2015年湖北省高考数学试卷及解析（理科）

2015年湖北省高考数学试卷（理科）

一、逸界JK：本大JB共10小题,每小愿5分，共50分.在■小题蛤出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1、（5分）1为虚数单位，仔'的共扼乂数为《>

A.IB.-IC.1D,-1

2、（5分）我国古代数学名善《九申算术》〃“米谷粒分"盟：粮仓开仓收触，U

人送来米1534石，验得米内夹谷.抽样取米•把.数得254粒内夹谷28粒.则

这批米内夹谷均为（）

A.134石8.169石C,338石D.1365石

3、（5分）己知（l*x）”的喔开式中第4项与第8项的二项式系数相等，剧奇数

项的二项式系数和为（）

A.2UB.211C.2100.29

4、（S分）设X-N（内・O?）.Y-N（内.。/），这两个正态分仔街度曲线如图

所东、下列结论中正确的是（）

A,P（丫2内>2PB、P（X^o2>WP（XSoi）

C,对任意正数3P（XCt）CP（YS?t）D、对任中正数t・P（X刁t）CP（Y

5.<S分）设ai>a2.anGR.n^3.若p：a,.a3........a”成等比数列；q：

2222

（ai*a/*...*aP./）（aAaJ+..+an>=（awa2ao3n.i7）,Ml（>

A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件

B、p是q的必要条件，但不足q的充分条件

C、p是q的充分必要条件

D、p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件

1.i>0

6.(5分)已知符号函数sgnx=0,,=0,f(x)是R上的增函数，g<x)-f

-1,x<0

(x)-f«ax>(a>U.则()

A.sgn[g(x>>sgnxB.sgnLg(x)]=-sgnxC、sgnlg<x)；=sgn[f(x)]

0.sgnLg<x>]«-sgnf<x)

7、(5分)在区间10,L上随机取两个数x.Y.记&为事件“ky4的根*.

2

P2为事件"x-yy的慨率，P3为事件"邛《《"的宰.则()

22

A.P><P2<P<B,PJ<P1<PIC.P1VP1VP?D、PJ<PJ<P)

8.(5分)将离心率为e1的双曲线0的实半轴长aHl虚华轴长b(aHb)同时增

加rn(m>0)个梁位长度，得到离心率为e?的双曲段则()

A.对任意的a.b.et>e；

B.当a>b时.。*>外：当aVb时..〈e?

C、时任意的a,b.为〈已

D,当a>b时,ei<e2：当aVb时，ej>e2

9、<S分)已知集合A='|(x,y)x,y€Z1.B=《(x,y)xW2,

v\S2,x.yCZl.定义集合A+B=(xi+xj.y”2>5.yj)€A.(XZ«

£B},则A㊉B中元末的个数为()

A、77B、49C.45D、30

10.45分)改xGR,[x]表示不超过x的最大整数、并存在实数t,使得㈤=1・

十卜2.…MknM时成立，则正整数n的最大值是()

A、3B、4C.5D、6

二、澳空题，本大J・共4小・，考生/作答5小题，每小题S分.共25分、埔

将答案埴在答・卡对应fll号的位犬上、琴储位置,书写不清.楼械两可均不■

分、

11、(5分)已知向量加屈，0A=3.则演•显.

12、(5分)函数f(x)=4cos?-^cos<--x)-2sinx-In(x+l)」的零点个数

22

为、

13、（5分》如图，一辆汽车布条水平的公路上向正西行驶.到A处时测得公

路北网-山顶D荏西偏北30•的方向匕行驶600m后到达B处,测得北山顶在

西偏北75•的方向上，仰角为30。则此山的高暧CD=m.

