数值分析课后习题答案

习题一解答

1.取3.14,3.15,—,—作为n的近似值，求各自的绝对误差，相对

7113

误差和有效数字的位数。

分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先

求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数

字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位

的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。

有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2,首先要将数值转化

为科学记数形式，然后解答。

解：(1)绝对误差：

e(x)=n-3.14=3.14159265---3.14=0.00159-^0.0016。

相对误差：

3=咏=05以10一3

rx3.14

有效数字：

因为Ji=3.14159265…=0.314159265…X10,3.14=0.314X10,m=L

而n-3.14=3.14159265---3.14=0.00159-

所以|n-3.14|=0.00159-^0.005=0.5X10^2=-xlO-2=-xl01-3

22

所以，3.14作为n的近似值有3个有效数字。

(2)绝对误差：

e(x)=Jt-3.15=3.14159265---3.14=-0.008407…p一0.0085。

相对误差：

,、e(x)-0.0085”，，八_2

er(x)=-^=------=-0.27x10-

x3.15

有效数字：

因为n=3.14159265…=0.314159265…X10,3.15=0.315X10,m=L

而Ji-3.15=3.14159265---3.15=-0.008407-

所以|n-3.15|=0.008407...W0.05=0.5X10-1=-xlO-1=-xl01-2

22

所以，3.15作为北的近似值有2个有效数字。

(3)绝对误差：

22

e(x)=%-亍=3.14159265…-3.142857143=-0.001264493…=-0.0013

相对误差：

内)=必=坐.41x107

x22

T

有效数字：

因为n=3.14159265…=0.314159265-X10,

22

—=3.142857143=0.3142857143x10,m=lo

7

22

而〃——=3.14159265…一3.142857143=—0.001264493--

7

所以

22

n--=--|3-.14159265----3.142857143|=0.001264493---<0.005

7

-23

=0.5x10-2=1X1O=-xl0'_

22

所以，乌作为口的近似值有3个有效数字。

7

(4)绝对误差：

355

e(x)=兀------=3.14159265■■--3.14159292=-0.0000002705•••=-0.000000271

113

相对误差：

,、e(x)-0.000000271八。々_

e(x)==--------------=-0.863X1I0A7

rx355

H3

有效数字：

因为n=3.14159265-=0.314159265—X10,

355

——=3.14159292=0.314159292x10，m=l

1130

355

而不—土上=3.14159265…一3.14159292=-0.0000002705-••

113

所以

355

=|3.14159265•••-3.14159292|=0.0000002705­­<0.0000005

=0.5x10-6=_Lxio-6=J_xio「7

22

所以，空作为口的近似值有7个有效数字。

113

指出：

①实际上，本题所求得只能是绝对误差限和相对误差限，而不是绝对误差

和相对误差。

②为简单计，本题相对误差没有化为百分数。

③在求出绝对误差后，按定义求有效数字是基本功，必须掌握。绝对不允

许有了定理后就不会根据定义讨论。因此，本类问题的解答应当是两种方法都熟

练掌握的。

实际上，根据基本概念分析讨论问题始终是最重要的方法，由于不同的作

者会提出不同的定理系统，因此，掌握根据最本元的定义讨论问题的方法是非常

重要的。

④祖冲之（公元429年一公元500年）是我国杰出的数学家，科学家。

南北朝时期人，汉族人，字文远。生于宋文帝元嘉六年，卒于齐昏侯永元

二年。祖籍范阳郡遒县（今河北深水县）。在世界上最早计算出兀的真值

在3.1415926（胭数）和3.1415927（盈数）之间，相当于精确到小数第7

位，这一纪录直到15世纪才由阿拉伯数学家阿尔.卡西打破。祖冲之还给

出式的两个分数形式：y（约率）和常（密率），其中密率精确到小数

第7位，在西方直到16世纪才由荷兰数学家奥托重新发现，比祖冲之晚了

