安徽省滁州市小学数学小学奥数系列8-2-1抽屉原理（一）

安徽省滁州市小学数学小学奥数系列8-2-1抽屉原理（一）

姓名：班级:成绩:

亲爱的同学，经过一段时间的学习，你们一定学到不少知识，今天就让我们大显身手吧！

一、（共34题；共175分）

1.（5分）一个正方体有六个面，给每个面都涂上红色或白色，至少有三个面是同一颜色。为什么？

2.（5分）有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？

3.（5分）从1到20这20个数中，任取11个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数.

4.（5分）在一个矩形内任意放五点，其中任意三点不在一条直线上。证明：在以这五点为顶点的三角形中，

至少有一个的面积小于矩形面积的四分之一。

5.（5分）两个布袋各有12个大小一样的小球，且都是红、白、蓝各4个。从第一袋中拿出尽可能少的球，

但至少有两种颜色一样的放入第二袋中；再从第二袋中拿出尽可能少的球放入第一袋中，使第一袋中每种颜色的球

不少于3个。这时，两袋中各有多少个球？

6.（5分）一个盒子中有红、黄、蓝三种颜色的球各20个.最少要拿几个球，就能保证有两对同色的球？最

少要拿出几个球，就能保证有3对同色的球？解答了前两个问题，你发现有什么规律吗？你能根据规律迅速地写出

要保证有4对同色的球，最少要拿出多少个球吗？（所谓“同色的球”指的是每对中的两个球同色，不是指所有取

出的球同色）

7.（5分）某校六年级有367名学生，有没有两名学生的生日是同一天？为什么？

8.（5分）在1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34中任选出7个不同的数，其中必有两个数的

和为35.

9.（5分）六（1）班有49名学生，数学高老师了解到期中考试该班英语成绩除3人外，均在86分以上后就说:

“我可以断定，本班至少有4人成绩相同”。王老师说的对吗?为什么？

10.（5分）给下面每个格子涂上黑色或红色.观察每一列，你有什么发现？

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ttfllJ无论怎么涂,至少有

j两列的徐法相同.

能说出其中的道理吗？

11.（5分）你能说说原因吗？

我用10分钟做那你在某一分钟内

定了11道数学题。至少做了2道题。

12.（5分）从整数1、2、3、…、199、200中任选101个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数，其

中的一个是另一个的倍数.

13.（5分）在1m长的线段上任意点7个点，不管怎样点，至少有两点之间的距离小于17cm.在纸上画一画，

并和同桌同学说一说.

14.（5分）任意10个正整数，每一个都用9来除，其中必有两个余数相同.请说明你的理由.

15.（5分）8位小朋友围着一张圆桌坐下，在每位小朋友面前都放着一张纸条，上面分别写着这8位小朋友

的名字.开始时，每位小朋友发现自己面前所对的纸条上写的都不是自己的名字，请证明：经过适当转动圆桌，一

定能使至少两位小朋友恰好对准自己的名字.

16.（5分）如图，在时钟的表盘上任意作9个120°的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖4个数，且每

两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到3个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数.并举一个反例说明，作

8个扇形将不能保证上述结论成立.

7

65.

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17.（10分）9条直线的每一条都把一个正方形分成两个梯形，而且它们的面积之比为2：3。证明：这9条

直线中至少有3条通过同一个点。

18.（5分）任意给出5个不同的自然数，其中至少有两个数的差是4的倍数.你能说出其中的道理吗？

19.（5分）在边长为3米的正方形中，任意放入28个点，求证：必定有四个点，以它们为顶点的四边形的

面积不超过1平方米.

20.（5分）某次会议有25人参加，每人至少认识一个人.在这25人中至少有两人认识的人数相同.你知道

为什么吗？

21.（5分）在20米长的水泥阳台上放12盆花，随便怎样摆放，请你说明至少有两盆花它们之间的距离

小于2米.

22.（5分）有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同.现在请你挑选若干个小孩，排成

一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100,那么你最多能挑选出多少个孩子？

23.（5分）任意4个整数中，必存在两个数，它们被3整除的余数相同.你能说出其中的道理吗？

24.（5分）张老师说北京市的所有人中一定有两个人头发根数一样多.你觉得张老师说的话有道理吗？为什

么？（人的头发约有十万根）

25.（5分）有一批四种颜色的小旗，任意取出三面排成一行，表示各种信号，试说明在200个信号中至少有

四个信号完全相同。

26.（5分）如图，分别标有数字L2,…8的滚珠两组，放在内外两个圆环上，开始时相对的滚珠所标的

数字都不相同.当两个圆环按不同方向转动时，必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对.