14、（5分）如图，闽C与x轴相切于点T（1，0）,与y轴正半轴交千两点A,B

（B在A的上万），旦AB=2、

（1）龊C的标准方程为,

（2）过点A任作■条直线9削O：相交户M・N两点，卜列三个结论：

哨端：嘴■$；嘲儡"

其中止确结论的序号是、（写出所有正确结论的序号）

选修4-L几何证明选讲

15、＜5分）如图，PA足圆的切线，A为切点，PBC是园的朝线.11BC=?PB.则

—AB—.、

AC--------

选修4Y:坐标又与•效方程

16、在宜用坐标系xOy'3以0为极点，x岫的小半轴为极轴建立极坐标系.d

x=t-―>

知直.线I的极坐标方程为P（即6-38犯）=0,曲线C的解物方程为（t

y=t+y

为参数），I与C相交尸A.B两点,则AB=、

三、解答flb本大题共6小愚，共75分、解答应写出文字说明、证明过程或演

售步・、

17、（11分〉某同学用“五点法”画函数f（x>=Asin<wx>4>'（w>0,6<—）

在某个周期内的图象时,列表并埴入」.部分数据,如表:

巾07Tn3n2n

T~2~

XK5n

T

Asin(u)x*4))05-50

（1）请将上衣数据补充完整,填写在相应位巴，并直接写出由数f（x）的解析

式：

（2）将y=f<x）图象I:所有点向左平行移动9<。>0）个单位长度.得到y=g

（x）的图象、若y=g（八图象的一个对称中心为（居.0）.求。的最小值、

18、（12分）设等差数列（aj的公差为d.前n项和为S.,等比数列｛bj的公比

为q,已知bi=3j»bj=29q=d,Sio=lOO*

（1）求数列［即｝,<b力的通项公式

（2）当d>l时,记酬善,求教列&的前n项和L、

19、（12分）《九京算术》中，将底面为长方形且有一条M柱与底面垂F［的四楼

俳称之为阳马，将四个面布为直角三角形的四面体称之为於髓，如图.在阳马P

-ABCD中，侧极PD1底而A6CD,ILPD=CD,过快PC的中点E.作EFPB交

PB「点F,连接DE.DF,3D,BE,

（1）证明：PBL平面DEF.试划断四面体DBEF是否为核懦.若是.写出其每个

面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由：

（2）若向DEF与的ABCD所成.•面用的人小为与未吉的（fi、

20、（12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A.B两种奶制丛.生.产1吨A产

品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元：生产1吨B产品需鲜牛粉1.5

吨，使用设符1.5小时,获利1200元、要求每天B产品的产量不超过A产品产

后的2倍,设番每天生产A.B两种产品时间之和不超过12小时、腹定留大可

获取的鲜牛奶数妣W（唯位：吨）是一个随机变址,加分布列为

W121518

P0.30.50.2

该厂每天根据茯取的鲜牛奶数量安排生产.使其获利最大,因此卦大的最大获利

Z（单位：元）是一个随机变量、

（1）求Z的分6列和均值：

（2）若每天可获取的鲜牛奶致量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超

过1800元的概率、

21、（14分）一稗画椭圆的工具如图1所示、。是滑槽AB的中.也.短杆ON可

斑。转动.氏杆MN逋过N处浅链呵ON连接.MN上的栓丁D可沿洛梢AB曲

动，HDN=ON=1.MN=3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时.带动N烧。转

M.M处的岩尖画出的柚网记为C.以0为原点,AB所在的汽线为x粕建立.如

图2所示的平面亶角坐标系.

⑴求楠BIC的方程:

<2）设动向线I，网定汽线hix-2y=0和加x+2y=0分别交于P.。西点、若

直线与椭felC有且只有一个公共点，试探优:AOPQ的面枳是否存在鼠小值?

若存在.求出该/小假:若不存在.说明理由、

/A».

4/7DOBZDIOx

（国“£21

22、（14分）已知数列EJ的各顼均为止数.b产n<1*1），<,ineN.）,e为f|

n

然对数的底数.

•1）求函数f（x）=l+X-e,的单调区间，并比较（1+1）nljQ的大小；

n

b.b.b^Kb2bb,b-b„

（2）计肆一L.-----------1.由此推酒计算」^0_L的公式,并给出证明:

<t,

a（"a2a〔a”3a1a2an

X

n

（3）令“匕遍2.・&）.数列刀力，Co的前n项和分擀记为工，Tnt证明：

J©Sc、

参考答案与试题解析

一、选界JL本大届共1。小届.每小U5分，共5。分.在年小■给出的四个选

现中，只有一项是苻合题目要求的.

1、（5分）i为虚数单位，严'的共施复数为《>

A、IB.-IC.1D.-1

题目分析।直接利用复数的单位的学运算求髀即，必

试题解答限i87=*y=-i.