一千多年，数学史学界主张称“密率”为“祖率”。

⑤近似数的有效数字只能是有限位。

⑥近似数的误差分析中采用近似数x而不是其准确数，准确数是未知

的。

⑦常出现德错误是，第一，不进行具体计算，结果不可靠；第二，两

个分数近似值（尤其第二个）取的数位不够，结果有效数位计算错误；第

三，认为分数就是精确数，就有无穷多有效数字。

2、用四舍五入原则写出下列各数的具有五位有效数字的近似数。

346.7854,7.000009,0.0001324580,0.600300

分析：本题实际上指出，按要求截取的近似数符合有效数字定义，相

关数位上的数字都是有效数字。解答方法简单，直接写出就可以，不需要

也不应该做形式转化（化为科学计数法形式）

解：346.7854心346.79,

7.000009^7.0000,

0.0001324580^0.00013246,

0.600300^0.60030o

指出：

注意a

只要求写出不要求变形。

3、下列各数都是对准确数进行四舍五入后得到的近似数，试分别指出

他们的绝对误差限和相对误差限和有效数字的位数。

玉=0.0315,X2=0.3015,X3=31.50,x4=5000。

分析：首先，本题的准确数未知，因此绝对误差限根据四舍五入规则

确定。其次，应当先求绝对误差限，再求相对误差限，最后确定有效数字

个数。有效数字由定义可以直接得出。

解：由四舍五入的概念，上述各数的绝对误差限分别是

£（xj=0.00005,£（x2）=0.00005,£（X3）=0.005,£（x4）=0.5

由绝对误差和相对误差的关系，相对误差限分别是

0.00005

^)=^2==0.16%,

0.0315

E(X)_0.00005

6（々）=2«0.02%,

0.3015

s(x)_0.005

3=0.002%,

-31.5

0.01%.

有效数字分别有3位、4位、4位、4位。

指出：

本题显然是直接指出有效数位、直接写出绝对误差，用定义求出相对

误差。

4.计算M的近似值，使其相对误差不超过0.1%。

解：设取n个有效数字可使相对误差小于0.1%,则

而3W质<4,显然g=3,此时，

—xlO1^=—1―xl01-n<0.1%,

2al2x3

即Lxio~<10-3,

也即6x10">1()4

所以，n=4o

止匕时，而=3.162。

5、在计算机数系F(10,4,-77,77)中，对

%=0.14281x103与々=-0.314159x1()1,试求它们的机器浮点数/(xj(i=l⑵及

其相对误差。

解：

#(%)=0.1428x1))=-#(xJ=0.14281x1-0.1428x1=0.00001x10：

/Z(x2)=-0.3142xl0',e(^(x2))=x2-/7(x2)=-0.314159x10'-(-0.3142x10')=0.00041x10'

其相对误差分别是

000001X1()30.000041x10'

0.007%,e==-0.013%o

-0.1428X1032-0.3142x10'

6、在机器数系F(10,8,L,U)中，取三个数

x=0.23371258x1(T4,y=0.33678429x102,z=-0.336778llxlO2,试按

(》+》)+2,3+0+Z)两种算法计算％+>+%的值，并将结果与精确结果比较。

解：

力((x+y)+z)=(0.23371258x10^+0.33678429xl02)-0.3367781IxlO2

=(0.00000023x102+0.33678429x102)-0.336778llxlO2

=0.33678452xl02-0.3367781IxlO2

=0.00000641x1()2

力(x+(y+z))=0.23371258x10-4+(0.33678429x102-0.3367781IxlO?)

=0.23371258X10-4+0.00000618X102

=0.00000023X1O2+0.00000618xl02

=0.0000064IxlO2

精确计算得：

x+y+z=0.23371258x10-4+0.33678429x102-0.3367781IxlO2

=(0.00000023371258X102+0.33678429X102)-0.33677811X102

=0.33678452371258X102-0.336778llxlO2

=0.0000641371258xl02

第一种算法按从小到大计算，但出现了两个数量级相差较大的数相加,

容易出现大数吃小数.而第二种算法则出现了两个相近的数相减，容易导致

有效数位的减少。计算结果证明，两者精度水平是相同的。

***

在机器数系F(10,8,LU中，取三个数

x=0.23371258x10,y=0.33678429xl0-2,z=-0.3367781IxlO2,试按

(x+y)+z,x+(y+z)两种算法计算x+y+z的值，并将结果与精确结果比较。

解：

#((x+y)+z)=(0.23371258x107+0.33678429x10-2)-0.3367781IxlO?

