学高考数学二轮复习 练酷专题 课时跟踪检测（五）基本初等函数、函数与方程 文-人教高三全册数学试题

课时跟踪检测（五）基本初等函数、函数与方程eq\a\vs4\al([A级——“12＋4”保分小题提速练])1．(2018届高三·吉林实验中学摸底)若f(x)是幂函数，且满足eq\f(f9,f3)＝2，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C．2 D．4解析：选B设f(x)＝xα，由eq\f(f9,f3)＝eq\f(9α,3α)＝3α＝2，得α＝log32，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))log32＝eq\f(1,4).2．(2017·云南模拟)设a＝60.7，b＝log70.6，c＝log0.60.7，则a，b，c的大小关系为()A．c＞b＞a B．b＞c＞aC．c＞a＞b D．a＞c＞b解析：选D因为a＝60.7＞1，b＝log70.6＜0,0＜c＝log0.60.7＜1，所以a＞c＞b.3．函数f(x)＝|log2x|＋x－2的零点个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B函数f(x)＝|log2x|＋x－2的零点个数，就是方程|log2x|＋x－2＝0的根的个数．令h(x)＝|log2x|，g(x)＝2－x，画出两函数的图象，如图．由图象得h(x)与g(x)有2个交点，∴方程|log2x|＋x－2＝0的解的个数为2.4．(2017·河南适应性测试)函数y＝ax－a(a＞0，a≠1)的图象可能是()解析：选C由函数y＝ax－a(a＞0，a≠1)的图象过点(1,0)，得选项A、B、D一定不可能；C中0＜a＜1，有可能，故选C.5.已知奇函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，x＞0，,gx，x＜0.))若f(x)＝ax(a＞0，a≠1)对应的图象如图所示，则g(x)＝()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－x B．－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xC．2－x D．－2x解析：选D由图象可知，当x＞0时，函数f(x)单调递减，则0＜a＜1，∵f(1)＝eq\f(1,2)，∴a＝eq\f(1,2)，即函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－x＝－g(x)，即g(x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－x＝－2x，故g(x)＝－2x，x＜0，选D.6．已知f(x)＝ax和g(x)＝bx是指数函数，则“f(2)＞g(2)”是“a＞b”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选C由题可得，a＞0，b＞0且a≠1，b≠1.充分性：f(2)＝a2，g(2)＝b2，由f(2)＞g(2)知，a2＞b2，再结合y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，可知a＞b，故充分性成立；必要性：由题可知a＞b＞0，构造函数h(x)＝eq\f(fx,gx)＝eq\f(ax,bx)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))x，显然eq\f(a,b)＞1，所以h(x)单调递增，故h(2)＝eq\f(a2,b2)＞h(0)＝1，所以a2＞b2，故必要性成立．7．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)解析：选C法一：∵f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，∴f(0)f(1)＜0，故函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(0,1)，选C.法二：函数f(x)＝ex＋x－2的零点，即函数y＝ex的图象与y＝－x＋2的图象的交点的横坐标，作出函数y＝ex与直线y＝－x＋2的图象如图所示，由图可知选C.8．已知函数f(x)＝lnx＋3x－8的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＋b＝()A．0 B．2C．5 D．7解析：选C∵f(2)＝ln2＋6－8＝ln2－2＜0，f(3)＝ln3＋9－8＝ln3＋1＞0，且函数f(x)＝lnx＋3x－8在(0，＋∞)上为单调递增函数，∴x0∈[2,3]，即a＝2，b＝3，∴a＋b＝5.9．(2018届高三·湖南四校联考)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞0，,gx，x＜0，))若f(x)为奇函数，则geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))的值为()A．－eq\f(1,4) B.eq\f(1,4)C．－2 D．2解析：选D法一：当x＞0时，f(x)＝log2x，∵f(x)为奇函数，∴当x＜0时，f(x)＝－log2(－x)，即g(x)＝－log2(－x)，∴geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝－log2eq\f(1,4)＝2.法二：geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝－log2eq\f(1,4)＝－log22－2＝2.10．(2017·杭州二模)已知直线x＝m(m＞1)与函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，g(x)＝logbx(b＞0且b≠1)的图象及x轴分别交于A，B，C三点，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(BC,\s\up7(→))，则()A．b＝a2 B．a＝b2C．b＝a3 D．a＝b3解析：选C由于eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(BC,\s\up7(→))，则eq\o(AC,\s\up7(→))＝3eq\o(BC,\s\up7(→))，则点A的坐标为(m,3g(m))，又点A在函数f(x)＝logax的图象上，故logam＝3logbm，即logam＝logbm3，由对数运算可知b＝a3.11．(2017·山西监测)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≤0，,|lnx|，x＞0，))则方程f[f(x)]＝3的根的个数是()A．6 B．5C．4 D．