27.（5分）从1,3,5,7,97,99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一

个数的倍数？

28.（5分）一些孩子在沙滩上玩耍，他们把石子堆成许多堆，其中有一个孩子发现从石子堆中任意选出六堆,

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其中至少有两堆石子数之差是5的倍数，你能说一说他的结论对吗？为什么？

29.（5分）把4支铅笔放进3个文具盒里，不管怎么放总有一个文具盒里至少放进2支铅笔，为什么？

30.（5分）在长为100m的笔直马路一侧站了12人，不管他们怎样站，至少有两人的距离小于10m.这是为

什么呢？

31.（5分）学生到图书馆借书，最多可以借5本，最少可借1本.至少有几个同学去借书，就会有两个同学

借书的本数一样多？如果有11名同学去借书，至少有几名同学借书的本数一样多？至少有几名同学去借书，就会

有4个同学借书的本数一样多？

32.（5分）小明参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是36环，小明至少有一镖不低于8环，对吗？为什么？

33.（5分）一个袋子中装有红、黄、蓝、绿四种颜色的小球若干，如果每次取3个，最后剩1个；如果每次

取5个或7个，最后剩2个.这个袋中至少有多少个小球？一次至少取几个小球可以保证有两个是同色的？

34.（5分）在边长为3的正三角形内，任意放入10个点，求证：必有两个点的距离不大于1.

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参考答案

一、供34题；共175分)

解：6+2=3(个)

11、答：因为只有两种88色,如SK略泳三个面，那么至少育三个面是同

2-1、

解:需先跟学生介绍奇偈性：奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；偶数+偶数=偶数.

先用列表法进行搭配，由于题目只要求判断两堆水果的个数关系,因此可以从水果个数的奇.偶性上来考虑抽展的设计.对于

每堆水果中的苹果、精子的个数分别都有奇数与偶数两种可能,所以却a水果中苹果、怙子个数的搭配就有4种情形：(奇，

奇),(奇，偶)，(国，奇)，(偶，鸟),其中括号中的第一2衰示革果数的奇偶性,第二个字表示桔子数的奇偶性.

将这4种情形看成4个抽甩，现有5堆水果，根据抽屉原理可知，这5堆水果里至少有2堆属于上述4种情形的同一种情

形.由于奇数加S数为缶数,国数加偶数仍为偶数,所以在同一乐居中的两堆水果，其革果的忌数与桔子的总数都是偶数.

3T、

解:把这20W分成以下1姆,看成10个抽痕:(1,2,4,8,16),(3,6,12),(5,10,20),(7,14),(9,

18),(11),(13),(15),(17),(19),前5个否中，ffiB两询都有倍中酶11例，

妗有一个抽应中要取2个数，它们只能从前54抽屉中取出，这两个数新满足翅目要求.

4-1、

解：如图，将长方形按中线分为两部分，则由抽屉原理知必然有3个点在同一个区域，那么由这3个点所构成的三角形的面积必

然小于该区域的一半,即长方形面的四分之一.

5-1、

解：籁一次取完后，只需知道凝一袋中有某种颜色的球不足3个即可(取了多少个球，怎样取的都可以不考否).第二次取后，

要保证第一袋中每种颜色的球不少于3个，最不利的情况是两种颜色的球各有8个，另一种颜色的球育3个.所以，第一袋中育球

8+8+3=19(个)，第二袋中有球4x3*2-19=5(个).

6-1、

解：最少要拿6个球，就能保证有两对同色的球；最少要拿出8个球，就能保证有3对同色的球;我发现：保证逐出同色的球每增

加一对，最少摸出的球的个数依次增加2个.8+2=10,所以，要保证摸出4对同色的球，最少要拿出球.

7-1

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事：把一年中的天数看成是抽屉，把学生人数看成是元素.把367个元素放到366个抽屉中，至少有Ttt屉中有2个元素，即

至少有两名学生的生日是同一天.

8-1

除：题中附12M.&S12-MW3,地6对和为35的数:1+34=35,4+31=35,7+28=35,10+25=35,13+22=35,

16+19=35;从中任取7个数，必稗两个数的和为35.

