河北省秦皇岛市马圈子中学高三数学文联考试题含解析

河北省秦皇岛市马圈子中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.命题“”是命题“”的（

）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不是充分又不是必要条件参考答案：Ｂ2.复数z=i2(1+i)的虚部为（

）A.

1

B.

i

C.

-1

D.

–i参考答案：C略3.已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用条件构造函数h（x）=xf（x），然后利用导数研究函数h（x）的单调性，利用函数的单调性比较大小．【解答】解：设h（x）=xf（x），∴h′（x）=f（x）+x?f′（x），∵y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴h（x）是定义在实数集R上的偶函数，当x＞0时，h'（x）=f（x）+x?f′（x）＞0，∴此时函数h（x）单调递增．∵a=f（）=h（），b=﹣2f（﹣2）=2f（2）=h（2），c=（ln）f（ln）=h（ln）=h（﹣ln2）=h（ln2），又2＞ln2＞，∴b＞c＞a．故选：C．4.（4分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=x3B．y=cosxC．y=lnxD．y=参考答案：A5.等差数列中，，则

（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C6.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从身高在[120,130），[130，140）,[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为

（

） A． B．

C． D．参考答案：B7.已知向量若与平行，则实数的值是（

）A．－2 B．0 C．2 D．1参考答案：考点：1.共线向量；2.平面向量的坐标运算.8.已知点P（x，y）满足为坐标原点，则使的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】CF：几何概型．【分析】作出图形，求出相应区域的面积，即可求出概率．【解答】解：如图所示，点P（x，y）满足的区域面积为=，使成立的区域如图中阴影部分，面积为﹣=1，∴所求概率为=，故选：D．9.设集合A={x|x2≤7}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】先求出集合A，从而求出集合A∩Z，由此能求出集合A∩Z中元素的个数．【解答】解：∵集合A={x|x2≤7}={x|﹣}，Z为整数集，∴集合A∩Z={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴集合A∩Z中元素的个数是5个．故选：C．10.设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在[a，b]?D（a＜b），使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称为“优美函数”，若函数为“优美函数”，则t的取值范围是（）A． B．（0，1） C． D．参考答案：D【考点】34：函数的值域．【分析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t的取值范围．【解答】解：为增函数，存在[a，b]?D（a＜b），使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则，即∴a，b是方程为4x﹣2x+t=0的两个不等的根，设2x=m，∴m2﹣m+t=0有两个不等的实根，且两根都大于0，∴，解得0＜t，故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，若，则∠C=___________.参考答案：【分析】由题意结合正弦定理和特殊角的三角函数值可得∠C的大小.【详解】由题意结合正弦定理可得：，由于，故，则.

12.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B2F⊥AB1，则椭圆C的离心率是．参考答案：．【分析】由B2F⊥AB1，可得?=0，即可得出．【解答】解：F（c，0），A（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b），∴=（﹣c，b），=（a，b），∵B2F⊥AB1，∴?=﹣ac+b2=0，∴a2﹣c2﹣ac=0，化为：e2+e﹣1=0，0＜e＜1．解得e=，故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.（2017?上海模拟）已知（x0，y0，z0）是关于x、y、z的方程组的解．（1）求证：=（a+b+c）?；（2）设z0=1，a、b、c分别为△ABC三边长，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）设a、b、c为不全相等的实数，试判断“a+b+c=0”是“x02+y02+z02＞0”的

条件，并证明：①充分非必要；②必要非充分；③充分且必要；④非充分非充要．参考答案：④【考点】矩阵与矩阵的乘法的意义．【分析】（1）将行列式的前两列加到第三列上即可得出结论；（2）由方程组有非零解得出=0，即=0，将行列式展开化简即可得出a=b=c；（3）利用（1），（2）的结论即可答案．【解答】解：（1）证明：将行列式的前两列加到第三列上，得：==（a+b+c）?．（2）∵z0=1，∴方程组有非零解，∴=0，由（1）可知（a+b+c）?=0．∵a、b、c分别为△ABC三边长，∴a+b+c≠0，∴=0，即a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=0，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac=0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2=0，∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形．（3）若a+b+c=0，显然（0，0，0）是方程组的一组解，即x02+y02+z02=0，∴a+b+c=0”不是“x02+y02+z02＞0”的充分条件；若x02+y02+z02＞0，则方程组有非零解，∴=（a+b+c）?=0．∴a+b+c=0或=0．由（2）可知a+b+c=0或a=b=c．∴a+b+c=0”不是“x02+y02+z02＞0”的必要条件．故答案为④．【点评】本题考查了行列式变换，齐次线性方程组的解与系数行列式的关系，属于中档题．14.在中，已知，，则的最大值为