它的共扼巨数为：八

故选；A.

点评।本胭考古屯池的基本运算，复式单位的轴运品以及共规登数的知识，基本

知识的考杳、

2、（S分）我国占代数学幺*《九章。术》有“米谷粒分”鹿：植仓开仓收帔，有

人送来米1534分.验得米内夹谷•抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒.则

这批米内央谷约为（）

A.134石8.169石C,338石D.136S石

・目分析：根据254粒内火谷28粒.可得比例，即可得出结论.

试・解答解：由题意,这批米内火谷约为15Mx尊和169行.

254

故选：B.

点叫本题考音利用数学知识解决实际问题.号查学生的计算能力•比较基础、

3,（5分）H知（1+X）0的展开式中第4项与第8项的二项式系蛰相等,则奇数

项的二项式系数和为《）

A、212B、2liC.210D、29

J1目分析，直接利用项式定理求出c.然后利用.项式定理系数的性版求if；结

果即可、

试・解答解：已知（1-X）•'的展开式中第4项与第8项的.理式系数相等.

可得降C%可得-3+7=10、

(l，x>m的松开式中奇数亚的二项式系数租为；1X21Q=2\

故选：D,

点坪：本即寺杏一项式定理的应用，组合数的形状的应用•考许履本知识的灵活

运用以及计尊能力、

4,(5分)设X-N(g：.o?).Y-N(R,0?).这西个正态分布新，更曲线如图

A.P(Y>山)2P(Y-内)B.P(X(6)<P(XWoJ

C、对任感正数3P(XWt>2P<Y=?t>0、对任总正数t,P(X^t)2P(Y

2t)

黑目分析i直接利用正态分布曲线的特征,集合慨幸，直接判断即可、

试・解答解：正态分人密度曲线图象关于x=U对称.所以内Vr.从图中容易得

到P(XCt)2P(YWt>、

点髀।本题芍直了正态分布的图象与性痂，学习正态分布，•定要紧紧抓住平均

数”和标准差。这两个关键量,结合正态曲线的图形特征，『1纳正态曲线的性质、

5,(S分)设a：.a2*a„GR.c33、若p：aP6.......a”成等比数列：q：

222

1ai*a/*..janJ)(aZ-a/t-Ja,)=}an>.Ml<)

A.pftq的充分条件,但不是q的必要条件

B>p是q的必要条件，但不是q的充分条件

。p是q的充分。要条件

D、P既不是q的充分条件，也不是q的必，及条件

总目分析：运用柯西不第式.可祠：(a臼a户...冏/)(apa/Jd"?

储冏“声3+._+*.向)？・博论等号成立的条件,结介等比数列的定义和充分必

g条件的定义，即可得到、

仄题解答灌：由a”・(・“•，a«i*=R»n*'3.

运用何西不等式.可得，

(a/'a/JA/)(ajnjjta/)妾(a】a”a2a3m「两)’・

若力,...，防成等比数列，即有上巴…

ala2®n-l

J

则《aj，aj*...a.J>(a/+a/+..ja/)=(aiapaaar..zan.ian).

即的p推得q,

但由q推不到p,比如a产a产a产…=an=O，则a「a?,…・品不成等比数列'

故P是q的充分不必要条件、

故选：A.

点理।本£8考包充分必要条件的判断，同时号仓等比数列的定义，注.钻运用定义

法和柯西不等式解题是关道、

1x>0

6.(5分)已知符号函数sgnx=0,x=0,f(x)是R上的增函数，g(x)=<

-1.x<0

(x)-f<ax)(a>l),则()

A.sgn[g(x>.=sgnxB.ignLg(x)]=-sgnxC,sgn[g<x).=sgn[f(x)]

D.sgni'g(x)1=-sgn-f(x)1

■目分析：直接利用特殊法，设出函数f(x),以及a的值,判断选项即可、

[1.x>0

■J■解答解：由于本题是选扑电，可以采用特殊法，符号函数sgnx=0,x=0，

[-1,x<0

f(x)是R上的培函数,g<K)=f(x)-f(ax)(a>l).

