随机变量的数字特征

随机变量的数字特征问该射手在一次射击中平均命中的环数是多少?它是X的可能取值与对应概率乘积之和.引例1：已知某射手在每次射击中命中的环数X服从分布：从而,在一次射击中平均命中的环数为:X0

12…10P

解:假定该射手进行了N次射击,则约有次命中0环,次命中1环,…,次命中10环.因此,N次射击中命中的总环数为:第2页,共60页，2024年2月25日，星期天

甲的所得X是一个可能取值为0或100

的随机变量，其分布列为：

X0

100P1/4

3/4甲的“期望”所得是：01/4+1003/4=75.引例2：分赌本问题。三局中两胜一负。因为再赌两局必分胜负，共四种情况：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙第3页,共60页，2024年2月25日，星期天定义1

设离散随机变量X的分布列为P(X=xn)=pn,n=1,2,...为随机变量X的数学期望，或该分布的数学期望,简称期望或均值.则称若若不收敛,则称X的数学期望不存在.第4页,共60页，2024年2月25日，星期天注:(1)数学期望本质上为加权平均,权就是取值的概率.(2)数学期望刻划了随机变量取值的平均位置.(4)当X取值只有有限多个时,一定存在.(3)是一个确定的量(常数),不受在级数中的排列次序而改变,这在数学上就要求级数绝对收敛.第5页,共60页，2024年2月25日，星期天惠更斯是一个有多方面成就的、在当时声名与牛顿相当的大科学家。他的贡献之一是单摆周期公式。他在概率论的早期发展史上也占有重要地位，其主要著作《机遇的规律》出版于1657年，出版后得到学术界的高度重视，在欧洲作为概率论的标准教本长达50年之久。该著作的写作方式不大像一本书，而更像一篇论文。他从关于公平赌博(fairgame)的值的一条公理出发，推出关于“期望”（这是他首先引进的术语）的3条定理。

惠更斯的《机遇的规律》第6页,共60页，2024年2月25日，星期天命题1若某人在赌博中以1/2等概率得a、b元，则其期望为(a+b)/2元。命题2若某人在赌博中以1/3等概率得a、b和c元，则其期望为(a+b+c)/3元。命题3若某人在赌博中以概率p,q(p+q=1)得a、b元，则其期望为pa+qb元。

这几个命题是期望概念的一般化。

第7页,共60页，2024年2月25日，星期天练习:

假设有10只同种电器元件,其中有两只不合格品.装配仪器时,从这批元件中任取一只,如是不合格品,则扔掉重新任取一只;如仍是不合格品,则扔掉再取一只,试求在取到合格品之前,已取出的不合格品只数的数学期望.第8页,共60页，2024年2月25日，星期天例1:

设随机变量X具有如下的分布，求E(X).解

虽然有收敛,但发散,因此E(X)不存在.第9页,共60页，2024年2月25日，星期天连续随机变量的数学期望定义2

设连续随机变量X的密度函数为p(x),

若积分绝对收敛，则称该积分为X的数学期望，记为：第10页,共60页，2024年2月25日，星期天解:X的密度函数为例2:设X服从区间(a,b)上的均匀分布,求.第11页,共60页，2024年2月25日，星期天解:柯西分布的密度函数为例3:柯西分布的数学期望不存在.由于故不存在.第12页,共60页，2024年2月25日，星期天练习:某厂推土机发生故障后的维修时间T是一个随机变量,其密度函数为试求平均维修时间.第13页,共60页，2024年2月25日，星期天2.2.3

数学期望的性质定理1

设Y=g(X)是随机变量X的函数，若E(g(X))存在，则第14页,共60页，2024年2月25日，星期天例4:

设随机变量X的概率分布为求E(X2+2).=(02+2)×1/2+(12+2)×1/4+(22+2)×1/4=1+3/4+6/4=13/4解:

E(X2+2)X012P1/21/41/4第15页,共60页，2024年2月25日，星期天例5:

某公司经销某种原料，根据历史资料表明：这种原料的市场需求量X（单位：吨）服从(300,500)上的均匀分布。每售出1吨该原料，公司可获利1.5(千元)；若积压1吨，则公司损失0.5(千元)。问公司应该组织多少货源，可使平均收益最大？解:设公司组织该货源a吨，又记Y为在a吨货源的条件下的收益额，则收益额Y为需求量X的函数。第16页,共60页，2024年2月25日，星期天数学期望的性质(1)E(c)=c(2)E(aX)=aE(X)(3)E(g1(X)+g2(X))=E(g1(X))+E(g2(X))第17页,共60页，2024年2月25日，星期天例6：设X~

求下列X的函数的数学期望.(1)2X

1,(2)(X

2)2解:(1)E(2X

1)=1/3,(2)E(X

2)2=11/6.第18页,共60页，2024年2月25日，星期天§2

随机变量的方差与标准差问题的提出：

我们已经知道,期望反映了随机变量取值的平均位置,在许多问题中,只要知道这个平均值就可以了.但是,期望仅仅反映了随机变量的一个侧面,有一定的局限性,在某些场合,仅仅知道期望是不够的.第19页,共60页，2024年2月25日，星期天引例:

甲乙两射手，他们每次射击命中的环数分别用Ｘ，Ｙ表示，其分布列为X８９10P0.20.60.2X８９10P0.10.80.1试比较两人技术的高低.易见,EX=EY=9(环数),即平均命中环数相等.但两人技术水平不一样,因为乙的射击技术比甲稳定些(更集中于平均值的附近).这说明只依据期望还不能很好地反映出射手的技术.因此,应当引进一个数量指标,用它来衡量随机变量离开它的期望值的偏离程度.第20页,共60页，2024年2月25日，星期天想法:

(1)偏差的平均值,即X与EX的偏差X-EX的平均值:E(X-EX).不行.因为偏差有正有负,在总和中出现正负抵消.由于,故乙的射击技术比甲更稳定些,即乙的射击技术优于甲.(2)离差:不行.虽然能克服正负偏差相互抵消的缺点,但绝对值在数学运算中有许多不便之处.(3)X与EX的离差的平方的平均值:第21页,共60页，2024年2月25日，星期天定义1

若

E(X

E(X))2存在，则称偏差平方的数学期望E(X

E(X))2为X的方差，记为Var(X)=D(X)=E(X

E(X))2第22页,共60页，2024年2月25日，星期天注意点(2)称

X

=

(X)=(1)方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度.或随机变量取值的分散程度.方差越大,则随机变量的取值越分散(远离EX);方差越小,X的取值越集中(密集在EX的附近).为X的标准差.标准差的量纲与随机变量的量纲相同.(3)Var(x)存在E(x)存在,反之未必。即存在E(x)存在.第23页,共60页，2024年2月25日，星期天

例1设随机变量X概率密度为p(x),求D(X).

解:于是,D(X)=E(X2)=1/6第24页,共60页，2024年2月25日，星期天例2设X为掷一颗骰子出现的点数,试求Var(X).解:第25页,共60页，2024年2月25日，星期天

例3设随机变量X概率密度为p(x),求D(X).

解:于是,D(X)=E(X2)=1/2第26页,共60页，2024年2月25日，星期天第27页,共60页，2024年2月25日，星期天

例4某人有一笔资金，可投入两个项目：房产和商业，其收益都与市场状态有关．若把未来市场划分为好、中、差三个等级，其发生的概率分别为０.2,0.7,0.1.通过调查,该投资者认为投资于房产的收益X(万元)和投资于商业的收益Y(万元)的分布分别为

问:该投资者如何投资为好?解:E(X)=4.0,E(Y)=3.9

D(X)=15.4,D(Y)=3.29(风险)P0.20.70.1P0.20.70.1X113-3X64-1第28页,共60页，2024年2月25日，星期天2.3.2

方差的性质性质1:Var(c)=0.性质2:Var(aX+b)=a2Var(X).性质3:E(X)=0,Var(x)=0第29页,共60页，2024年2月25日，星期天两点分布贝努利试验：试验只有两种结果：和两点分布:设随机变量X表示进行一次贝努利试验事件A发生的次数，且P{X=1}=pP(X=0)=(1-p),(0<p<1)则称X服从两点分布(0-1分布),记为其中为参数。第30页,共60页，2024年2月25日，星期天两点分布的期望与方差:两点分布的分布列可以写成：X01P