.参考答案：考点：余弦定理【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.15.已知数列为等比数列，且，则的值为_________________.参考答案：略16.设，，则按由小到大的顺序用“<”连接为

．参考答案：c<b<a17.某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，则调查小组的总人数为

；若从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰好有1人来自公务员的概率为

。

相关人员数抽取人数公务员32x教师48y自由职业者644参考答案：9，略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分15分）设函数的定义域是，对于任意正实数恒有，且当时，。（1）求的值；（2）求证：在上是增函数；（3）求方程的根的个数。参考答案：解：（1）令，则，…………2分令，则，…4分（2）设，则

当时，

……………6分……9分所以在上是增函数…………………10分（3）的图像如右图所示又由在上单调递增，且，可得的图像大致形状如右图所示，由图像在内有1个交点，在内有2个交点，在内有2个交点，又，后面的图像均在图像的上方。故方程的根的个数为5个………………15分（说明：没有图像只给出结果且结果正确给3分）19.在平面直角坐标系中，点，点在轴上，点在轴非负半轴上，点满足：（Ⅰ）当点在轴上移动时，求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）设为曲线上一点，直线过点且与曲线在点处的切线垂直，与的另一个交点为，若，求直线的方程参考答案：20.已知函数f（x）=|x﹣a|+|2x﹣1|（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）≤2的解集；（Ⅱ）若f（x）≤|2x+1|的解集包含集合[，1]，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（I）运用分段函数求得f（x）的解析式，由f（x）≤2，即有或或，解不等式即可得到所求解集；（Ⅱ）由题意可得当时，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立．即有（x﹣2）max≤a≤（x+2）min．求得不等式两边的最值，即可得到a的范围．【解答】解：（I）当a=1时，f（x）=|x﹣1|+|2x﹣1|，f（x）≤2?|x﹣1|+|2x﹣1|≤2，上述不等式可化为或或解得或或…∴或或，∴原不等式的解集为．…（II）∵f（x）≤|2x+1|的解集包含，∴当时，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，…即|x﹣a|+|2x﹣1|≤|2x+1|在上恒成立，∴|x﹣a|+2x﹣1≤2x+1，即|x﹣a|≤2，∴﹣2≤x﹣a≤2，∴x﹣2≤a≤x+2在上恒成立，…∴（x﹣2）max≤a≤（x+2）min，∴，所以实数a的取值范围是．

…21.（9分）如图，在梯形ABCD中，AB//DC，∠BCD=，且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.⑴求证：DC=BC；⑵E是梯形内的一点，F是梯形外的一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；⑶在⑵的条件下，当BE:CE=1:2，∠BEC=时，求sin∠BFE的值。参考答案：解：（1）过A作DC的垂线AM交DC于M,则AM=BC=2.又tan∠ADC=2,所以.因为MC=AB=1,所以DC=DM+MC=2即DC=BC.…………3分(2)等腰直角三角形.

…………4分证明：因为.所以，△DEC≌△BFC所以，.所以，

……6分即△ECF是等腰直角三角形.（3）设,则，所以.

……7分因为，又，所以.所以所以.

……9分略22.（12分）（2013?南开区一模）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点，离心率等于．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若=λ1，=λ2，求证：λ1+λ2为定值．参考答案：【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）根据椭圆C的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于．易求出a，b的值，得到椭圆C的方程．（2）设A、B、M点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x﹣2），然后采用“联立方程”+“设而不求”+“韦达定理”，结合已知中，，求出λ1+λ2值，即可得到结论．【解答】解：（1）设椭圆C的方程为，则由题意知b=1．…（2分）∴．∴a2=