2021年2022年各地高考数学真题汇编：立体几何选择题

2021、2022年高考数学真题汇编：立体几何选择题

选择题

1.（2022•全国甲（文、理）T4）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正

方形的边长为1,则该多面体的体积为（）

A.8B.12C.16D.20

2.（2022•全国甲（文）T9、甲（理）T7）在长方体ABC。-A8CQ中，已知耳。与平面ABC。

和平面B所成的角均为30。，则（）

A.AB=2ADB.AB与平面AB«D所成的角为30°

C.AC=CB,D.BQ与平面BBC。所成的角为45°

3.（2022・全国甲（文）T10、甲（理）T9）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的

SmcL

圆心角之和为2兀，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为％和％.若£~=2,则/=（）

3乙V乙

A.亚B.2丘C.V10

4.（2022•全国甲（理）T8）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了

计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以。为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中

点，。在上，CDVAB.“会圆术”给出的弧长的近似值5的计算公式:

CD2

s=AB+^~.当。4=2,4。8=60°时，s=()

OA

A11-3V3D11-4V3

A.------D.---------

22

C'L口9-4百

,-2---T~

5.（2022・全国乙（文）T9、乙（理）T7）在正方体ABC。-中，E,尸分别为

的中点，则（）

A.平面与EFI平面BDD]B.平面与EF±平面4BD

C.平面与环//平面4ACD.平面旦以7//平面AC。

6.（2022・全国乙（文）T12、乙（理）T9）已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为O,底

面的四个顶点均在球。的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

A1R1060也

3232

7.（2022.新高考I卷T4）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分

水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km，水位为海

拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱

台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（、斤=2.65）（）

A.1.0x109m③B.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

8.（2022.新高考I卷T8）已知正四棱锥的侧棱长为I,其各顶点都在同一球面上.若该球的

体积为36»，且3W/K3G，则该正四棱锥体积的取值范围是（）

2781

B.

4了7

2764

T'TD.[18,27]

9.（2022.新高考I卷T9,多选题）已知正方体ABCO-ARCR，则（）

A.直线8G与所成的角为90°B.直线BC、与CA,所成的角为90°

C.直线BG与平面所成的角为45°D,直线BG与平面ABC。所成的角为45°

10.（2022.新高考口卷T7）正三棱台高为1,上下底边长分别为和4JL所有顶点在同

一球面上，则球的表面积是（）

A.KXhtB.128TIC.144兀1）.192K

11.（2022.新高考n卷T11）如图，四边形ABCO为正方形，平面ABC。，

FB〃ED,AB=ED=2FB,记三棱锥E—ACO,F-ABC,E-ACE的体积分别为

KMM，则（）

A.匕=2%

c.匕=匕+匕D.2V3=3K

12.（2022•北京卷T9）已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6,S是AMC及其内部的

点构成的集合.设集合T={°eS|PQ45},则T表示的区域的面积为（）

3兀CC

A.——B.RC.2兀D.3乃

4

13.（2022•浙江卷T8）如图，已知正三棱柱A8C—4，G，AC=A4],E,尸分别是棱

BC，AG上的点.记石厂与AA所成的角为e,E/与平面ABC所成的角为4,二面角

/一8C—A的平面角为/,则（）

A.a<p<yB./3<a<y

C./3<y<aD.a<y</3

14.（2021•全国高考真题，多选题）在正三棱柱ABC-中，点p满

足丽=4元+〃瓯，其中//e[0,l],则（）

A.当2=1时，△44尸的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥尸一AB。的体积为定值

C.当2=g时，有且仅有一个点P,使得APLBP

D.当〃=；时，有且仅有一个点P,使得4BJ.平面AB?

15.（2021•浙江高考真题）如图已知正方体ABC。—ABCQI,M,N分别是AQ,28的

中点，贝I（）

A.直线4。与直线垂直，直线肱V//平面ABCO

B.直线A。与直线。田平行，直线用平面80〃片

C.直线4。与直线。出相交，直线MN//平面A8CD

D.直线4。与直线。出异面，直线MN_L平面8DD4

16.（2021•浙江高考真题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（)

17.（2021•全国高考真题（理））己如A,B,C是半径为1的球。的球面上的三个点，且

AC_L8C,AC=8C=1,则三棱锥O—ABC的体积为（）

A.正B.3C.克D.显

121244

18.（2021.全国高考真题（文））在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,

G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的

侧视图是（）

C.D.

19.（2021•全国高考真题（理））在正方体ABC。-A4G。中，P为优。的中点，则直线

与所成的角为（）

兀c兀八兀c兀

A.-B.-C.-D.一

2346

20.（2021•全国高考真题）已知圆锥的底面半径为逝，其侧面展开图为一个半圆，则该圆

锥的母线长为（）

A.2B.272C.4D.4丘

答案及解析

1.【答案】B

【详解】由三视图还原几何体，如图,

2+4

则该直四棱柱的体积丫=——x2x2=12.

