2020年度历年自考04184线性代数试题真题模拟及答案分析解答

历年自考04184线性代数试题真题及答案

分析解答

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全国4月高等教育自学考试线性代数(经管类)

试题答案

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分,

共20分)

1.已知2阶行列式凤%=〃，贝!4％=

b}b2qc2|a}+c]a2+c2

(B)

A.m-nB・n-mC•m+nD•—(m4-n)

由h2仇h2h\h2

+=-m+〃=•

a〕+qa24-c2%a?

2.设4,B,。均为z?阶方阵，AB=BA,AC=CA9则

ABC=(D)

A.ACBB.CABC.CBAD.BCA

ABC=(AB)C=(BA)C=B(AC)=B(CA)=BCA.

3.设2为3阶方阵,，为4阶方阵，且IA又，…

则行列式3川之值为(A)

A.-8B.-2C.2D.8

||B|A|=|-2A|=(-2)3|A|=-8.

(a、“13)

\\a%l3%2<10q00、

\2。13o'

4.A二a2\a22〃239B=a2\3a22a23，p=030，0=310,则

a00

/31。3233)3〃32<01><o1,

B=(B)

A.PAB.APC.QAD.AQ

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"«11a

412^13V100、\\3%2。13

AP=〃21B.

a22a23030a2\3a22。23

aa

〃32033>、00L3\3a3?33)

5.已知A是一个3x4矩阵，下列命题中正确的是

(C)

A.若矩阵4中所有3阶子式都为0,则秩储)=2

B.若4中存在2阶子式不为0,则秩(4)=2

C.若秩(2)=2,则Z中所有3阶子式都为0

D.若秩(2)=2,则2中所有2阶子式都不为0

6.下列命题中•错•误的是(C)

A.只含有1个零向量的向量组线性相关B.由

3个2维向量组成的向量组线性相关

C.由1个非零向量组成的向量组线性相关D.2

个成比例的向量组成的向量组线性相关

7.已知向量组即％.线性无关，%尸线性相关，

则(D)

A.%必能由a2M3,月线性表出B.夕2必能由a1,4,夕

线性表出

C.%必能由％为夕线性表出D.夕必能由即%,%

线性表出

注：W是%,%,。3'夕的一■个极大无关组.

8.设2为心〃矩阵，，"〃，则方程组4尸0只有零解

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的充分必要条件是4的秩（D）

A.小于卬B.等于rC.小于刀

D.等于Z7

注：方程组2尸0有〃个未知量.______________

9.设4为可逆矩阵，则与4必有相同特征值的矩

阵为（A）

2

A.ATB.AC.A-ID.A*

\AE-AT|=|（2E-A）r\=\AE-A\9因此A与“有相同的特征值.

2

10.二次型/（X1,X2,X3）=X1+X2+X；+2xtx2的正惯性指数为

（C）

A.0B.1C.2D.3

/（X],）—（X]+盯）2+石=y；+货,正惯性指数为2.|

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共

20分）

口・行列式黑黑的值为-------------

200720082000200078

=+=—2•

2009201020002000910

12.设矩阵叱二；,哪>则A"

(\2V、/22、

(20、

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13.设a=(3,—1,0,2)7,=⑶i,_i,4)r,若向量/满足2a+/=3/，

贝！I/=•

y=3/3-2a=(9,3-3,12)7-(6-2,0,4)r=(3,5,-3,8)7.

14.设4为〃阶可逆矩阵，且\A\=n--，则

|IA-1|=.

15.设2为刀阶矩阵，8为〃阶非零矩阵，若8的

每一个列向量都是齐次线性方程组2年0的解，则

IA1=•

〃个方程、〃个未知量的4归0有非零解，则⑷=0.

16.齐次线性方程组°的基础解系所含解

2工］-x24-3X3=()

向量的个数为

\基础解系所含解向量的个数

IZ—1JJ(U-J1.

n—r=3—2=1.

17.设Z7阶可逆矩阵Z的一个特征值是一3,则矩阵

必有一个特征值为.

4有特征值-3,则次有特征值*3)2=3,有特

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征值「

1-2-2、

18.设矩阵.-2x0的特征值为4,1-2，则数

-200;

x=

由l+x+0=4+l-2,得钎2.