9-1、修：王得对，因共鸿1竭期15个阴,(49-3)^15=3...1,3+l=4(A),所以本有4AJ«S«同.

10-1、

n-K•5：平均每分钟完成is,105泄只能完成iOS,如果要完成ug,那至少有1分钟要《w

12-1、

解：把这200个数分类如下：

(1)1，1*2»1x2^,lx2?，…，lx2；*

⑵3,3x2,3x22，3x2，•-•3*26,

⑶5,5x2，5x＞，5xR，-，5x2、•

(50)99,99x2•

(51)101,

(52)103,

(100)199,

以上共分为100类，即100个抽屉,显然在同T中的数若不少于两个，那么这类中的任意两个数都有倍数关系.从中任取101个

数,根据抽总原理，f至少有两个数取自同一类,因此其中一个数是另的倍数.

13-1、解：把这7个点平均点在坡段上,则每两个点间的距离约是16.7cm,都小于17cm.

14-1

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解：被9*的数，余数只能是0,1,2,3,4,5,6,7,8,蟠个数,如果要余数不相同，那么只能有9个数,那么第10^

88S的余数无论是几，都会和前面的昊一个相同.

15-1、

映:沿顺时针方向特动国点,每次转动一格，使每位小朋友恰好对准直面上的字条，经过8次转动后,直面又回到原来的位置.

在这个转动的过程中,每位小朋友恰好对准桌面上写有自己名字的字条一次，我们把每位小朋友与自己名字相对的情况看

作.革果-,共有8只.苹果”,另一方面，由于开始时每个小朋友都不与自己名字相对,所以小朋友与目己名字相对的情况只

发生在7次转动中，这样7次转动（即7个"油屉"）将产生8（立小朋友对准自己名字的情况,由抽卮原理可知，至少在某一次转

动后,有两个或两个以上的小朋友对决自己的名字.

16-1、

好:在表盘上拱可作出12个不同的扇形,且1~12中的每个数恰好被4个扇形整盖.将这12个扇形分为4组,使好每一组的3个扇

形恰好盖住整个表盘.赅,根据抽危原理,从中选择9个扇形，必存图+1=3个扇形属于同一组,那么这一®的3个扇形可

以覆盖整个表盘.另一方面，作8个扇形相当于从全部的12个扇形中去掉4个，则可以去掉盖住间一NK8M个扇形,这样这个

数就没有被剩下的8个扇形盖住,月附点附扇形不个表盘.

17-1

解:设正方形为.1BCD，E、F分别是AB-CD的中点•设直线MN把正方形.£5。分成两个长方形.JAl/N和

CDNM•并且与EF相交于P（如图），

长方形ABMN的面积长方形CDNM的面积=2:3,如果把电线MN绕P点旋转f角度后,原来的两个长方形蛔5

成两个梯形，根据的补法两个梯形的面积比也为2:3,所以只要直送MN绕P点旋转.得到的两个梯形的面枳比为2:3，

所以将长方形分成2:3的两个梯形必定经过P点,同样根据对称经过Q点的直线也是满足条件的直线，同理我们还可以找到

把长方形分成上下两个梯形的两个点这样，在正方形内就有4个固定的点,凡是把正方形面积分成两个面积为2:3的悌形的直

线，一定通过这4点中的某一个.我们把这4个点看作4个抽卮,9条直线看作9个苹果，由施尼原理可知，9=4x2+1，所

以，必稗fWS内至少放有3个章果，也就是,必有三条直线要通过f点.

18-1、

解：任意自除以4的余数有0、1、2、3四种情况，现在有5个自然数,至少有两个自然数除以4的余数相同，这两个自然数

的基就是4的.

19-1

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解：将大正方形分成9个边长为13峭卜正方形，则外小正方形为"抽卮-，有：28-9=3…11则必有一个小正方形里

(上)至少有3+1=4(个)点，着这四个点恰好落在这个小正方形的四个顶点，另口以这侪点为顶点的四边形的面积为1平

方米；若有一个点落在正方形的内部或边上,则面积将小于1平方米.综上所述，不论怎么放，必定有四个点，以它们为顶点的

四边形的面积不超过1平方米.

20-1、

解：参加会议的人，认识的人数可以是：1人、2人、3A....24A,共有24种情况.现在有25人,所以至少有2个人认识的

人数相同.