=(0.00233713X10-2+0.33678429X10-2)-0.336778llxlO2

=0.33912142X10-2-0.3367781IxlO2

=0.00003391X102-0.3367781IxlO2

=—0.3367442x1()2

/(X+()，+z))=0.23371258x10-4+(033678429x10-2—033677811x1。2)

=0.23371258X10-4+(0.00003368X102-0.336778HxlO2)

=0.23371258x10”—0.33674742x102

=0.00000023xlO2-0.33674742x102

=-0.33674719xl02

第一种算法是按从小到大的顺序计算的，防止了大数吃小数，计算更

精确。

精确计算得：

x+y+z=0.23371258x10-4+0.33678429x10-2-0.336778HxlO2

=0.000023371258+0.0033678429-33.677811

=0.003391214158-33.677811

=-33.674419785842

=-0.33674419785842xl02

显然，也是第一种算法求出的结果和精确结果更接近。

7、某计算机的机器数系为F(10,2,L,U),用浮点运算分别从左到右计

算及从右到左计算

1+0.4+0.3+0.2+0.04+0.03+0.02+0.01

试比较所得结果。

解：从左到右计算得

1+0.4+0.3+0.2+0.04+0.03+0.02+0.01

=0.1x10+0.04x10+0.03x10+0.02x10+0.00x10+0.00x10+0.00x10+0.00x10

=0.19x10

=1.9

从右到左计算得

1+0.4+0.3+0.2+0.04+0.03+0.02+0.01

=0.01+0.02+0.03+0.04+0.2+0.3+0.4+1

=0.1xl0M+0.2X10-1+0.3X10-1+0.4X10-1+0.2+0.3+0.4+1

=0.1+0.2+03+0.4+1

=0.1x10+1

=0.1x10+0.1x10

=0.2x10

=2

从右到左计算避免了大数吃小数，比从左到右计算精确。

8、对于有效数%,=_3.105,X2=0.001,%=0.100,估计下列算式的相对误

差限

.

3=须+々+%3，%=羽々七，%

X3

分析：求和差的相对误差限采取先求出和差的绝对误差限再求相对误

差限的方法。求积商的相对误差限采取先求每一个数的相对误差限再求和

的方法。

解:因为玉=-3.105,尤2=0.001,马=°100都是有效数，

所以£(%)=0.0005,£(X2)=0.0005,E(X3)=0.0005

0.00050.00050.0005

6(Xi)=0.16%»区)==50%向/)==0.5%

3.1050.0010.100

贝UE(x]+x2+x3)=£(%1)+£(X2)+£(X3)=0.0005+0.0005+0.0005=0.0015

、£(再+々+》3)0.00150,001-=4.99x1O-4=0.05%

0(%+X,+£)=-..............=-------厂=

>+X2+X3I|-3.105+0.001+0.100|3.004

^(x,x2x3)=ba)+6(z)+/七)=0・16%+50%+0.5%=50.66%

x

b（二）=3（X2）+b（%3）=50%+0.5%=50.5%

X3

指出：

如果简单地用有效数字与误差的关系计算，则不够精确。

注意是相对误差限的讨论。符号要正确，商的误差限是误差限的和而不

是差。

9、试改变下列表达式，使其计算结果比较精确（其中W1表示x充分

接近0,国1表示x充分大）。

(1)Inx,-Inx2,x]-x2；

/\1-COSX八口II1

(4A)----------，尤WO目.x1;

X

⑸，一cotx,xW0且国1o

分析：根据算法设计的原则进行变形即可。当没有简单有效的方法时就

采用泰勒展开的方法。

解：⑴In%-In=In%；

X2

(2)

1_l-x_l+x-(l-x)2

\—x1+x(1—x)(l+x)

1+x-(1-2x+x2)3x—x2

(l-x)(l+X)(l-x)(l+X)

2

yJ~X(^JX**+1+J--1)

或

-^(VX2+1+A/X2-1)

y/x

________2________

\[x(J/+1+J/_])

(4)

X2X4x2"

1-(1-----1-------+(-1)〃-----1—•)

1-C0S尤=2!4!(2〃)！

XX

N+1

_______+(_n_+...

二2!4!(2〃)！

X

彳2〃-1

x无3

----+㈠严+•••

2;4!(W

(5)

11J1122I,B

——cotx=—(-----X----X3--------X,,271-1_

xxx345(2/7)!