1/V20、

19.已知A一/近b0是正交矩阵，则

001

/

a+b=

由第1、2列正交，即它们的内积9+…得

a+h=0.

20.二次型f(x},x2,x3)=-4%jx2+2芭x3+6X2X3的矩阵是

(0-21、

-203*

l]30,

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共

54分）

abc

21.计算行列式止a2b2c2的值.

3

4-ab+b3c+c3

abcb111

解：D=abc2b-2=abcabc

a+a3h+h3c+c,33h3,3a2b2c2

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0b-a

c-a

0b~-a

=abc(b-a)(c-a)-abc(b-a)(c-a)(c-b)•

22.已知矩阵8=(2,1,3)，C=(1,2,3),求⑴A=BTC;(2)

A2•

46、

A=BTC23

69,

(2)注意到CBT=(1,2,3)=13,因此

A2=(BrC)(BrC)=Br(CBr)C=13BrC=13A=13123

、369,

TTTT

23.设向量组a,=(2,l,3,D,a2=(l,2,0(l),«3=(-1,1,-3,0),a4=(1,1,1,1)，

求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极

大线性无关组表示向量组中的其余向量.

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，21-11、(\10<1101、

121112110110

解:A=(。］,%，。3，。4)=—>->

30一3130-310-3-3-2

110V121-1J1°TT

口101、01o1]<10-10

01100110011

—)°，向量组的秩为

000-20001^0003,

、000-1J(0000；10000J

%,%是一个极大无关组,=-ax+a2•

—...4123、‘-14、

24.已知矩阵4=012,8=25(1)求「；(2)

、00"J-3,

解矩阵方程心=5.

23100、<12010-3、

解:(1)(A,E)=012010->01001-2

、001001J1001001,

001-21、(1-21

―01001-29A-1=01-2

k001001;I。。1,

(\-21V-14)f-4-9、

(2)X=A-]B=01-225=011

1

3

ko0八1-3JI1~>

x+2x+=4

25.问a为何值时，线性方程组「二有惟一

2可+2X2+3/=6

解？有无穷多解？并在有解时求出其解(在有无

穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系

表示全部解).

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234]门234、p234、

解:(A,b)=02a202a2T02a2

3236,、°-2-3-2>,00a-3°,

X时r(A,Z?)=r(A)=39有惟解，此时

q234、[1204、

(A,b)f02a2->0202

、0010>、0010>

’1002、p002、=2

->0202T0101=19

、0010>,0010>尤3=0

q=3时，r(A,b)—r(?4)=2<n，有无穷多解，此时

'1234、

(A,b)f0232

、0000>

X1=2

’1002、n002、，2、、

0232013/219=1-1，通解为1+k-3/29

000o><000°,°1

、=巧7

其中人为任意常数.

(200、

26.设矩阵A=3a的三个特征值分别为3,求正

a3,

00、

的常数》的值及可逆矩阵尸，使P-'AP=020

1°05,

200

解:由|川=03〃=2=2(9-«2)=1X2X5，得小=4,。=2•

3

0。3

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p-200、

AE-A=02-3-2

<0-2

对于4=1,解(2E-A)x=0：

00、<100、%1=010、

AE-A=0-2-2T011，<X2=-x3，Pl=-1；

X=X

-2<0°0)33I1,

对于%=2,解(检-A)x=0：

<000、’010、x\=x\

AE-A=0-1-2-»ooi9<々=0，

、0-2-L、0oo>*3=0

对于4=5,解（花-A）x=0：

'300](\00、

AE-A=02-2-»01-1，

、0-2JI。00,

，010、

令P=（Pl，P2，P3）=-101，则p是可逆矩阵，使

J0

<100、

P-'AP=020

、005,

四、证明题（本题6分）

27.设J,B,A+8均为n阶正交矩阵，证明

(A+B)T=AT+B-'.