不妨令f(x)=x.a=2.

g<x>=f(x)-f(ax>=-x.

sgnlg<x)]«-sgnx,所以A不正确，B正确,

$gn[f(x)]=&gnx,C不正确：D正确：

对于D,令f(x)・xT,a-2.

RiJg(x)=f(x)-f(ax)=-x.

p.x>-l

sgnlf(x)=sgn(xU)=|0.x=-l:

I<-1

[1,x>0

sgn[g<x>J»sgn(-x)0,x=0.

[-1,Y0

-1,x>-l

0.r=-l：所以D不正确：

{1.x<-l

故选：B.

点评，本咫考查函数衣达式的比较.选取特殊值法是解决本题的美德.注意解题

方法的枳黑.属F中档题、

7、(5分)在区间(0,1]1网机取两个数x.y.记汽为事件Xy号”的慨率.

P2为事件"x-V•的概率，P,为事件axyS_1•”的概率.则()

A、P1<P2<P>B.P2Vp3VpiC、P3VP1VP2D、Pj<Pa<Pi

题目分析1作出每个事件对应的平面区域.求出对应的面积,利用几何鹿型的母

率公式进行计耳比较即可、

试题解答辨：分别作出事件对应的图象如图(阴影部分h

Pl：D(0.-L).F(X0).A(0.1).B(1.1).C<1.0).

则阴影部分的血视31x1Y・0，

22288

5EX-X会中-衿

!

$，・】吟”小吟i94号令出，

.,.5j<51<Si.

即P2Vp3<P1，

故选：B.

点价：本咫主要考ft几何概型的概率计酬，利用数形结合是解决本期的关键、本

题也可以直接地过图象比较而根的大小即可比校大小、

8、(5分)将窝心率为6的双曲段G的或半轴长a和鹿芈轴长b(a，b)同时增

加m<m>0)个单位长度，得到离心率为ez的双曲战J,则()

A.对仔懿•的a,b.ei>ei

B.当a>b时，ei>e，当a〈b时，ei<e?

C、对任意的a,b,e,<e2

D、当a>b时.ej<e2：当a〈b时.es>e2

M目分th分别求出双H线的离心率，再平方作差,即可得山结论、

试题解答解：由题意，双曲线Q：/“?+*,.上；

a

双曲线C”c'<a-m>(b+m>2,e?X')Fbtm)1

a+m

二.22-b'_(bE)J(b-a)(Tabgitbm'+am?)

C，"a2(a+m)2a2(a+n))2

.•.当a>b时，。1>念：当a<b时.ei<e2.

故选：B>

点褥i本题考直双曲线的性质.号宣学生的计算能力.比较基册、

9.(5分)已知集合A=!<x.v)x.yCZ-.B={(X.y)lx为2,

G

vlW2.x.yGZ}.定义集合A+B-'5+x”丫叶力)<«i»Yi)A.(x2.y2l

£B),则A@B中元素的个数为()

A.778、49C.45D.30

JB目分析i由理意可得，A={<0.0),<0.1),<0.-1),(1.0>,(-1.0).

B={(0.0),(0.1),<0.2).(0,-1),(0.-2),(1,0).(1.1).(1.2)

(1.-1).(1.-2)(2.0).(2.1),(2,2)(2.-1).(2.-2),(-1.

-2).(-1,-1).(-1,0).(-1,1).(-1.2).(-2,-2).(-2,-1).

(-2,01,(-2.1).(-2,2)).根据定义可求

试题解答姆：解法一：

VA=I(x,y)x.yezl«1<0.0).(0,1).(0,-1).(1,0).<-

30),

B={(x>V)XW2,yW2.x・y€Zr=(<0,0).(0,1),(0,2).(0,-1).

(0.-23,(1.0).(1.1).(1.2)(1.-1).(1.-2>(2.0).(2.1).

(2.2)(2.-1).(2.-2).(-1.-2),<-1.-1).(-1.0).(-1.1).

(-1,2).(-2.-2),(-2,-1).(-2.0>.<-2.1).(-2.2>I

'.'A❸B=((Xi+Xj»yi+yj)I(Xi»Yi)EA,(X?.Yi>WB・

.'.AeB={(0,0).(0.1).(0.2).<0.-1).(0.-23(1.0).(1.1).

