福建省三明市安远初级中学高三数学文期末试卷含解析

福建省三明市安远初级中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.正方体ABCD—A1B1C1D1中，CC1与面BDA1所成角的余弦值是A. B. C. D.参考答案：D2.的值为A. B. C. D.参考答案：A，故选A.3.正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.偶函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1），且在x∈[0，1]时，f（x）=x，则关于x的方程f（x）=，在x∈[0，4]上解的个数是(

)A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D【考点】函数的周期性；奇偶函数图象的对称性．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据已知条件推导函数f（x）的周期，再利用函数与方程思想把问题转化，画出函数的图象，即可求解．【解答】解：∵f（x﹣1）=f（x+1）∴f（x）=f（x+2），∴原函数的周期T=2．

又∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x）．又∵x∈[0，1]时，f（x）=x，函数的周期为2，∴原函数的对称轴是x=1，且f（﹣x）=f（x+2）．设y1=f（x），y2=，方程f（x）=根的个数，即为函数y1=f（x）的图象（蓝色部分）与y2=的图象（红色部分）交点的个数．由以上条件，可画出y1=f（x），y2=的图象：又因为当x=1时，y1＞y2，∴在（0，1）内有一个交点．∴结合图象可知，在[0，4]上y1=f（x），y2=共有4个交点．∴在[0，4]上，原方程有4个根．故选D．【点评】本题考查函数的性质，体现了函数与方程思想，数形结合思想，转化思想，属于基础题．5.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术；蕴含了极致的数学美和丰富的传统文化信息，现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边.若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】如图所示，设正方形的边长为2，其中的4个圆过正方形的中心，且内切正方形的两邻边的小圆的半径为r，求出圆的面积，根据概率公式计算即可【详解】如图所示，设正方形的边长为2，其中的4个圆过正方形的中心，且内切正方形的两邻边的小圆的半径为r，故BE＝O2E＝O2O＝r，∴BO2r，∵BO2+O2O＝BOBD，∴r+r，∴r，∴黑色部分面积S＝π（）2π，正方形的面积为1，∴在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为π，故选：B．【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，确定面积为测度是关键．6.下列命题中错误的个数是（

）①命题“若则x=1”的否命题是“若则x≠1”.②命题P:,使，则,使.③若p且q为假命题，则p、q均为假命题.④是函数为偶函数的充要条件.A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：C略7.设向量=（1.）与=（-1，2）垂直，则等于（

）A

B

C.0

D.-17.参考答案：C.

，故选C.8.某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针（不包括三角形边界及圆的边界），则针扎到阴影区域（不包括边界）的概率为A. B. C. D.以上全错参考答案：B略9.设，则（

）

A.

B.

C. D.参考答案：C10.若曲线(或)在其图像上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线(或)的自公切线，下列曲线存在自公切线的序号为

(填上所有正确的序号)；①

②

③

④

参考答案：①③略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若在区间上是增函数，则实数的取值范围

参考答案：12.已知向量，则

。参考答案：5略13.不等式组表示的平面区域为Ω，直线x=a（a＞1）将Ω分成面积之比为1：4的两部分，则目标函数z=ax+y的最大值为．参考答案：9【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，结合已知求得a，得到线性目标函数，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，1）．联立，解得B（﹣1，1）．∵直线x=a（a＞1）将Ω分成面积之比为1：4的两部分，∴，解得a=2．∴目标函数z=ax+y=2x+y，化为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为9．故答案为：9．14.“若a+b是偶数，则a、b必定同为奇数或偶数”的逆否命题为____.参考答案：若a、b不同为奇数且不同为偶数则a+b不是偶数15.如图，在中，∥，∥，︰＝︰，，则＝____________.参考答案：4略16.已知的定义域为,则的取值范围是.参考答案：答案：

17.已知函数f（x）=x2+mx++n（m，n∈R）有零点，则m2+n2的取值范围是

．参考答案：[，+∞）【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】令t=x+，得出关于t的方程t2+mt+n﹣2=0在（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）上有解，根据零点的存在性定理列不等式，作出平面区域，根据m2+n2的几何意义解出．【解答】解：f（x）=x2+mx++n==．令x+=t，当x＞0时，t≥2；当x＜0时，t≤﹣2．∵函数f（x）在定义域上有零点，∴方程t2+mt+n﹣2=0在（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）上有解，∴2﹣2m+n≤0或2+2m+n≤0，作出平面区域如图所示：由图形可知平面区域内的点到原点的最短距离d=，∴m2+n2≥．故答案为：[，+∞）．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题12分）参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分析的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：（1）求参加数学抽测的人数、抽测成绩的中位数及分数分别在，内的人数；（2）若从分数在内的学生中任选两人进行调研谈话，求恰好有一人分数在内的概率．参考答案：（1）分数在内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，分数在内同样有人．

-------

2分，由，得，茎叶图可知抽测成绩的中位数为．

分数在之间的人数为

参加数学竞赛人数，中位数为73，分数在、内的人数分别为人、人．

-------

6分（2）设“在内的学生中任选两人，恰好有一人分数在内”为事件，将内的人编号为；内的人编号为，在内的任取两人的基本事件为：共15个

-------9分其中，恰好有一人分数在内的基本事件有共8个，故所求的概率得

答：恰好有一人分数在内的概率为

-------12分19.（本小题13分）如图，在四棱锥中，平面，，平分，为的中点，（1）证明：平面（2）证明：平面（3）求直线与平面所成角的正切值参考答案：①证明：设AC∩BD=H,连结EH，在△ADC中，因为AD=CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点，又E为P的中点，故EH//PA又EH平面BDEPA平面BDE∴PA//平面BDE②证明：∵PD⊥平面ABCDAC平面ABCD，所以PD⊥AC由（1）知，BD⊥AC，PD∩BD=D∴AC⊥平面PBD③解由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以∠CBH为直线与平面PBD所成的角。由AD⊥CD，AD=CD=1，DB=2可得20.如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（I）证明：PQ⊥平面DCQ；（II）求棱锥Q—ABCD的的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值．参考答案：解：（I）由条件知PDAQ为直角梯形因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQ⊥QD所以PQ⊥平面DCQ.

………………6分

（II）设AB=a.由题设知AQ为棱锥Q—ABCD的高，所以棱锥Q—ABCD的体积由（I）知PQ为棱锥P—DCQ的高，而PQ=，△DCQ的面积为，所以棱锥P—DCQ的体积为故棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值为1.…………12分21.（本小题满分12分）数列中，，，数列满足，．（Ⅰ）若数列是等差数列，求数列的前项和；（Ⅱ）若数列是公差为的等差数列，求数列的通项公式．参考答案：(Ⅰ)5200;(Ⅱ)

【知识点】等差数列的前n项和；数列递推式．D1D2解析：（Ⅰ），且是等差数列，，当为奇数时，，即；当为偶数时，，则，，………………6分（Ⅱ）是公差为的等差数列,，．当为奇数时，；当为偶数时，．即且，因为，，………12分【思路点拨】(Ⅰ)先求出等差数列{an}的通项公式an，再求出{bn}的通项公式，计算{bn}的前100项和；(Ⅱ)先求出等差数列{bn}的通项公式，再根据bn=an+1+（﹣1）nan，讨论n为奇数或偶数时，求出an．22.（本小题满分12分）某中学校本课程共开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生：

（1）求这3名学生选修课所有选法的总数；

（2）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；

（3）求A选修课被这3名学生选择的人数的数学期望