2

2.【答案】D

【详解】如图所示:

不妨设===c,依题以及长方体的结构特征可知，用。与平面ABCO所

cb

成角为N瓦。8,与。与平面A448所成角为NO旦A,所以sin30,=々-有，即

D}L）D}U

b=c,BQ=2c=Ja2+>+c?，解得a=>/2c-

对于A,AB=a,AD=b,AB=CAD，A错误;

对于B,过8作8后，4用于后，易知BE,平面A4C。，所以A8与平面AqG。所成

c、历

角为NBAE，因为tan/BAE=—=J，所以NB4£w3()0，B错误；

a2

对于C,AC=da?+b?=6c,CB、=+c?=yf2c，ACwCB],c错误；

对于D,旦。与平面所成角为NOgC,sinZr>B,C=—,而

BQ2c2

0<ZDB,C<90,所以NOB1C=45°.D正确.

3.【答案】C

【详解】解：设母线长为/,甲圆锥底面半径为斗，乙圆锥底面圆半径为与，

贝堂姿之2,

所以4=2弓,

又一L+——=2万，

则空=1,

4V5

%=翅"—I/2X——j

93

所以

%9r3%”

393

4.【答案】B

【详解】解：如图，连接OC,

因为。是A3的中点，

所以OC_LA6,

又QD_LA8,所以O,C,。三点共线,

即8=04=03=2,

又NAQB=6()°,

所以AB=Q4=O8=2,

则0C=G，故CD=2-6

所以L+岩(2-V3)-H-4V3.

NH------------------=----------------

22

5.【答案】A

【详解】解：在正方体ABCQ-AAG。中,

ACJ_3。且_L平面ABCD,

又EFu平面ABC。，所以EELOA，

因为E,尸分别为AB,BC的中点，

所以EF||AC,所以EF上BD，

又

所以EE_L平面6。，，

又EFu平面B|EF,

所以平面4M，平面BDD],故A正确；

如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设AB=2，

则4(2,2,2),E(2,1,0),厂(1,2,0),8(2,2,0),A(2,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),

G（0,2,2）,

则访=(—1,1,0),函=(0,1,2),丽=(2,2,0),西=(2,0,2),

M=(O,O,2),AC=(-2,2,O)，Aq=(-2,2,0),

设平面BE尸的法向量为加=(%，x，zj,

m-EF=一玉+y=0

则有，,可取加=(2,2,-1),

m-Eg=y+2Z[=0

同理可得平面ABO的法向量为1=。,一1,一1),

平面4AC的法向量为后=(1,1,0),

平面AG。的法向量为a=(1，1，T)，

则〃?•“=2—2+1=1。0,

所以平面用£尸与平面48。不垂直，故B错误;

in

因为tn与〃，不平行，

所以平面4EF与平面4AC不平行，故C错误;

因为说与及3不平行，

所以平面用£厂与平面4G。不平行，故D错误,

6.【答案】C

【详解】设该四棱锥底面为四边形A8CD,四边形ABC。所在小圆半径为r,

设四边形ABC。对角线夹角为a,

1,

则=--ACBDsma<-ACBD<--lr-2r=lr2

(当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立)

即当四棱锥的顶点。到底面ABCO所在小圆距离一定时，底面A8C。面积最大值为2r2

又产+/?2=1

则V3=；•2,.〃=与〃.42/当卜+，:+=挈

JJJuJ)乙t

当且仅当r2=2片即〃=乎时等号成立，

7.【答案】C

【详解】依题意可知棱台的高为MN=157.5—148.5=9(m),所以增加的水量即为棱台的

体积V.

棱台上底面积S=140.0km2=140xl06m2，下底面积=180.0km2=180xl06m2，

,766

AV=1/?(S+S+V^S)=1X9X(140X10+180X10+V140X180X1012)

=3x(320+60V7)xl06»(96+18X2.65)X107=1.437X109«1.4xl09(m3).

8.【答案】C

【详解】•/球的体积为36乃，所以球的半径R=3,

设正四棱锥的底面边长为2”，高为〃，

则『=24+»，32=2a2+(3-h)2,

所以6/2=尸，2a2=『一h2

11274/21(76、

所以正四棱锥的体积V=-S/?=-X4«2X/Z=-X(/2--)x—=-Z4-—

3333669\^36J

r1rz

324-

---

69k6

当34/42后时，V'>0，当2遍</W36时，V'<0,

r-64

所以当/=2斯时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为守,

27Q1

又/=3时，V——,I—3时，V——

44

27

所以正四棱锥的体积V的最小值为二，

4

所以该正四棱锥体积的取值范围是卫，”

