数学选修2-3排列与组合练习题含答案

数学选修2-3排列与组合练习题含答案

学校：班级：姓名：考号：

1.九（71—1）（九一2）•…・4等于（）

A.P?B.m-4!C.瑞一4D.成一3

2.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不

同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有（）种.

A.150B.300C.600D.900

3.Al=（）

A.30B.24C.20D.15

4.9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品来检

查，至少有两件一等品的抽取方法是（）

?2234

B.C[+C：+C：

45444

c.c[2+cf2223140

45454545

5.设n为正偶数，组需辞»=手则n的值为（）

A.6B.8C.10D.12

6.已知n,mGN*,n>m,下面哪一个等式是恒成立的（

A•管号n!

B.(T=(n-m)!

「Cm4-6m.l_^m-1

T—Ln+iD.C7+C7T=C酣

7.(7+n)(8+n)...(12+n)=()(其中nCN*)

A.4$2+nB.用2+nC.4，+nD.Ay+n

8.在高三G）班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如

果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为

（）

A.24B.36C.48D.60

9.现有6本不同的教科书，语文、数学、英语各2本，需将它们在书架上摆成一排（不

叠放），其中语文书必须摆在两端，且两本数学书相邻，则不同摆法的种数为（）

A.12B.18C.24D.36

10.现有8名青年，其中5名能任英语翻译工作，4名能胜任电脑软件设计工作，且每人

至少能胜这两项工作中的一项，现从中选5人，承担一项任务，其中3人从事英语翻译

工作，2人从事软件设计工作，则不同的选派方法有（）

A.60种B.54种C.30种D.42种

11.若3As=2nC„,贝Un=__.

12.若优=xC阳1,则x=

13.计算：54

A6Tls

nTiTi

14.n,k&N且n>k,若C,:C,:C.=1:2:3,则n+k=

K—1LKK+k

15.计算以+量的值为.

16.若=C?-3,贝.

17.以正方体的顶点为顶点所构成的四棱锥和四面体的个数之差的绝对值是

18.某县城中学安排5位教师（含甲）去3所不同的村小（含4小学）支教，每位教师只

能支教一所村小学，且每所村小学都有老师支教.甲不去4小学，则不同的安排方法数

为.

19.从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成

个没有重复数字的四位数（用数字作答）

20.利用杨辉三角解不等式源>品，不等式的解集为.

21"展=-

试卷第2页，总26页

22.用2、3、4、5、6这5个数作为基本元素，构造以下两类基本问题：

(1)从上面两个数中，每次取出2个不同数字的组合问题；

(2)从上面两个数中，每次取出2个不同数字的排列问题.

23.(1)计算2津%23.

(2)求证：A=mAm~+Am.

n+1nn

24.从5名男同学与4名女同学中选3名男同学与2名女同学，分别担任语文、数学、英

语、物理、化学科代表.

(1)共有多少种不同的选派方法？

(2)若女生甲必须担任语文科代表，共有多少种不同的选派方法？

(3)若男生乙不能担任英语科代表，共有多少种不同的选派方法？

25.六人排队.

(1)若六人排成一排，甲乙两人必须紧靠站在丙的两旁的不同排法有多少种？(结果用

数学作答)

(2)若六人排成一排，甲乙丙三人顺序一定的不同排法有多少种？(结果用数学作答)

(3)若六人排成二排，且甲不站第一排，乙不站第二排的不同排法有多少种？(结果用

数学作答)

26.

(1)已知l-gi(其中i为虚数单位)是关于式的方程：+：=1的一个根，求实数a,b

的值；

(2)从0,2,4,6中任取2个数字，从1,3,5,7中任取1个数字，一共可以组成多少

个没有重复数字的三位数？

27.某中学校本课程共开设了A,B,C,。共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门

选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生.

(1)求这3名学生选修课所有选法的总数；

(2)求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；

(3)求4选修课被这3名学生选择的人数X的分布列及数学期望.

28.2019年12月以来，湖北省武汉市部分医院陆续发现了多例有华南海鲜市场暴露史

的不明原因肺炎病例，现已证实为2019新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染

病.2020年3月3日，某研究机构首次分析了女性在新型冠状病毒传播中可能存在的特

殊性.现将密切接触者90名男士和30名女士进行筛查，得到的无症状者与轻症者情况

如下表：

无症状轻症状

男士5040

女士1020

(1)能否有90%的把握认为性别对症状差别有影响？

(2)先从轻症状接触者中按分层抽样抽取了6个人进行传播差异性研究，求抽取两个人

中恰有一男一女的概率.