3解析：选B令f(x)＝t，则方程f[f(x)]＝3即为f(t)＝3，解得t＝e－3或e3，作出函数f(x)的图象(如图所示)，由图象可知方程f(x)＝e－3有3个解，f(x)＝e3有2个解，则方程f[f(x)]＝3有5个实根．12．(2017·合肥模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x＜0，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－2x＋1))，x≥0.))方程[f(x)]2－af(x)＋b＝0(b≠0)有6个不同的实数解，则3a＋b的取值范围是()A．[6,11] B．[3,11]C．(6,11) D．(3,11)解析：选D作出函数f(x)的图象如图所示，对于方程[f(x)]2－af(x)＋b＝0，可令f(x)＝t，那么方程根的个数就是f(x)＝t1与f(x)＝t2的根的个数之和，结合图象可知，要使总共有6个根，需要一个方程有4个根，另一个方程有2个根，从而可知关于t的方程t2－at＋b＝0有2个根，分别位于区间(0,1)与(1,2)内，由根的分布得出约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＞0，,1－a＋b＜0，,4－2a＋b＞0，))画出可行域如图所示，目标函数z＝3a＋b经过eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a＋b＝0，,4－2a＋b＝0))的交点A(3,2)时取得最大值11，经过B(1,0)时取得最小值3.故3a＋b的取值范围为(3,11)．13．函数y＝loga(x－3)＋3(a＞0，a≠1)的图象恒过定点________．解析：因为函数y＝logax(a＞0，a≠1)的图象恒过定点(1,0)，所以函数y＝loga(x－3)＋3(a＞0，a≠1)的图象恒过定点(4,3)．答案：(4,3)14．(log43＋log83)(log32＋log92)＝________.解析：(log43＋log83)(log32＋log92)＝eq\f(1,2)log23＋eq\f(1,3)log23eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log32＋\f(1,2)log32))＝eq\f(5,6)log23×eq\f(3,2)log32＝eq\f(5,4).答案：eq\f(5,4)15．已知函数f(x)为偶函数且f(x)＝f(x－4)，又在区间[0,2]上f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－\f(3,2)x＋5，0≤x≤1，,2x＋2－x，1<x≤2，))函数g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|＋a，若F(x)＝f(x)－g(x)恰有2个零点，则a＝________.解析：由题意可知f(x)是周期为4的偶函数，画出函数f(x)与g(x)的大致图象(图略)．若F(x)＝f(x)－g(x)恰有2个零点，则有g(1)＝f(1)，解得a＝2.答案：216．(2018届高三·湖北七校联考)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P＝P0e－kt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．解析：前5小时污染物消除了10%，此时污染物剩下90%，即t＝5时，P＝0.9P0，代入得(e－k)5＝0.9，∴e－k＝eq\r(5,0.9)＝0.9，∴P＝P0e－kt＝P0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.9))t.当污染物减少19%时，污染物剩下81%，此时P＝0.81P0，代入得0.81＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.9))t，解得t＝10，即需要花费10小时．答案：10eq\a\vs4\al([B级——中档小题强化练])1．(2017·福州模拟)已知a＝eq\f(1,6)ln8，b＝eq\f(1,2)ln5，c＝lneq\r(6)－lneq\r(2)，则a，b，c的大小关系为()A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．c＜a＜b D．c＜b＜a解析：选B因为a＝eq\f(1,6)ln8，b＝eq\f(1,2)ln5，c＝lneq\r(6)－lneq\r(2)，所以a＝lneq\r(2)，b＝lneq\r(5)，c＝lneq\f(\r(6),\r(2))＝lneq\r(3).又函数y＝lnx在(0，＋∞)上为单调递增函数，由eq\r(2)＜eq\r(3)＜eq\r(5)，得lneq\r(2)＜lneq\r(3)＜lneq\r(5)，所以a＜c＜b.2．已知函数f(x)＝lneq\f(ex－e－x,2)，则f(x)是()A．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增B．奇函数，且在R上单调递增C．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减D．偶函数，且在R上单调递减解析：选A要使函数有意义，则ex＞e－x，解得x＞0，即函数的定义域是(0，＋∞)，故函数是非奇非偶函数．又y＝ex与y＝－e－x在(0，＋∞)上递增，所以f(x)在(0，＋∞)上递增，故选A.3．(2017·西宁一检)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))解析：选D对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)min.又f(x)min＝f(0)＝0，g(x)min＝g(2)＝eq\f(1,4)－m，则0≥eq\f(1,4)－m，解得m≥eq\f(1,4).4．(2017·沈阳模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋2,2)，x≤1，,|log2x－1|，x＞1，))则函数F(x)＝f[f(x)]－2f(x)－eq\f(3,2)的零点个数是()A．4 B．5C．6 D．7解析：选A令f(x)＝t，则函数F(x)可化为y＝f(t)－2t－eq\f(3,2)，则函数F(x)的零点问题可转化为方程f(t)－2t－eq\f(3,2)＝0有根的问题．令y＝f(t)－2t－eq\f(3,2)＝0，即f(t)＝2t＋eq\f(3,2)，如图①，由数形结合得t1＝0,1＜t2＜2，如图②，再由数形结合得，当f(x)＝0时，x＝2，有1个解，当f(x)＝t2时，有3个解，所以y＝f[f(x)]－2f(x)－eq\f(3,2)共有4个零点．5.(2018届高三·西安八校联考)如图所示，已知函数y＝log24x图象上的两点A，B和函数y＝log2x图象上的点C，线段AC平行于y轴，当△ABC为正三角形时，点B的横坐标为________．解析：依题意，当AC∥y轴，