四川省绵阳市平通中学高三数学理期末试题含解析

四川省绵阳市平通中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为（

）A．

B．

C．

D．6参考答案：答案:B2.函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，则实数的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：D略3.已知集合则集合=（

） A． B． C． D．参考答案：B略4.在边长为2的菱形ABCD中，，E是BC的中点，则A. B. C. D.参考答案：D【分析】选取向量为基底，用基底表示，然后计算．【详解】由题意，，．故选D．【点睛】本题考查向量的数量积，平面向量的线性运算，解题关键是选取基底，把向量用基底表示．5.下图所示函数图象经过何种变换可以得到的图象（

）A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位参考答案：D【分析】根据函数图像得到函数的一个解析式为，再根据平移法则得到答案.【详解】设函数解析式为，根据图像：，，故，即，，，取，得到，函数向右平移个单位得到.故选：.【点睛】本题考查了根据函数图像求函数解析式，三角函数平移，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.6.已知函数其中若的最小正周期为,且当时,取得最大值,则(

)A.在区间上是增函数

B.在区间上是增函数C.在区间上是减函数

D.在区间上是减函数参考答案：A略7.若复数满足，则复数的虚部为A.-1B.0C.iD.1参考答案：B8.已知椭圆：+=1（a，b＞0）和圆O：x2+y2=b2，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．若椭圆上存在点P，使得?=0，则椭圆离心率e的取值范围是（）A．[，1） B．（0，] C．[，1） D．[，]参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】由∠APB=90°及圆的性质，可得|OP|的长，从而可求椭圆的离心率．【解答】解：由?=0，可得∠APB=90°，利用圆的性质，可得|OP|=b，∴|OP|2=2b2≤a2，∴a2≤2c2∴e2≥，∵0＜e＜1∴≤e＜1故选：C．9.函数在定义域内可导，若，且当时，，设，则（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B

10.已知等比数列公比为，其前项和为，若、、成等差数列，则等于（

）A．

B．1

C．或1

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（2009湖南卷文）在的展开式中，的系数为

(用数字作答).参考答案：6解析:，故得的系数为12.已知f（x）=，则

．参考答案：+【考点】67：定积分．【分析】由定积分的运算，dx+（x2﹣1）dx，根据定积分的几何意义及定积分的运算，即可求得答案．【解答】解：dx+（x2﹣1）dx，由定积分的几何意义，可知dx表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的一半，则=×π=，则（x2﹣1）dx=（x3﹣x）=（﹣2）﹣（﹣1）=，∴dx+（x2﹣1）dx=+，故答案为：+．【点评】本题考查定积分的运算，考查定积分的几何意义，考查计算能力，属于基础题．13.已知向量=（3，1），

=（，－3），且⊥，则实数的取值为_______参考答案：1。由⊥，得，得。14.阅读如图所示的程序框图，若输出的范围是，则输入实数x的范围应是

▲

.

参考答案：15.已知，用数学归纳法证明时，等于．参考答案：16.已知在[0，1]上是的减函数，则的取值范围是____________参考答案：1＜＜2略17.由直线y=x+1上的一点向圆（x﹣3）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为__________．参考答案：考点：圆的切线方程；直线和圆的方程的应用．分析：从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小．解答： 解：从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小．圆心到直线的距离为：．切线长的最小值为：，故答案为：点评：本题考查直线和圆的方程的应用，圆的切线方程，考查转化的数学思想，是基础题三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）选修4－4；坐标系与参数方程直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度．已知直线l的参数方程为(t为参数，0<α<π)，曲线C的极坐标方程为ρ＝.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于A、B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．