<1.2)(1.-1).(1.-2)(2.0).(2.1).(2,2>.(2.-1).(2.-2).

(-1.-2),(-1.-1).(-1.0).(-1.1).(-1.2),(»2.-2).(-

2,-1),(-2,0>>(-2,1),(-2.2),

(-2,5).(-2,-3),(0，-3)，(2，-5),(-1,3),<-1.-3),(1，3)，

<2,3).(0,3).<3.-1),(3.0>(3.1).(3.2),(3.-2)(-3.2><-

3.1).(1,-3),(-3,-1).<-3,0).(-3.-2))共45个元霰：

解法二：

因为失合A=；(x・y)x,yezl,所以集合A中fjS个元来,即图中

圆中的整点，8=((x.y)xW2,vW2,x,yWZ},中有5X5=25个元素,

即图中正方形ABCD中的整点,A®B={(xi+xj.yj-yj)(xj.vi>WA,<x>.yj)

的元本可看作正方形AMG5中的整点(除去四个顶点),即7X74=45

个、

故选：C.

点河：本咫以新定义为载体，主要考盒了集合的基本定义及运算，解题中需要取

得里发的兀素、

10.（5分）&xWR,：xj表示不超过X的出大整数、若存4丈数t.使得㈤=1.

［t2］-2....・［t°］=n同时成，匕则正整数n的最大值班（）

A,38、4C.SD、6

题目分析।由新定义可得t的范围，验证可得见大的止整数n为4,

试题解答解：若㈤，1,则励出2）.

若晓］-2,则t£［遍,行）（因为胭F1需要同时成立・则倒区间自去），

若［产］・3,则tW［炳,a）,

若屋］・4,则tWl/.轲），

若用呜呵tw［近,幅）,

M•1173^1.732,骑11.587.场=1495.妮=1.431<1.495,

通过上述可以发现,、'it=4时，可以找到实Kit使其在区网11.2）n［V2.V3）

C［炳，,）2褊,案）上，

但当1=5时,无法找到实数t使其在区间［1•2）nfV2,W）C［加・编）n

SVs>。V?

上，

，正整数n的最大值4

故选：B.

点用本题号也简单的演绛推理，涉及新定义，械基础题、

二、填空题：本大■共4小JB,考生》作答5小■,每小■5分，共25分、请

将答案编在答・卡对应J1号的位乱上、答，位*,书写不清，模梭两可均不得

分、

11、（5分）已知向量凉.屈.0A=3.则/•语9、

意目分析।由已知结合平面向量是数盘枳运蟀求解答案.

成■解答解：rtlOAlAB-iUOA-AB=O.即尾（OB-OA）=0.

0A=3.

•，-OA-OB=|OA|2=9'

故答案为：9、

点讦：人麹考本了平面向平的数K枳运与，号杳了向右了的求法,是里础的计算

题、

12、(5分)函数f(x)=4COS2-^COS(-2--x)-2sirw-In(x»lJ!的零点个数为

2-、

意目分析，利用：倍用公式化简函数的照析式.求出函数的定义域,向出函数的

图象,求出交点个交即可、

试题解答解：函数f(x＞的定义域为：■

f(X)=4co$2-^co5＜子-x)-25inx-In(x*l)

=2sinx(2cos~y-l)~*n(x-1)

=sin2x-：In(x+1),

分别画出函数y»sin2x,y=In(x*l)的图象,

由函数的图象可知，交点个数为2、

所以函数的零点有2个.

点哪，本题考杳-角滉数的化简.函数的零点个数的判蜥.考杳教形结合与转化

思想的应用、

13、(5分)如图，一辆汽车在条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公

路北侧…山顶D在西偏北30•的方向上•厅驶600m后到达B处.测得此山顶4

西偏北75,的方向匕仰角为30・,则此山的高度_m.

意目分析।设此山高h（ml.在ABCD中，利用仰角的正切衣示出BC,进而在

AABC中利用正弦定理求得h.

试・解答解：设此山育h（m）,则BCg.

在Z\ABC中，ZBAC=30*.ZC8A=105*.ZBCA=45*.A8=6D0.

根据正弦定理得.丐£-里.