附.K2=n(ad-bc)2.

(a+d)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.100.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

29.求和：Cn-m+^n-m+1+…+C铲(九>TTl)

30.已知C哥=以，求C/+3的值.

31.求值党-n+c*f.

32.已知然=nA^,求n.

试卷第4页，总26页

kCnk

33.设P(n,m)=XNi(-l)Q(n,m)=C]}+m,其中m,n€N*.

(1)当m=l时，求P(n,1),Q(n,1)的值；

(2)对Vx€N+,证明：P(n,m)•Q(n,m)恒为定值.

34.男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情

形中各有多少种选派方法？

至少有2名女运动员；

队长中至少有1人参加；

既要有队长，又要有女运动员.

35.4名学生与3位老师站成一排照相，分别求满足下列要求的站法种数：

(1)3位老师站在一起；

(2)3位老师站在一起且两边各有2名学生；

(3)3位老师互不相邻.

36.用0,1,2,3,4,5这六个数字，完成下面三个小题：

(1)若数字允许重复，可以组成多少个不同的五位偶数？

(2)若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位

数？

(3)若直线方程ax+by=0中的a,b可以从已知的六个数字中任取两个不同的数字,

则直线方程表示的不同直线共有多少条？

37.某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2,3张为不同花色的4,有5次出牌

机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？

38.⑴求证：。'"=吧(；血+，；38.

nn+in+1

(2)求和:C1+22C2+32C3+...+k2Ck+...+n2Cn.

nnnn九

39.(1)计算：废+田+盘+…+C『o39.

(2)证明：4+^n-1=4+1-

40.(1)六名同学做一个游戏，买了六张卡片，各自在其中一张上写祝福，然后放在

一起，每人随机拿一张，恰有两人拿回自己写祝福的那张卡片，则不同的拿法有多少

种？40.

(2)3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只

有两位女生相邻，则不同的排法总数为？

试卷第6页，总26页

参考答案与试题解析

数学选修2-3排列与组合练习题含答案

一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）

1.

【答案】

D

【考点】

排列及排列数公式

【解析】

由题意，no-1）5-2）•…・4可化为43-2T,故可得答案

【解答】

解：由题意，71（71—1）5-2）・...・4=也匕我口上也=以-3,

3-2,1

故选D.

2.

【答案】

C

【考点】

排列及排列数公式

【解析】

先从8名教师中选出4名，因为甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，所以可按选

甲和不选甲分成两类，两类方法数相加，再把四名老师分配去4个边远地区支教，四名

教师进行全排列即可，最后，两步方法数相乘.

【解答】

解：分两步，

第一步，先选四名老师，又分两类

第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，有鬣=10种不同选法

第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有服=15种不同选法

不同的选法有10+15=25种

第二步，四名老师去4个边远地区支教，有用=24

最后，两步方法数相乘，得，25x24=600

故选C.

3.

【答案】

A

【考点】

排列及排列数公式

【解析】

直接利用排列公式求解即可.

【解答】

解：A看=6X5=30.

故选4

4.

【答案】

D

【考点】

组合及组合数公式

【解析】

利用分类计数原理，一共有4件一等品，至少两件一等品分为2件，3件，4件，然后再

按其它要求抽取.

【解答】

解：一共有4件一等品，至少两件一等品分为2件，3件，4件，

第一类，一等品2件，从4件任取2件，再从3件二等品或2件三等品共5件产品中任取2

件，有盘•《，

第二类，一等品3件，从4件任取3,再从3件二等品或2件三等品共5件产品中任取1,

有C”程，

第二类，一等品4件，从4件中全取，有以・以，

根据分类计数原理得，至少有两件一等品的抽取方法是+c^・c]+c?・c3

454545

故选：D.

5.

【答案】

B

【考点】

组合及组合数公式

【解析】

由生需笔¥=芋可得离二=亮化简利用整除的性质即可得出.

【解答】

繇..以+<?>■+...+或_32.)x2：_32

野：-cr2+c？-1-…密二—$，

化为：2吁5=磅罗，n或n+1必然被9整除.

n为正偶数，=n=8.

故选:B.

6.

【答案】

B

【考点】

组合及组合数公式

排列及排列数公式

【解析】

利用学过的排列组合数公式判断即可轻松得出结果.