第31页,共60页，2024年2月25日，星期天二项分布其中0<p<1,q=1-p

定义：设X为n重伯努里试验中事件A发生的次数,且，则X的分布列为这种分布称为二项分布，记为其中为参数。第32页,共60页，2024年2月25日，星期天

二项分布的期望与方差：第33页,共60页，2024年2月25日，星期天第34页,共60页，2024年2月25日，星期天定义：若随机变量X的概率分布为则称X服从参数为

的泊松分布,记为X～P(

)，其中（>0）参数。泊松分布第35页,共60页，2024年2月25日，星期天

泊松分布的期望与方差：第36页,共60页，2024年2月25日，星期天总结：（１）常用离散分布的数学期望

0-1分布的数学期望=p

二项分布b(n,p)的数学期望=np

泊松分布P(

)的数学期望=

第37页,共60页，2024年2月25日，星期天总结：（２）常用离散分布的方差

0-1分布的方差=p(1

p)

二项分布b(n,p)的方差=np(1

p)

泊松分布P(

)的方差=

第38页,共60页，2024年2月25日，星期天2008年数学一填空（14）：设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则=_____.

第39页,共60页，2024年2月25日，星期天均匀分布定义：设随机变量X的密度函数为记为X~U(a,b)则称X服从区间［a,b］上的均匀分布,第40页,共60页，2024年2月25日，星期天均匀分布的期望和方差：E(X)=(a+b)/2;Var(X)=(b-a)2/12.第41页,共60页，2024年2月25日，星期天指数分布则称X服从指数分布，记为X～Exp(

),其中

>0.定义：若随机变量X的密度函数为第42页,共60页，2024年2月25日，星期天指数分布的数学期望和方差：第43页,共60页，2024年2月25日，星期天则称X服从正态分布，记为X~N(

,

2),其中

>0，

是任意实数.

是位置参数.

是尺度参数.正态分布定义：若随机变量X的密度函数为第44页,共60页，2024年2月25日，星期天第45页,共60页，2024年2月25日，星期天正态分布的数学期望与方差：

设，则第46页,共60页，2024年2月25日，星期天总结：（１）常用连续分布的数学期望

均匀分布U(a,b):E(X)=(a+b)/2

指数分布Exp(

):E(X)=1/

正态分布N(

,2):E(X)=

第47页,共60页，2024年2月25日，星期天总结：（２）常用连续分布的方差

均匀分布U(a,b)的方差=(b

a)2/12

指数分布Exp(

)的方差=1/

2

正态分布N(

,

2)的方差=

2第48页,共60页，2024年2月25日，星期天血液检查中的经济学第二次世界大战期间，必须招募很多人到军队，要检查申请者中某种罕见的疾病需要对每一个人进行血液检查，这无疑是一项巨大的工作。尽管被淘汰的比率很低，但这个检验是决定一个人是否能参军的关键。如何保证“有问题的”会被淘汰掉，同时又减少检验次数呢？

混合样本监测的方法现已广泛实践于环境保护研究和其他领域，用于削减实验检测费用。第49页,共60页，2024年2月25日，星期天用X表示该人群中每个人需要的验血次数，则

X

P

第50页,共60页，2024年2月25日，星期天§3

分布的其它特征数重点：矩、分位数的概念.难点：分位数.第51页,共60页，2024年2月25日，星期天

k

阶矩

k阶原点矩：

k

=E(Xk)，k=1,2,….

注意:

1=E(X).

k阶中心矩：

k

=E[X

E(X)]k，k=1,2,….

注意:

2=Var(X).

定义1：第52页,共60页，2024年2月25日，星期天变异系数定义2

设随机变量X的二阶矩存在，

为X的变异系数.作用：则称CV是无量纲的量,用于比较量纲不同的两个随机变量的波动大小.第53页,共60页，2024年2月25日，星期天

分位数P(X

xp)=F(xp)=p定义2.7.3

设0<p<1，若xp满足则称xp

为此分布的p-分位数，亦称xp

为下侧

p-分位数.第54页,共60页，2024年2月25日