春八年级数学下册第9章中心对称图形-平行四边形9.4矩形菱形正方形第1课时矩形及其性质练习（新版）苏科版

课时作业(十六)第1课时矩形及其性质]一、选择题1．如图K－16－1，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝10，则OD的长为()A.eq\f(5,2)B．5C．8D．10图K－16－1图K－16－22．如图K－16－2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝5，CD＝6，则BC的长是()A．6B．7C．8D．93．如图K－16－3所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的度数为eq\a\vs4\al(链接听课例2归纳总结)()A．30°B．60°C．90°D．120°图K－16－3图K－16－44．2017·衢州如图K－16－4，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于()A.eq\f(3,5)B.eq\f(5,3)C.eq\f(7,3)D.eq\f(5,4)图K－16－55．如图K－16－5，P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是()A．4.8B．5C．6D．二、填空题6．2017·辽阳如图K－16－6，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE.若BC＝7，AE＝4，则CE＝________．图K－16－6图K－16－77．如图K－16－7，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE.如果∠ADB＝30°，则∠E＝________°.8．如图K－16－8，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5.以点B为圆心，BC长为半径作圆弧，与边AD交于点E，则DE的长为________．图K－16－8图K－16－99．2017·徐州如图K－16－9，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点Q在对角线AC上，且AQ＝AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP的长为________．三、解答题10．已知：如图K－16－10，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF.求证：BF＝CD.eq\a\vs4\al(链接听课例2归纳总结)图K－16－1011．如图K－16－11，在矩形ABCD中，过点B作BE∥AC交DA的延长线于点E，求证：BE＝BD.eq\a\vs4\al(链接听课例2归纳总结)图K－16－1112．2018·连云港如图K－16－12，在矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF.(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．图K－16－12动点探究题如图K－16－13，E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝BC，AB＝3，BC＝4，P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R.(1)如图(a)，当P为线段EC的中点时，易得PR＋PQ＝________(不需证明)．(2)如图(b)，当P为线段EC上的任意一点(不与点E，C重合)时，其他条件不变，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．(3)如图(c)，当P为线段EC延长线上的任意一点时，其他条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．图K－16－13

详解详析课时作业(十六)第1课时矩形及其性质]【课时作业】[课堂达标]1．[解析]B∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝10，∴BD＝AC＝10，则OD＝OB＝5.故选B.2．[解析]C∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝OA，AB＝CD＝6.又∵OA＝5，∴AC＝2OA＝10.根据勾股定理可得：BC＝eq\r(AC2－AB2)＝8.故选C.3．[答案]B4．[解析]B由折叠的性质可得∠BCA＝∠ECA.又∵AD∥BC，∴∠FAC＝∠BCA，∴∠FAC＝∠ECA，∴AF＝CF.设DF＝x，则CF＝AF＝6－x，在Rt△CDF中，由勾股定理，得x2＋42＝(6－x)2，解得x＝eq\f(5,3).5．[解析]A如图，连接OP，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F.∵矩形的两条边AB，BC的长分别为6和8，∴S矩形ABCD＝AB·BC＝48.∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝eq\r(AB2＋BC2)＝10，∴OA＝OD＝5.∵S△ACD＝eq\f(1,2)S矩形ABCD＝24，∴S△AOD＝eq\f(1,2)S△ACD＝12.∵S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝eq\f(1,2)OA·PE＋eq\f(1,2)OD·PF＝eq\f(1,2)×5×PE＋eq\f(1,2)×5×PF＝eq\f(5,2)(PE＋PF)＝12，∴PE＋PF＝4.8.6．[答案]5[解析]∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC＝7，∠D＝90°，∴∠AEB＝∠EBC.∵∠ABE＝∠EBC，∴∠AEB＝∠ABE，∴AB＝AE＝CD＝4.∵AD＝7，AE＝4，∴DE＝AD－AE＝7－4＝3.在Rt△EDC中，CE＝eq\r(CD2＋DE2)＝eq\r(42＋32)＝5.故答案为5.7．[答案]158．[答案]1[解析]连接BE，如图所示．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°.∵AB＝3，BE＝BC＝5，∴AE＝eq\r(BE2－AB2)＝4，∴DE＝AD－AE＝BC－AE＝1.9．[答案]eq\r(17)[解析]∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，∠ADC＝90°，AD∥BC.在Rt△ACD中，AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝eq\r(32＋42)＝5.∵AQ＝AD，AD＝3，∴AQ＝3，∴CQ＝AC－AQ＝2.∵AD∥BC，∴∠ADQ＝∠QPC.∵AQ＝AD，∴∠ADQ＝∠AQD.∵∠PQC＝∠AQD，∴∠PQC＝∠QPC，∴PC＝CQ＝2，∴BP＝BC－PC＝3－2＝1.在Rt△ABP中，AP＝eq\r(AB2＋BP2)＝eq\r(42＋12)＝eq\r(17).10．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠EFB＋∠BEF＝90°.∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°，∴∠EFB＋∠CFD＝90°.∴∠BEF＝∠CFD.在△BEF和△CFD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BEF＝∠CFD，,BE＝CF，,∠B＝∠C，))∴△BEF≌△CFD(ASA)，∴BF＝CD.11．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AD∥BC.又∵BE∥AC，∴四边形AEBC是平行四边形，∴BE＝AC，∴BE＝BD.12．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE.∵E是AD的中点，∴AE＝DE.又∵∠FEA＝∠CED，∴△FAE≌△CDE，∴CD＝AF.又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形．(2)BC＝2CD.理由：∵CF平分∠BCD，∴∠DCE＝45°.∵∠CDE＝90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE.∵E是AD的中点，∴AD＝2DE＝2CD.∵AD＝BC，∴BC＝2CD.[素养提升]解：(1)eq\f(12,5)(2)PR＋PQ＝eq\f(12,5)仍然成立．证明：如图①，连接BP，过点C作CK⊥BD于点K.因为四边形ABCD为矩形，所以∠BCD＝90°.又因为CD＝AB＝3，BC＝4，所以BD＝eq\r(CD2＋BC2)＝eq\r(32＋42)＝5.因为S△BCD＝eq\f(1,2)BC·CD＝eq\f(1,2)BD·CK，所以3×4＝5CK，所以CK＝eq\f(12,5).因为S△BCE＝eq\f(1,2)BE·CK，S△BEP＝eq\f(1,2)PR·BE，S△BCP＝eq\f(1,2)PQ·BC，且S△BCE＝S△BEP＋S△BCP，所以eq\f(1,2)BE·CK＝eq\f(1,2)PR·BE＋eq\f(1,2)PQ·BC.又因为BE＝BC，所以eq\f(1,2)CK＝eq\f(1,2)PR＋eq\f(1,2)PQ，所以CK