参考答案：解：(1)由ρ＝，得(ρsinθ)2＝2ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程为y2＝2x.(2)将直线l的参数方程代入y2＝2x，得t2sin2α－2tcosα－1＝0.设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则t1＋t2＝，t1t2＝－，∴|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，当α＝时，|AB|取最小值2.19.已知函数f（x）=x2，，且函数g（x）在[﹣1，1]上单调递减．（1）若g（x）≤λ+3sin1在x∈[﹣1，1]上恒成立，求λ的取值范围；（2）若关于x的方程lnf（1+x）=2x﹣m在区间上有两个根（e为自然对数的底数），试求m的取值范围．参考答案：考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；转化思想．分析：（1）求出函数的导数，推出g（x），通过g（x）≤λ+3sin1在x∈[﹣1，1]上恒成立，转化为λ≥﹣2sin1，求λ的取值范围；（2）若关于x的方程lnf（1+x）=2x﹣m在区间上有两个根（e为自然对数的底数），转化为函数h（x）的图象与x轴交点个数，通过导数判断函数的单调性，求出最大值，得到方程有两个根的条件，求出m的取值范围．解答：解：（1）由题意得g（x）=λx+sinx，所以g'（x）=λ+cosx，因g（x）在[﹣1，1]上单调递减，所以g'（x）≤0在[﹣1，1]上恒成立，即λ≤﹣cosx在[﹣1，1]上恒成立，得λ≤﹣1．（3分）因g（x）在[﹣1，1]上单调递减，所以[g（x）]max=g（﹣1）=﹣λ﹣sin1，又g（x）≤λ+3sin1在x∈[﹣1，1]上恒成立，故只需﹣λ﹣sin1≤λ+3sin1恒成立所以λ≥﹣2sin1，又sin30°＜sin1，所以1＜2sin1，故﹣2sin1≤λ≤﹣1（2）由（1）知f（1+x）=（1+x）2，所以方程为ln（1+x）2=2x﹣m，设h（x）=ln（1+x）2﹣2x+m，则方程根的个数即为函数h（x）的图象与x轴交点个数，因，当x∈（﹣1，0）时，h′（x）＞0，所以h（x）在（﹣1，0）上为增函数，当x∈（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）时，h′（x）＜0，所以h（x）在（﹣∞，﹣1）和（0，+∞）上为减函数，所以h（x）在上为增函数，在（0，e﹣1]上为减函数，故h（x）在的最大值为h（0）=m，又，，方程有两根满足：，得，即当时，原方程有两解．点评：本题是中档题，考查函数导数在解决恒成立问题，以及方程的根的应用，注意转化思想的应用，恒成立的应用，是难度较大的题目，常考题型．20.（本题满分12分）某校政教处为检查各班落实学校“学生素养五十条”的规定情况，从各班抽取了一批学生进行测试，全部学生参加了“理论部分”和“模拟现场”两项测试，成绩均分为A，B，C，D，E五个等级.某考场考生两项测试成绩的数据统计如下图所示，其中“理论部分”科目测试成绩为B的考生有10人.（1）求该考场考生中“模拟现场”科目中成绩为A的人数；（2）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分.（i）求该考场考生“理论部分”科目的平均分；（ii）若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分.从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.参考答案：（1）3;（2）2.9,（1）因为“理论部分”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有人，所以该考场考生中“模拟现场”科目中成绩等级为A的人数为

……………4分(2)（i）求该考场考生“理论部分”科目的平均分为……………6分（ii）设两人成绩之和为，则的值可以为16，17，18，19，20，

，

所以的分布列为1617181920所以

所以的数学期望为

……………12分

21.设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d是奇函数，且当时，f（x）取得极小值．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求使得方程仅有整数根的所有正实数n的值；（3）设g（x）=|f（x）+（3t﹣1）x|，（x∈[﹣1，1]），求g（x）的最大值F（t）．参考答案：解：（1）∵f（x）为奇函数，∴b=d=0，…（2分）又由及，得a=﹣1，c=1，∴f（x）=﹣x3+x．…（4分）当时，f'（x）＜0，当时f'（x）＞0，∴f（x）在时取得极小值，∴f（x）=﹣x3+x为所求．（2）方程，化简得：x2﹣nx+4n=0，因为方程仅有整数解，故n为整数，又由x2=n（x﹣4）及n＞0知，x﹣4＞0．又，故x﹣4为16的正约数，所以x﹣4=1，2，4，8，16，进而得到n=16，18，25．（3）因为g（x）=|x3﹣3tx|，x∈[﹣1，1]是偶函数，所以只要求出g（x）在[0，1]上的最大值即可．记h（x）=x3﹣3tx，∵h'（x）=3x2﹣3t=3（x2﹣t），①t≤0时，h'（x）≥0，h（x）在[0，1]上单调增且h（x）≥h（0）=0．∴g（x）=h（x），故F（t）=h（1）=1﹣3t．②t＞0时，由h'（x）=0得，，和，i．当即t≥1时，h（x）在[0，1]上单调减，∴h（x）≤h（0）=0，故g（x）=﹣h（x），F（t）=﹣h（1）=3t﹣1．ii．当即0＜t＜1时，h（x）在单调减，单调增，（Ⅰ）当，即时，，∴，（Ⅱ）当，即时，，∴F（t）=h（1）=1﹣3t，综上可知，．略22.如图，菱形ABCD的边长为2，对角线交于点O，DE⊥平面ABCD；（Ⅰ）求证：AC⊥BE；（Ⅱ）若∠ADC=120°，DE=2，BE上一点F满足OF∥DE，求直线AF与平面BCE所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）由已知得AC⊥BD，DE⊥AC，由此能证明AC⊥BE．（Ⅱ）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AF与平面BCE所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵菱形ABCD的边长为2，对角线交于点O，∴AC⊥BD，O为BD中点，∵DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DE⊥AC，又DE∩DB=D，∴AC⊥平面BDE，∵BE?平面BDE，∴AC⊥