证：A,B,A+B均为〃阶正交阵，则9一,i,

(A+8)7=(A+B『,因此

(A+3)T=(A+B)T^AT+BT^A-'+B

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全国7月高等教育自学考试线性代数（经管类）

试题答案

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分,

共20分）

1.设3阶方阵A=(a1,a2,a3),其中ai(I=1,2,3)为z的列

向量，若\B\=|((z,+2a2,a2,a3)l=6f则|A|=(C)

IA1=1(%,H+2a2,。2，。3)1=6•

A.-12B.-6C.6D.12

30-20

2.计算行列式：:50(A)

-20一

-23-23

A.-isoB.-i2oC.120D.180

30-20

30-2

2105030

=3x2105=3x(—2)x=3x(—2)x30=—180•

00-20210

00-2

-23-23

3.若4为3阶方阵且*1=2,则12Al=(C)

A.1B.2C.4D.8

2

1、1

\A\=-9|2A|=23IA|=8x-=4.

22

4.设即％%都是3维向量，则必有(~~B~~)

A.线性无关B.线性相

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关

C.%可由％,%,%线性表示D.必不可由

5.若4为6阶方阵，齐次方程组力广0基础解系

中解向量的个数为2,则《)=(C)

A.2B.3C.4D.5

由6-r(A)=2,得r(A)=4.

6.设2、B为同阶方阵，且r(A)=r(8),则(C)

A.Z与8相似B.|A|=|B|c.Z与8等价

D.4与B合同

注：z与人有相同的等价标准形.一

7.设2为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0,则|A+2E|=

(D)

A.0B.2C.3D.24

A+2E的特征值分别为4,3,2，|A+2E|=4x3x2=24•|

8.若力、B相似，则下列说法•错•误的是(B)

A.4与*等价B.Z与9合同C.\A\=\B\D.A

与，有相同特征值

注：只有正交相似才是合同的.

9.若向量«=(1-2,1)写齐=(2,3,/)正交，则”(D)

A.-2B.0C.2D.4

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由内积2-6+/=0,得".I

10.设3阶实对称矩阵Z的特征值分别为2」,0,则

(B)

A.Z正定B.4半正定C.Z负定

D.4半负定

对应的规范型2z；+z；+()z”()，是半正定的._______

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共

20分)

11.设A=01，B=[1二],则45=________________________,

I4)I。T

(3-2V(65-31

\21-1、1

AB=J0A1"=[0…-1.0J_._____________________________________

12.设力为3阶方阵，且⑷=3，则

134-|=.

|3A-1|=33|A-1|=33•—=33'=9.

IA|3

13.三元方程Xj+x2+x3=1的通解是一

X：=1,通解是0+占1+%20•

巧=%3⑹[。JI1)

14.设a=(—1,2,2)9则与a反方向的单位向量是

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15.设2为5阶方阵，且r(A)=39则线性空间W={x\Ax=O}

的维数是

W={x|Ax=O}的维数等于Ar=O基础解系所含向量的个

第：-5-3=2.

16.

53

|5A-1|=53•—=-125.

\A\-2x(l/2)xl

17.若4B为5阶方阵，且加只有零解，且r(B)=3，

则r(AB)=.

Ar=O只有零解，因此A可逆，从而r(AB)="8)=3・

(2一10、

18.实对称矩阵—1。1所对应的二次型

[011J

+x；-2x)4-2XX•

/(%!,x2,x3)=x223

1]j-1、

19.设3元非齐次线性方程组心哥有解行29a2=2

、3,

且r(A)=29则Ar=Z?的通解是

-(al-a2)=是Ax=0的基础解系，4“的通解是

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3(1、

2+k0

、3,g

rn

20.设立2，则A=W的非零特征值是

①

由/a=(1,2,3)2=14,可得1=a(aTa)a7=14。/=14A9设A的非

零特征值是，,

则#=14；1,2=14•

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共

54分)

20001

02000

21.计算5阶行列式人00200

00020

10002

解：连续3次按第2行展开，

2001

201

020021

D=2x=4x020=8x=8x3=24•

002012

10

1002

(20o]p00W1-43

22.设矩阵了满足方程0-10X001=20-19求

<002J[。1Oj11-20

X.

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<200、00、-43、

解：记A=0-10B001c=20-19则AXB=C

00-20

1°2J0J7

1/20000、

]

A-009009

001/2J(°0J

00-4300、

1

X=A-lCB^10-2020-100

2

001-200

1-43W100、13-4A

-40200-420

22

1-20J00J110~2)

X]+x-3X一工4=1

求非齐次线性方程组23

23.3x,-x2-3X3+4X4=4的通解.