11322"纥2,1

=-x+——X+••-+-----X+•••

345(2〃)！

(B”是贝努利数)

指出：

①采用等价无穷小代换的方法一般不可行。近似计算中的误差并不是无

穷小量，利用无穷小量等价代换，两个量的差别可能恰恰是影响精度的因

素。采用等价无穷小代换，可能只会得到精度水平比较低的结论。

例如

2sin2-2(-)2

1-C0SXX

___2a22L

XX___X2

11cosxsinx-xcosx

——cotx=--------=-------------

xxsinxxsinx

X-XCOSXAI1.、

=---------(Lv«1,sinx-x)

xsinx

1-cosx

sinx

1-1

(|x|«l,cosx-1)

sinx

=0

试与上例比较。

有时候这种方法可以使用，例如

因为cos(x+5)=cosxcos3-sinxsin8,

当冏<<1时，cos8-l,sin(y-0

cos(x+S)=cosxcosS-sinxsin3-cosx-sinx8

在这个计算中，由于X是常数，X的函数值实际上放大了每一项的计算

结果，使得相近的数相减的问题不很突出。

而利用一阶的泰勒展开/(x+b)-/(x)+"'C)(x<J<x+b),当同1时,

就有/0+6)=/(8)+〃彳》)，因此

cos(x+6)=cosx-bsinx

和上面的结果一样。但显然，用泰勒展开的方法具有一般性并能得到精

度更高的结果，而且不会有方法上出错的可能。

②采用洛必达法则也是不可以的。实际上，无论是等价无穷小还是洛必

达法则都是极限方法，而因为近似计算中的误差虽然可以近似地看作是微

分，但本质上却是一个确定的可能极小的小数而不是无穷小(趋于零的变

量)，因此近似计算是不能采用极限方法的。

③转化的结果要化简，比如化繁分式为简分式，但不能取极限。取极限

就违背的了数值计算的本意。

所以，

11-x11-0,,A

---------------------------工--------------=1—1=0

\—x1+x1-01+0

是错误的。

④极小的数做除数，实际上是:型的不定型，要转化为非不定型。

10、用4位三角函数表，怎样算才能保证1-COS2。有较高的精度？

解：根据l-cos20=2sin2「，先查表求出sinl再计算出要求的结果精度

较高。

指出：

用度数就可以。不必化为弧度。

11、利用7^-27.982求方程x2-56x+l=0的两个根，使它们至少具有

4位有效数字。

解：

由方程的求根公式，本方程的根为

56±V^=56±2k=28±历

口22

因为=27.982,则

x,=28+V783«28+27.982=55.982

如果直接根据求根公式计算第二个根，则因为两个相近的数相减会造

成有效数字的减少，误差增大。因此

根据韦达定理为々=1，在求出玉=55.982后这样计算々：

---=0.01786=0.178仪10

55.982

这样就保证了求出的根有四位有效数字。

12、试给出一种计算积分

1

/〃=e~l^xnexdx[n=0,1,2,3,…),

o

近似值的稳定算法。

1

}}x-1]

解：当n=0时，/0=e~^edx=e(e-1)=1-e~o

o

ii

xA

(^edx=e|=e—1)o

oo

bb

对L运用分部积分法(^udv=uv^-卜加)得

iii

lnxnxn[xlw-1x

In=e~^xedx=e~\xe—n^x~edx)-e~(e—0—nJxedr)

000

1

-1n}x

=1-ne^x~edx=\-nln_x

o

由此得到带初值的递推关系式

/。="

由递推公式L=l—nl“一解得/“)，这是逆向的递推公式，对

n

1”的值作估计，有

]nxlln

In=e~[xedx<e~e[xdx=-^―

Ii"1

另有

ii

I=e~]^xnexdx>e~]^xndx=e~}1

n〃

00+l

(取e的指数为最小值0,将e'取作e°=1作为常数即可简化公式)。

则e-'—<I<-

n+ln〃+10

那么，我们可以取其上下限的平均值作为其近似值。即取

11

(e-'+l)