43

9.【答案】ABD

【详解】如图，连接耳C、BCI,因为£狗//用。，所以直线与gC所成的角即为直线

8G与。4所成的角，

因为四边形为正方形，则故直线与所成的角为正确；

BBCC80，BC{,BQ90°，A

连接AC,因为4耳J■平面BBC。，BGU平面B4G。，则4与，BG，

因为qc^BG，4片nqc=4,所以BG~L平面ABC，

又ACU平面ABC，所以BG，C4,故B正确；

连接AG，设4£0耳。=。，连接BO,

因为B4J_平面AB£Di,G。U平面4耳GA，则G。-LB,B,

因为所以平面。

CQJ_B12，BlDlr-yBlB=Bl,C01.BBQ，

所以NGB。为直线BG与平面8B0Q所成的角，

设正方体棱长为1，则CQ=],BC[=C，5山/孰8。=器=g,

所以，直线与平面88QQ所成的角为3()。，故C错误;

因为GC，平面ABC。，所以NGBC为直线BG与平面ABCD所成的角，易得

ZC,BC=45°,故D正确.

10.【答案】A

【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径4,与，所以,2马=业豆，即

1sin602sin60°

4=3,2=4,设球心到上下底面的距离分别为4,4，球的半径为A，所以47K-9，

4=42—16,故|4一阂=1或4+4=1，即JH，-9-JR2-16=1或

JR2一9+JR2_]6=1，解得夫2=25符合题意，所以球的表面积为s=4兀穴2=100兀.

11.【答案】CD

设AB=EO=2FB=2a,因为瓦〃平面ABCD,FB||ED,则

111O4

V=-EDS=--2a---(2aY=-a3,

'3&ACD32',3

-

V2FB-S^ABC=­a--(2a)连接BO交AC于点M，连接易

得E)J_AC,

又EOJL平面ABC。，ACu平面AB8,则ED_L4C,又EDCBD=D,ED,BDu

平面BQ£户，则AC，平面3。£万，

又BM=DM==BD=®a,过/作EG，。七于G,易得四边形BQGF为矩形，则

2

FG=BD=2.yfla,EG-a)

222

EM+FM^EF'则£^，根，S^EFM=^EMFM'AC=2®，

则匕=匕-EFM+匕-EF“=gACS.EFM=2/,贝12匕=3匕，匕=3%,匕=匕+匕，故

A、B错误；C、D正确.

设顶点尸在底面上的投影为。，连接80,则。为三角形A8C的中心,

且B0=2x6x走=26故尸0=、36—12=2#.

32

因为PQ=5,故OQ=1,

故S的轨迹为以。为圆心，1为半径的圆，

而三角形ABC内切圆的圆心为。，半径为/2x彳—x以36二&[,

故S的轨迹圆在三角形A3C内部，故其面积为了

13.【答案】A

【详解】如图所示，过点/作EPLAC于P,过尸作PM,3c于M,连接PE,

则a-Z.EFP,P-/FEP,y-FMP,

PEPE八="=tan/=&2幺=unp,

tana—­—K1,

FPABPEPEPMPE

所以

14.BD

【分析】

对于A,由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；

对于B,将P点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；

对于C,考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点

的个数；

对于D,考虑借助向量的平移将尸点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点

的个数.

【解析】

易知，点尸在矩形3CC蜴内部（含边界）.

对于A,当2=1时，BP=BC+^iBB=BC+^iCC',即此时尸e线段CG，△487周长

不是定值，故A错误；

对于B,当〃=1时，丽=/1前+瓯=瓯+/L宿，故此时P点轨迹为线段gG，而

B'C#BC,BCi〃平面4BC,则有「到平面ABC的距离为定值，所以其体积为定值，

故B正确.

对于C,当4=]时，BP=—BC+〃BB「取3C,用G中点分别为。，H,则

丽=丽+〃西，所以P点轨迹为线段Q4,不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图,

4怦,0,1],P（0,0,〃），则个=1_g,0/L1],丽=卜,一，],

I2）\1）[2）\2J

乖•丽=〃（4-1）=0,所以〃=0或4=1.故均满足，故C错误；

1―►—.1——.

对于D,当〃二一时，BP=ABC+—BB、，取B,CC1中点、为M,N.BP=BM+入MN，

22

所以尸点轨迹为线段MN.设尸（0,为,，，因为A件,O,o］所以丽=一冬为，；，

AI8=一£，!，一1，所以3+1%-1=0=>%=-'，此时「与27重合，故口正确.

224222

15.A

【分析】

由正方体间的垂直、平行关系，可证MN〃A8,4O_L平面ABQ,即可得出结论.

【解析】

连AR,在正方体ABC。-A4G。中，

M是4。的中点，所以M为A"中点，

又N是。山的中点，所以MN//AB,

2平面ABCD,ABu平面ABCD,

所以MN〃平面ABCD.

因为AB不垂直B。，所以M