.

故答案为：5；

(2)由翻折可知：DE=AD=5fNE=NA,

AZE=ZACD,

*：ME//CD,

:,/E=/EDC,NEMC=NACD,

：.ZACD=ZEDCtNEMC=NE,

：・FC=FD,FE=FM,

:.FC+FM=FD+EF,

:.CM=DE=5,

•・•XABCs丛CBD,

.AC=AB

•0—画

.AC_9

••f

56

；.AC=7.5,

：.AM=AC-CM=1.5-5=2.5.

.MM的长度是2.5.

故答案为：2.5；

三、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）

15.计算：sin45°*cos45°-tan60°4-cos30°.

【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可.

解：sin45°*cos450-tan60°+cos30°

=--2

2

=3,

'2'

16.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交

点)为顶点的△A8C和格点0.

(1)以点。为位似中心，将△ABC放大2倍得到△4BC1,在网格中画出△4BiG；

（2）将△ABC绕点。逆时针旋转90°得△A2&C2,画出AAaB2c2.

【分析】（1）利用相似变换的性质分别作出A,B,C的对应点Ai,G即可;

（2）利用旋转变换的性质分别作出A,B,C的对应点42,B2,C2即可.

解：（1）如图，/XAiSG即为所求;

（2）如图，△A2&C2即为所求.

四、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）

17.已知一次函数与反比例函数＞2=旦的图象交于点A（3,成）、8（〃，-3）.

x

（1）求一次函数的解析式；

（2）在图中画出一次函数的图象，并根据图象直接写出的自变量x的范围.

【分析】(1)把A的坐标代入反比例函数的解析式求出m的值，把B的坐标代入反比

例函数解析式求出”的值，然后把A、8的坐标代入％=质+"利用待定系数法求出一次

函数的解析式，

(2)结合图象和A、B的坐标即可求出答案；

解：(1),反比例函数”=2的图象经过点A(3,/rt),B(//,-3),

x

•6_?6

3n

.*./n=2,n=-2,

・・・A(3,2),B(-2,-3),

•・,一次函数”=履+占的图象经过A、B点,

,/3k+b=2

**|-2k+b=-3，

解得.

lb=-l

故一次函数的解析式为y=x-1；

(2)由图象可知，时x>3或-2<x<0.

18.已知，如图，AB//DC,ZABC+ZADB=ISO°.

(1)求证：

(2)若AE平分ND48,8F平分NQBC,且BF=2AE,SMBD=3,求SABDC.

【分析】(1)根据平行线的性质可得/ABO=8£>C,/ABC+/C=180°,进而可以解

决问题；

(2)根据相似三角形面积比等于相似比的平方，角平分线的比等于相似比，即可解决问

题.

【解答】(1)证明：

:./ABD=BDC,/ABC+/C=180°,

VZABC+ZADB=\SOa,

：.ZC=ZADB,

.,.△ABDS/\BDC；

(2)解：,:AABDs^BDC,AE平分NZM8,BF平分NDBC,BF=2AE,

.SAABD,AE、2/AEx1

.------(——)2=(----)』2(一)Z=一,

SABDCBF2AE24

VSAABD-3,

•*.S^HDC—4S&ABD=12；

五、(本大题共2小题，每小题10分，总计20分)

19.数学兴趣小组的成员在观察点4测得观察点B在A的正北方向，古树C在4的东北方

向；在B处测得C在8的南偏东63.5°的方向上，古树。在B的北偏东53°的方向上,

已知。在C正北方向上，即C£)〃AB,AC=50&米，求古树C、。之间的距离.(结

果保留到0.1米，参考数据：加-1.41,sin63.5°弋0.89,cos63.5°七0.45,tan63.5°弋

【分析】过2作BELCD于E,过C作CFLAB于F,根据矩形的性质得到BE=CF,

CE=BF,解直角三角形即可得到结论.