2〃+1

可以看出，n越大，这个近似值越精确地接近于准确值。

g越大，L的上限和下限就越接近，近似值区间的长度就越短，近似值和

精确值就越接近)

此时，e-l=In-i*—In-1=——(I.*—In)=—3，|Co|=—|6„|j计算是稳

nnnn\

定的。

实际上，如果我们要求L,可以先求出L。，这样求出的h的误差是比Lo

的误差小得多的，而品的误差本身也并不大。实际上，这样求出的L比直接计

算出来的精确得多。

习题二解答

1.用二分法求方程x3-2x2-4x-7=0在区间［3,4］内的根,精确到10工即误

差不超过LxIO-。

2

分析：精确到与误差不超过不同。

解：因为f(3)=-10V0,f(4)=9>0,所以，方程在区间［3,4］上有根。

由

।*|，一凡b-a4-311.._

\x*-x<———----=-----=—<—xlO3

122"2"2"2

有2*1>1000,又为2i°=1024>1000,

所以n=ll,即只需要二分11次即可。

列表讨论如下：

f(Xn)的符号

nbnXn

1343.500—

23.50043.750+

33.5003.7503.625—

43.6253.7503.688+

53.6253.6883.657+

63.6253.6573.641+

73.6253.6413.633+

83.6253.6333.629—

93.6293.6333.631—

103.6313.6333.632+

113.6313.6323.632——

x-xn=3.632o

指出：

(1)注意精确度的不同表述。精确到1CT和误差不超过1CT是不同的。

(2)在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。

如果计算过才f呈中取4位小数，结果取3位,则如下表：

nf(Xn)的符号

anbnXn

1343.5000一

23.500043.7500+

33.50003.75003.6250—

43.62503.75003.6875+

53.62503.68753.6563+

63.62503.65633.6407+

73.62503.64073.6329+

83.62503.63293.6290—

93.62903.63293.6310—

103.63103.63293.6320+

113.63103.63203.6315—

(3用秦九韶算法计算f6)比较简单。

1*.求方程X3-2X2-4X-7=0的隔根区间。

解：令y=r5—2x?—4x—7,

则；/=3%2—4x-4=3x+24-2

^/=3x2-4x-4=3x+2V-210时，有玉=一g句=2。

函数单调区间列表分析如下：

2_2

X(『)2(2,+8)

-33

y十0—0十

y-15

27一f—

因为>_(2)=_竺2<O$2°=T5<O,所以方程在区间—2、上无根；

327-3

因为y-乜\-亶<0,而函数在-L,2上单调增，函数值不可能变号，所以

3273

方程在该区间上无根；

因为)，2°=-15<0,函数在(2,+8)上单调增，所以方程在该区间上最多有

一个根，

而(3)=-10<0,y(4)=9>0,所以方程在区间(3,4)有一个根。

所以，该方程有一个根，隔根区间是(3.4)。

2.证明l-x-sinx=O在［0,1］内有一个根，使用二分法求误差不大于gxlO-;

的根，需要迭代多少次？

分析：证明方程在指定区间内有一个根，就是证明相应的函数在指定区间

有至少一个零点。

解：令/(x)=1—x—sinx,

g|^y(0)=l-0-sin0=l>0,/(l)=l-l-sinl=-sinl<0,

则/(0)/(1)<0,

由零点定理，函数f(x)在［0,1］区间有一个根。

III

I*1/一a”b-a1—011.

1"22"2"2"2

<2n-1>10000,又为2i°=1024,2,3=8192<10000,2|4=16384>10000

所以n=15,即需要二分15次。

指出：

要证明的是有一个解而不是唯一解，因此不必讨论单调性。

70

3.试用迭代公式x=-........,x=1,求方程V+2无2+10%-20=0的

k+]X：+2%卜+100

根,要求精确到IO-'。

分析：精确到IO-即误差不超过;X10-5

解：^/(X)=X3+2X2+10X-20

列表进行迭代如下：

x«/区)

01-7

11.538463.75964

21.29502-1.52380

31.401820.70311

41.35421-0.30667

51.375300.13721

61.36593-0.06067

71.370090.02705

81.36824-0.01198

91.369060.00531

101.36870-0.00228

111.368860.00110

121.36879-0.00038

131.368820.00025

141.368813992X10-5

151.368813992x10-5

指出：

精确到10”可以从两个方面判定。第一，计算过程中取小数到IO"位，最后

两个计算结果相同，终止计算。第二，计算过程中取小数到ICT',当

民+1-X1<；x1o"终止计算。

本题采用第一种方法。

cos.