311n30sin45

解得h=100^<m）

故答案为：iooVi,

点评।本织主婴考古/W:.地形的实际应用,关键是构造:角形.珞各个己切条

付向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的

联系，列方程或列式求解,

14、（5分）如图.圆COx轴相切于点T（1.0）.与v轴正手轴交于两点A,B

（B在A的上方），且AB=2.

（1）%C的标准方程为1）々（Y-返）2门：

（2）过点A任件条直浅与圆6x?T=l相交于M.N四点,下列三个结论，

叫腓嘴即嘀喘M

其中H确结论的字号是①®③、（写出所仃止码结论的序号）

J1目分析।（1）取AB的中点£,通过阿C^x触相切于点T,利用弦心半胫

与半弦长之间的关系，计舞即可：

（2）设M（8如sina）,N（cosp.sin0k计算出.搬一、■j^、鹏卜的值即

可、

试题解答解：（1）•••阿C与x轴粕切于点T（1,0）,

例心的慢坐标x=l.取AB的中点E.

,:AB=2.；.BE=1.

则BC心即既的半往仁BCm,

，腼心C<1,V2）.

则附的标准方程为（x-1）（V-V2）^2.

故答案为：（x-D。（丫-七）、2、

（2）；用心C<1.扬..'.E（0,扬.

又：AB«2,且E为AB中点.

.*.A（0.V2-1），B（0.五T》・

VM.N在圜0：x2V-l

•可设M（co&a>sina>,N（co53.sinP>,

NA=d（cosB-0）2+[sinB-（6-1）]2

=Vcos，B+sin2P-2（&-l）sin3+3-2亚

=r-2亚-2（亚T）sinB

=V2V2（V2~l）-2（V2-l）sinP

*42（&-D（加-sinB），

NB=7（cosP-0）2+[sinP-（T2+l）]2

Teos*+sin邛-2（'/^+l）sinB+3+2收

=胃+26-2（6+1）5途3

»V2（V2+1）（*/2-sin,

•_INAL/2G/j-l）（Vj-sinb）*能-1."_[.

INBI芯-sinb）“

网理nJ律悔卜五-1，

•iNAl.lKAl可成立

-WliB|-⑴3

脚②正%

耨犒■=*+』―③正乘

故答东为：①（卧③.

点讦।本题号施求网的标准方程,用三角函数值表示单位制匕点的坐标是腕决本

题的关道，注意解题方法的枳案，展于难题、

选修4L几何证明选褥

15、＜5分）如图，PA是圆的切纵A为切点,PBC是191的割缘且BC=3PB.

篇目分析:利用切副线定理推出RM2PB,利用相四三角杉求出比值即可、

成鹿解答解：由切割找定理可知：PA'=PB・PC,ZBC=3PB.

可得PA=2PB.

frAPAB4APAC'I'.ZP«/P.ZPAB-ZPCA（同弧上的例周角9弦切角相等）.

可得△PASSAPAC,

•AB-P&-PB.1

''AC_PA2PB2'

故答案为：1.

2

点价।A题考查切割线定理以及相似一角形的判定与应用.芍查边税推理院力.

选修41，坐标系与套皴方程

16、在自用坐标系xOv中，以。为极点，x轴的正半袖为极轴建立极生标系.己

1

x=t--

知直线I的极坐标方和为Q（sine-385。）=0,曲线C的参数方程为:（t

y=t叶

为参数）,I与C相交于A.B两点.则AB=_2Vs_.

■目分析，化极坐标方桎化直角坐七方程，参数方程化普通方程.联立亘线方程

和双曲线方程后求得交点坐标.由两点间的距点公式解答案、

成■解答解：由p<sin8-3cos0）=0.用y-3x=0.

1

x=t-f

由C的参数方程为（t为参数）,两式平方作差得：/-/=-4.

尸日；

联立fX；J部2专即F号

.•.A（亚.邈），B《必，”

2222

•■-AB="&产+（-）2=2花

故答案为：2女、

点出本期考令极坐标方程化「标方程,参教方程化普通力4件了汽线

和帆把曲线的位置关系，是基础的计算时.