Xj+5X2-9X3-8x4=0

1-3-11、1-3-11、'11-3-11、

解:(A,b)=3-1-344->0-4671->0-4671

J5-9-8（）/<04—6-7-1、00000>

’44-12-44、(40-635、」0-3/23/45/4、

f0—4671f0—4671->01-3/2-7/4-1/4

0oj[000

0000?k00000

<5/4、‘3/2、，-3/4、

-1/43/27/4

,通解为+k]十七，仆人都是任

010

<°，<1，

意常数.

24.求向量组a,=(1,2,-1,4)，%=(9,100,10,4)，%=(-2,-4,2,-8)的秩

和一个极大无关组.

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19-2A(\9-2、19-2、

2100-4150-20410

解:(a1,a；,a；)二->

-1102-11020190

44-81一2,0—80>

19-2、10-2、

010010

->->向量组的秩为2,即见是一个

000000

000>000,

极大无关组.

2-12、

25.已知A=5a3的一个特征向量m)T，求a力及

-1b-2,

〈所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全

部特征向量.

解：设几是4所对应的特征值，则辐=芯,即

(2-12、(1(—1、3

5a311,从而a+2A，可得=—3,Z?=094=—1；

、一1b-2,

对于4=-1，解齐次方程组(2E-A)x=0Z

'7-21-2‘-31-2、101\101\

AE-A=-54+3-3-52-3->-52-3022

、102+27、10L、一31-270117

'101为=一/r-i}

基础解系为-1,属于6T的全部特

01IX2=~X39

11,

、000,x3=X3

(-1

征向量为k-1“为任意非零实数.

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-211-2、

26.设人=1-21a，试确定“使"A)=2.

、11-22,

，-211-2\(11-22Ap1-22、

解:A=1-21a-211-2-03-32

-22J[1-21

i11a,、0—33ci—2)

’11—221

303-32，。=0时r(A)=2・

、000%

四、证明题(本大题共1小题，6分)

27.若OC।,OC2,OC3是Ax—b(b#0)的线性无关解，证明

%-即是对应齐次线性方程组-=0的线性无关

解.

证：因为1%,%,由^^Ax=b的解，因此一%,%-%是Ax=0的

解；

kx(a2-a1)+k2(«z3-<2,)=0,BP(-^-k2)a\+k]a2+k2a3=0,四,%,由

线性无关，得Hi，只有零解&=%2=0，因此

k2=0

a2I线性无关.

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全国1月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

说明：本卷中，々表示方阵4的逆矩阵，下储）表

示矩阵4的秩，（“）表示向量“与〃的内积,

月表示单位矩阵，|4|表示方阵Z的行列式.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分,

共20分）

1.设行列式=4,则行列式

。31。32。33

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2ali2〃]22a[3_(、

a2\a22a23-()

3。313〃323〃33

A.12B.24

C.36D.48

2.设矩阵4B,C,1为同阶方阵，且4

B可逆，AXB^C,则矩阵乒()

A.AXCBXB.CAXBV

C.B/CD.由才

3.已知才+正后。，则矩阵不二()

A.A-EB.~ArE

C.A^ED.-A\E

4.设%,a2,。3,"4'是四维向量，则（)

A.%,%，03。4，。5一定线性无关&],a2，。3，。4，。5

定线性相关

C.%一定能够由4g©，%线性表示D.叫一定

能够由%gg,%线性表出

5.设Z是刀阶方阵，若对任意的Z7维向

量X均满足2尸。,则（）

A.A=OB.A=E

C.r(J)-nD.0<r(A)<(n)

6.设4为〃阶方阵，r(A)</7,下列关于

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齐次线性方程组Ax=O的叙述正确的是

()

儿4户0只有零解民2尸0的基础解系含

下储)个解向量

C.Ax=O的基础解系含kr(Z)个解向量

及2尸0没有解

7.设位2是非齐次线性方程组A"b的两

个不同的解，贝!|()

A.%+%是A"b的解B.…是A"b的解

C.37一2力是Ax=b的解D.25-3%是Ax=b的

解

「390~1

8.设4，乙，4为矩阵左…5的三个特征

002

值，贝！()

A.20B.24

C.28D.30

9.设尸为正交矩阵,向量”的内积为(a,Q

=

2,贝!j(Pa,PQ)=()

A.1B.1

2

aID.2

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10.二次型

X；+岩+君+2X|X+2X|x+2XX的秩为

f(x\,x2,③)=2323

()

A.1B.2

C.3D.4

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共

20分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、

不填均无分。

11.行列式7广=0,则

2k-\

k=.