4.将一元非线性方程2x-e'=0写成收敛的迭代公式，并求其在%=05

附近的根，要求精确到IO-。

coscos

coscos2x2x

解：2x-eX=0改写为2x=—-=1=>^—^-1=0,则

xx

cosee

2x

X=-----------],设

八eCOS

（）2x,

2X=Xd-----------1

ex

有

sm（万，

八sincos巴+冒）2及x+—

/。i上一23xe4

8x=1+-------\7=1------------------=1

e-ex

在飞=05处，因为

r-sin（.不）

U正：5+二0派5<1

cos

（）2

所以迭代法gX、乙4+x在x0=05的邻域内收敛。

ek

列表迭代如下:

Xk

00.5

10.71

20.69

30.69

,COS♦.•

此时2O69-e0rt69=000614o

5.为求方程V-x2_i=o在/=i5附近的一个根，设将方程改为下列等价

形式，并建立相应的迭代公式：

011•

lx=l+—迭代公式％=1+='

X4

2%=1+》2迭代公式=1+Xj一？

3（卜=一二迭代公式4+|=—U~~r-

x-11,i

“12

试分析每种迭代公式的收敛性，并取■■种公式求出具有4位有效数字的近

似值。

解：（1）因为x=l+4,所以迭代函数为gJ^l+二，则

XX

gx^=—'=x~2^=-2x-3,\g'15、一2x15-3|=-^y=——<1满足局部

x153375

收敛性条件，所以迭代公式=1+4具有局部收敛性。

(1()(1

(2)因为x=1+x2多，所以迭代函数为gx=1+x2则

3331U

jxl5O456<I满足局部收敛性条件，所以迭代公式

31+152

x,+I=l+xl/具有收敛性。

(3)因为》=_、，所以迭代函数为g—二，则

X7-\7-

x-12x-12

g，X=——x-12=——x-l2,

22

|/1515-1卷=—^=1414>1不满足收敛性条件，所以迭代公式

22x0*

4+1=J।不具有收敛性。

及-15

用迭代公式％=1+4列表计算如下:

不

Xk

01.5

11.444

21.480

31.457

41.471

51.462

61.468

71.464

81.467

91.465

101.466

111.465

所以，方程的近似根为x*=1465。

6.设夕x^=x+C.S-3应如何取C才能使迭代公式x*+|=9xk'具有局部

收敛性？

解：设C为常数，因为9XL+CJ-3',所以“X(L+2CX,要使迭代

公式具有局部收敛性，需mALll+ZCxokl,此时即有-1<1+2CX0<1,也即

-l<Cx0<Oo即只要C去满足如上条件的常数，就可以使得迭代公式具有局

部收敛性。

指出：

下面的讨论是不合适的：

因为°J'x+CJ-3所以x=x+C(/—3),所以。(/-3)=0,所以

x=±百，由此确定方程的准确值。

要明确的是，方程的准确值时不知道并难以获得的，因此才需要迭代法。

用解析法确定公式解在讨论在逻辑上是不通的。同时，这里强调的是一类方程的

迭代解法的收敛性，也不应局限在具体的求解，关键是确定C的范围。

7.用牛顿法求方程/一3》-1=0在初始值x°=2邻近的一个正根，要求

B+1-“<103。

解：因为前一3x-l=0

所以有/(x)=/-3x-l,相应的迭代公式为

x：—3%-1+1

八|一*――3xf-3-3x^-3

取x0=2为迭代的初始近似值。迭代的结果列表如下：

k0123

Xk21.88891.87951.8794

因为k-引=0.0001<1xio-3,符合计算的精度要求,所以

x=七=1.8794o

8.用牛顿法解方程c=0,导出计算数c的倒数而不用除法的一种简单

X

的迭代公式。用此公式求0.324的倒数，设初始值％=3,要求计算有5位有效

数字。

解：对于方程^'-c=0,有/x=---c,相应的迭代公式为

XX

1