三、解答JBi本大J■共6小愚，共75分、解答应写出文字说明、证明过程或演

手步曝、

17、(11分)某同学用"五点法"画函数f")=Asin(wx-4>)<w>0,4><y)

在某个周期内的图象时,列表并埴入了他分数据,如表：

u>x«07Cn3兀2n

T

x八5H

36

Asin(u)x44))05-50

(1)请将上次数据补充完整,地。在相应位置，并直接“出函数f(0的蚓析

式：

(2)将y=f(x)图象［二所有点向左平行移动&<6>0>个单位长度，汨到y=g

•xJ的图象、y=g(x)图型的•个对称中心为(聆.0).求8的依小值.

慝目分析，<1)根据表中已知数据.解存A=5,M2,。=-口、从而可补全数招.

6

解得困数表达式为f(x)=S$in(2x•三人

6

12)由(J)及函数尸Aiin(sx-4>)的图象变换规律得g(x)=5sin(2x-28-2)、

6

令2X-20-A=kn,髀得x=.%“78,k€Z.令里LJ^-e=容，的得

621221212

eAZLJL,kez,由e>o可弹解、

23

依题解答解：<1)根据表中已知数据，解得A=5.3=2.数据补全如F

6

表，

兀

U)X十小0n3兀2n

T

H兀7n

X52L13H

12312612

Asin<wx'<t>>050-50

且函数表达式为f(x)=5sin<2x-A).

6

（2）由（］）知f<X）=5$in得g（x）=5sin（2x*29--^-K

因为*sinx的对称中心为Ikn,0）.k£Z.

令2x+28•2kn.就得xML」L_e，kEZ.

6212

由于曲数y=g（x）的图象关于点（著.0）成中心对称，令粤+一6节.

解得。上三工，kEZ.由8>0可知，明K=1时，。取得被小值三、

236

点那本题主要考壹了由户Asin（3xpO的勰分图象确定其解析式,或数y=Asin

（3X，。）的图象变换规律的应用，屉下慕本知识的考自、

18、（12分》设等系数列｛aj的公差为d.前n项和为兀,等比数列IbJ的公比

为q,己知bi-di»b2二2,q二d,Sio=lOO>

（1）求效列｛/｝•（bj的通项公式

（2）当d>l时，记酬趣■,求数列G的前n项和L、

bn

题目分析，<1》利用前10项和与首项、公差的大系，联》方程级计算即可：

（2）当d>l时,山（1）知j生］写出Tn、白。的收运式，利用错位机减

20-12

法及等比数列的求和公式，计算即可、

试・解答解：（1）设a1=a.由题直可得［10"g*10。.

lad=2

nl

当｛:；时，3n=2n-l,bn«2：

(2)当d>l时,由(Dfala„x2n-1.包=2"I

•j，n.2nT

,2川

"'•Tn=l*3*-^-45*—,7*-—r,*d*—112n-1),———•

«2«3,4nH-1

点评I小双老色求数列的通项及求和，利用错位和裁让是解决小返的美法.注意

解法的积聚，展T中档题'

19、（12分）《九章算术》中,招底面为长方形且狎一条小校与底面垂直的四校

便称之为阳马，将四个面都为n角三用形的四曲体称之为黛系、如图，在阳马p

-ABCD中,侧梭PD_L底面ABCD.HPD=CD.过棱PC的中点E,作EFlPB.

PB『点F,连接DE.DF.BD.BE.

（1）证明：PB_L平面DEF、试判断四而体DBEF是否为鳖膈,若是,写出其珏个

面的直角（只去写出结论）：若不是，说明理由；

•2）告面DEF与面A8CD所成二面角的大小力号,求蕾•的值、

启目分析：解法1）（1）直线与直线,宜线与平面的垂百的转化证明播出PBLEF.