21-1、

IK：S1盆花放在点上,第2盆花放在距第1盆花恰为2米处(这是两盆花之间最近的距商了,再近就说明裳目已经正

确了——两盆花之问距解J'于2米).第3盆花放在距离第2盆花的距离2米处，这样每隔2米放I盆花，直到阳台的另一

个尽头，恰好放第11盆花.至此，阳台上的11盆正中任意两盆花之间的距离都按你的设想不小于2米放好了.现在考强最后

1盆花,它只能放在已放好的11盆花所留出的io个空档内了，这已说明必有两盆花之间的距两小于2米.曼目的结论是正确

的.

22-1、

解:将1至49中相乘J、于100的两个数,按被旃分成9姐，如下：

(1*2).(1x3).(1«4)....、(1x49)；

(2x3).(2«4).(2/5)、…、(2x49)；

(8«9).(8x10)、(8x11)、(8x12);

(9x10)、(9x11).

因为每个数只能与左右两不数相乘,也就是每个数作为被乘数或购®最多两次，所以每一姐中最多会有两对数出现在圆圈中,

最多可以取出18个数对，共18x2=36次，但是每个数都出现两次，故出现了18个数.

例如：(10x9).(9*11)、(卜8)、(8x12)、(12«7).(7x13),(13x6).(6*14).(14x5).

(5x15).(15«4),(4x16)、(16X3)、(3*17)、(17-2).(2«18),(18*1)、(1，10).共出现I~18

号,共18个孩子.

者18息选取出12藻子，月隐共有12号码,由于每个号码数要与旁边两数分别相乘,则会形成12相乘的数对.

月弦在9组中取出19个数时,有19=9x2+1,由抽屉原则知，必有三个数对落入同一组中，这样某个数字会在数对中出现三次

(或三次以上),由分析知,这是不允许的.故最多挑出12孩子.

23-1、

解：所得的例只有3种情况：0、皿.这相当于3个抽屉,现在用4个数分别除以3,其中肯定有2个的余数相

同.

24-1

第8页共10页

解:1集市的人口数肯定远远多于十万人，人的头发有十万根左右,根据抽扈原理，：!闲书的所有人中至少有两个人的头发根

数一样多，张老师的话是有道理的.

解：四种颜色三面排成一行：4x4x4=64(种)

200+64=3......8,3+1=4(个)

25-1、答：至少有吐信号完全相同.

26-1、

格：内外两个国环对转可以看成一个静止，只有一个环转动，一个环转动一周后，每个滚珠都会有一次与标有相同数字的滚珠

相对的局面出现，月％这种局面共要出现8次将这8次局面看成8个苹果，注息到一环每转动45角就有一次漆珠相对的局面

出现,特动一阂共有8次漆珠相对的局面，而最初相对漆珠所标数字都不相同.所以相对的滚珠所标的数字相同的情况只出现

在以后的7次转动中,将7次转动看做7个抽屉,根据油屉原理至少有2次数字相对的局面出现在同一次转动中即必有臬一时

刻，内外两环中至少有醐舞存相同的潦珠相对.

27-1、

解：方法一：因为均是奇数,所以如果存在信数关系,那么也一定是3.5.7等奇数倍.3*33:99,于是从35开始，1~99的奇

数中没有一个是35~99的奇数倍(不包括1倍)，所以选出35,37,39，…，99这些奇数即可.共可选出33个数，使得选出的

数中,每一个数都不是另一个数的倍数.

方法二:利用3的若干次募与质数的乘积对这504^奇数分组.(1,3,9,27,81),(5,15,45),(7,21,63),

(11,33),(13.39),(17,51),(19,57),(23,69).(25,乃)，(29,87),(31,93),(35),

(37),(41),(43)，…，(97)共33组.前强，每组内两僮所以每组内最多只

数,即最多可以选出33个数,使得选出的数中，每一个数都不是另一语的倍数.

28-1、

解:把六堆石子数看成是任意六个自然数,它们被5除，其余数有0,1,2,3,4五种可能.如果把每一种余数看成是T"抽

屉-，那么余数相同的两数就在同一"抽屉”里.根娟抽屉原理,六个自然数根5除后必有两个余数是相同的，显然这两个数之

差是5的倍数.因此结论是正确的.

29-1