解：过B作BE_LCD于E,过C作C£LAB于凡

则四边形BFCE是矩形，

:・BE=CF,CE=BF,

VZCAF=45°,NA尸C=90°,

J~2

：.CF=AF=y-^-AC=509

2

VZCBF=63.5°,

:.BF=CE=---'"F。七旦1=25（米），

tan63.52

•：CD//ABf

AZD=53°,

•；/BED=90°,

：.DE=―心一^-七37.9（米），

tan531.32

；.CD=CE+DE=629（米），

20.二次函数),=0«2+必+4的部分对应值如表所示：

x-01234

y—ax2+hx+4,••46640

(1)求二次函数的解析式，并求其图象的对称轴；

Q

(2)点(m,%)、(2-m,”)是其图象上的两点，若机>卷，则w>m(填“>”、

或"=").

【分析】(1)通过待定系数法求函数解析式，再根据对称轴为直线*=-与求解.

2a

(2)根据抛物线开口方向，对称轴位置，及点(加，yi)、(2-巾，y2)与对称轴的距

离求解.

0=16a+4b+4

解：（1）将x=4,y=0与x=l,y=6代入>="2+法+4得

6=a+b+4

a=-l

解得

b=3，

..y=-N+3X+4,

抛物线对称轴为直线x=^.

（2）若m>—,贝ljm-->2-m-

222

•.,抛物线开口向上，对称轴为直线尸田,

.\yi>y2.

故答案为：>.

六、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）

21.如图，已知AB是。。的直径，C为。0上一点，/OCB的平分线交。0于点£>,过点

D作。。的切线交CB的延长线于点E.

（1）求证：CELDE；

（2）若AB=10,tanA=—,求。E的长.

3

A

【分析】（1）连接。。，根据切线的性质得到。。，。区求得NOCE=90°,根据角平

分线的定义和等腰三角形的性质得到NOOC=NBC£>,根据平行线的性质即可得到结论;

（2）根据平行线的性质得到NOZ）C=NOCQ,根据全等三角形的性质得到C£>=A。，根

据三角函数的定义和相似三角形的性质即可得到结论.

【解答】（1）证明：连接0。,

是。0的切线，

C.0DLDE,

：.ZODE^90°,

'：OD=OC,

：.ZODC=ZOCD,

平分NOCB,

:・/BCD=/OCD,

：.ZODC=ZBCD,

：.OD〃CE,

：.ZDEC=90°,

：.CE±DE；

(2)解：*：OD//CE,

：.ZODC=ZDCEf

VOD=OA,OC=OD,

・・・NA=NADO,ZODC=ZOCDf

/A=NDCE,

：.NA=ZOCD=ZADO=ZCDO,

・.,OA=OC,

•••△AOOdCOO(AAS),

：.CD=AD,

tany4=—,AB—10,

3

AD—3y[lQ,

.-.CD=AD=3V10，

VZA=ZDCE,NADB=NE=90°,

:.AADBs/\CED,

.AB_BD

•0一瓦’

.io,-/To

,,WTQ-DF'

.•.£>£■=3；

故。E的长为3.

七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）

22.己知，如图，直线y=2x+4与x轴、y轴交于点A、B,抛物线y=弓/+云经过点4

B,与x轴交于点C.

（1）求6、c的值，并求直线BC的解析式；

（2）点P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线A8、8C于点M、

N,连接CM,小明认为：当△CMN面积最大时，线段尸N的长度最大，小明的想法对吗？

请说明理由.

【分析】（1）先求出A，B坐标，再把4,B坐标代入y=合2+以+的求出b,c的值;

然后写出抛物线解析式，令y=0,解方程求出点C坐标，在用待定系数法求直线8C的

解析式；

（2）设尸（x,2+工+4）,则N（x,-x+4）、M（x,2x+4）,根据三角形的面积公

式得出S关于x的解析式，再根据函数的性质求出当x=2时，S最大，再求PN=

』2+X+4+X-4=-《（x-2）2+2,根据函数的性质，当x=2时PN最大，从而得出结

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论.

解：（1）•••直线AB的解析式为y=2x+4,

令y=0,则2x+4=0,

解得：x=-2,

・・・A(-2,0),

令x=0,则y=4,

：.B(0,4),

把A,B坐标