DECIFE=E,所以PBL平面。EF.即uj判断DE_L平而咋匚PB_L平而DEF•可知

四面体BDEF的四个面播是直角二.角形，确定直角、

（2）根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线、利用在线平面的碓口

判断出DGLDF.DGXDB.根树平面角的定义得出NBDF是面DEF与而ABCD所

成二面角的平面用，转化到包角三角形求斛即可、

解法2》

（1）以D为原点，射线DA,DC.DP分别为x.y.2轴的正半轴,建立空间直

ft]坐标系，运用向量的敛量积判断即可、

2>由PDJ.底而ABCD.所以/<0.0.1）是平面ACDB的个迂向增：由（I）

知,PB_L平而DEF,所以■丽（-A.-1.1）是平面DEF的•个法向GL根据数

■稹出出夹角的余弦即可得出所求解的答案、

匐■解答解法1）（1）因为PDJ.底面ABCD.所以PDLBC,

由底面ABCD为长方形，有8CJ_CD,而PDACD-O,

所以BCL平曲PCD、而DEu平血PDC.所以BCJ.DE、

乂因为PD=C0.点E是PC的中点，所以DE_LPC、

而PCDCB=C,所以DEX平而PBC、而PBu平面PBC.所以PBJ.DE、

又PBJ.EF,DECIFE=E.所以PB平面0EF、

由DE_L平而PBC,PBJ_平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角豚

即四面体BDEF是一个鳖滕，其四个面的克角分别为，DEB.ZDEF.ZEFB-N

DFB、

（2）如图1.

在面BPC内,延长K与FE交于点G.则DG是平面DEF与平面ACBD的交展、

由《I）知.PBJ.平面OEF.所以PBLDG、

乂因为PD_L底加ABCD,所以PD_LDG、而PDCPB二P.所以DG_L平面PBD、

所以DG_LDF.DG±DB

故/BDF是而DEF与面ABCD所成二面角的平面物,

^PD=DC=1.8C=X.有B0={”入2.

在RtZXPDB中.[11DF1PB.得NDPB=/FDB「-.

3

2=>

则tan-^-xtanZDPF-^^jtxV3耕得入

所啥冷

故当面DEF、而ABCD所成：面角的大小为马上里摩，

3BC2

(解法2)

<1)以D为原点，射线DA・DC.DP分别为x.y,Z轴的正半轴，建立空间直

角坐标系'设PD=DC=1,BC=M

则D(0.0.0).P(0.0,1).B(A.1,01.C<0.1.0).PB=(XI,-1).

点E是PC的中点.所以E(0.X.X).DE=(0.1.-1),

2222

于是瓦•施=o,GPPB_LDE、

又已知EFJ_PB,而EDCEF=E,所以PB_L平面DEF、

因是(0,1,-1).DE-P^O.则DE_LPC,所以DE,平面PBC、

由DE_L平•面PBC.PB±平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,

即四面体BDEF是一个签嘛,其四个面的比角分别为/DEB.ZDEF.ZEFB./

DFB,

(2)由P。！底面ABCD,所以谛(0,0.1)是平面ACDB的一个法向员；

由(I)知，PBL平面DEF，所以而=(-X.-1,1)是平面OEF的一个法冏境.

若前DEF与面ABCD所成.面用的大小为千

则运用向量的数量积求解得出

cot3-<JX\2+24-2

解得人喈、所以所以第w平

CB人2

故当面DEF与而ABCD所成二面角的大小为马村,区平、

点髀।本题综合考吉了空间直线r面的垂直问题，直线与直线,直境与平面的垂

口的转化，空何用的求解，属尸唯《£.

20.(12分)茶「用稣牛奶在某台设笛匕生产A.B两种奶制品、生产1吨A产

品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元：生产1IHJB产品需鲜牛奶1.5

吨,使用设需1.5小时.获利1200元，要求每天8产,丁的产后不超过A产品产

依的2倍，设备许天牛:产A,B两种产品时间之和不超过12小时、限定孤天可

获取的鲜牛奶数甲W（甲团吨）足一个随机变早.其分布列为

W121518

P0.30.50.2

该厂每天根据孩取的鲜牛奶数量安井生产,使其获利最大,因此回天的般大塞利

Z（单位；元）是一个随机变量、

（1）求Z的分布列和均值I

（2）若摊大可狭［仅的肝牛奶数属相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超

过10000元的概率、

・目分析I（1）设每犬A.B两种产品的生产数后分别为X,「相应的狭利为Z.

列出可行域，目标函数,通过当W=12时,当W=15时，当W=18时.分即求出

目标函数的最大获利，然后得到Z的分布列、求出期望即可、

（2）判断慨率类型是二项分布，然后求好所求概率即可、

1解