12.设相［；；］,4为正整数，则

/=.

13.设2阶可逆矩阵A的逆矩阵4可；：］，则矩

阵£.

14.设向量4(6,-2,0,4),严(-3,1,5,

7),向量/满足2a+y=3j3,则

Y~_________________________•

15.设2是RX/7矩阵，A炉0,只有零解，则

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r(A)=.

16.设％,%是齐次线性方程组2尸。的两个解，

贝［|4(3%+7a2)=.

17.实数向量空间片{(豆,莅,禹)|豆-苞+斤0}

的维数是.

18.设方阵A有一个特征值为0,则

I*=.

19.设向量臼=(-1,1,-3),«2=(2,-1,A)

正交，则尸.

20.设fix’,莅，扁)二元:+4^2+2x；+2tx1x2+2XjX3是正定二

次型，则力满足.

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共

54分)

21.计算行列式“一7U-c2：

2c2cc-a-b

~ii_i

22.设矩阵2-.；5,对参数大讨论矩阵A

110-61

的秩.

I3i_i4

23.求解矩阵方程25I后52

0011-3

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24.求向量组:3j的

-3

一个极大线性无关组，并将其余向量经过该极大

线性无关组表示出来.

25.求齐次线性方程组1的一个基

Xj-212+3与+=0

础解系及其通解.

"232"

26.求矩阵is2的特征值和特征向量.

-2-14-3

四、证明题（本大题共1小题，6分）

27.设向量％,如，….，处线性无关，证

明：%+叼，a2,…，如线性无关.

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全国1月高等教育自学考试

线性代数（经管）试题参考答案

课程代码：04184

单项选择题

1、B2、A3、C4、B5、A6、C7^C8、B9、D10、A

二、sss

-21

13、3_2I

.2~2.

14^(-21,7,a+6+ca+b+c•a+b+c

17^212bb-a-c2b

2c2cc-a-b

三、11计算题

~{a+b+c)2bb-a—c2b

2c2cc-a-b

解:原行列

式

=(a+b+c)3

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22.：对矩阵实行初等变换,得

1221-12

A2-102+21

11010-5-1

121000

01+22-1000-1

09-3A000A-30

当兀=3时，A的秩为2

当时，A的秩为3

23.：由于04：E）实行10等

100-5-532

0-10-22-1-1

0010001

一）32

所以Z可逆，且4二2-1-1

001

故原矩阵方程变为:

24.：以所有向量为列向量形成4x4矩阵，然后对该矩阵施行初等行变换化为简化行

阶梯形矩阵

-123

2512

-1-61-7

-2-51-3

线性代数（经管类）试题答案第2页（共4页）

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123-f

01-54

0-44-8

0-17-5

0013-9

011-54

000-21

00000

10-50

-0130

f00-21

0000

所以其一个极大线性无关组为：6,恁，«4

且“3=W5<ZI+3(Z2-2q

25.解：利用行初等变换将该线性方程组的系数矩阵化为行简化的阶梯形矩阵

53

A=2-4

3

-1310

0-7-70-1

077000

所以原方程组等价于其中七,乙为自由未知量

令囿心心

得其一组基础解系为:

原方程组的通解为:

4=3+&&=4]+

0

线性代数（经管类）试题答案第3页（共4页）

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z-2-3-2|2-2-3-2

26.解：|/£-胃=—12-8一2=—1A—8-2

214A+3|02A-22-1

|2—21-21、

②+③x(—2)—12-4-2=(A-l)(A-3)2

1

100A-1

所以”的特征值为1,3（二重）

对2=1，解齐次线性方程组（E-/1）X=。

得再（天为自由未知量）

令》3=1,得属于1的全部特征向量为

，-2、

k0,e）为任意常数.

J>

对2=3,解齐次线性方程组（,3E-A）X=0

1.

玉=尹.

得，，］，其中不为自由未知量

XL/

令马=2,得4的属于特征值3的全部特征向量为

T、

I-1为任意常数.

J,

四、证明题（本大题共1小题，6分）

27.证明：设有一组数5