【解答】

解：由组合数的性质盘+CL1=墨"知，

pm।「771-1一pm

十—cn+1,

所以C和。选项错误；

由组合数公式知=君而，

所以4选项错误；

试卷第8页，总26页

由排列数公式知=而3而，所以B选项正确.

故选8.

7.

【答案】

A

【考点】

排列及排列数公式

【解析】

直接根据排列数公式得出结果即可.

【解答】

解：(7+n)(8+n)...(12+n)中因式项数共6项，且逐项的值增加1,最大项为12+n,

根据排列数计算公式，可知(7+n)(8+n)...(12+n)=A12+n故选4

8.

【答案】

D

【考点】

排列、组合及简单计数问题

【解析】

【解答】

解：先排3位女生，3位女生之间有4个空，从4个空中选2个空排男生，共有属a=72

种.若女生甲排在第一个，则3位女生之间有3个空，从3个空中选出2个空排男生，有

掰膨=12种.故满足条件的出场顺序的排法有72-12=60种.

故选D.

9.

【答案】

C

【考点】

排列、组合及简单计数问题

【解析】

利用分布计数原理，第一步先排英语，第二步排数学，第三步排语文，问题得以解决

【解答】

解：分三步，第一步先排英语，第二步，排完英语后形成了3个间隔，任选2个间隔插

入数学，第三步在两端插入语文，根据分步计数原理得心•朗・尚=24种.

故选：C.

10.

【答案】

D

【考点】

排列、组合及简单计数问题

【解析】

根据题意，设能胜任两种工作的那个人为4,进而分3类讨论：不选派44被选为英语

翻译工作；A被选为电脑软件设计工作；分别求出其情况数目，由分类计数原理，计算

可得答案.

【解答】

解：设能胜任两种工作的那个人为4

记为a不选派A的方法数盘底=12；

4被选为英语翻译工作的方法数册量=18；

4被选为电脑软件设计工作的方法数盘废=12,

故不同的选法种数为42,

故选。.

二、填空题(本题共计10小题，每题3分，共计30分)

11.

【答案】

3

【考点】

组合及组合数公式

排列及排列数公式

【解析】

用排列数和组合数的定义把已知等式化为乘积形式，然后可解方程.

【解答】

解：因为3国=2n鬣，n>3,

所以3noi-l)(n-2)=2nx

化简得3(M—2)=n,解得n=3.

故答案为：3.

12.

【答案】

n

m

【考点】

排列及排列数公式

【解析】

根据题目所给的带有组合数的等式，进行变形整理，两边约分，去掉相同的项，得到

结果，本题考查的是组合数个数的应用.

【解答】

解：：c铲=以港V，

.型一姐

"礁砥才

.n(n-l)(n-2)...(n-m+l)_(n-l)(n-2)...(n-m+l)

m!(m-1)!

・X—巴

m

故答案为：—.

m

13.

【答案】

48

25

【考点】

排列及排列数公式

【解析】

试卷第10页，总26页

利用排列数公式逐个计算即可.

【解答】

缶丑..4!+A：_4X3X2X1+4X3X2X1_48

解：'赤1=6^5=25,

故答案为：,

14.

【答案】

3

【考点】

组合及组合数公式

【解析】

利用组合数的计算公式可得鼠-】=就告，晨=版念『禺+『&治，利用

C/c-l：Cfc：Cfc+l=1:2:3,化简整理即可得出.

【解答】

曲在.••rn_（-T）!Cn—2Cn—（“+1）'

L,

叶.'fc-1-n!5—川（k_ny，U+l-n!（fc+1_n）!

又Ck-l：Ck：Ck+l=1:2:3，

•1.k.(k+1)",i.o.o

1'k-n°(k+l-n)(k-n)''，

化为k=2n=3n—1,

解得n=1,k=2.

n+k=3.

故答案为：3.

15.

【答案】

35

【考点】

组合及组合数公式

【解析】

直接展开组合数公式计算.

【解答】

解：底+盘=焉+急=6x5x4+*35.

3X2

故答案为35.

16.

【答案】

3或5

【考点】

组合及组合数公式

【解析】

由已知条件得r=2r-3或r+2r-3=12,由此能求出结果.

【解答】

解：••・C；2=CgT,

r=2r-3或r+2r—3=12,

解得r=3.或r=5.

故答案为：3或5.

17.

【答案】

10

【考点】

排列、组合及简单计数问题

【解析】

要构成四棱锥，须有4个点共面，共6+6=12种情况，每一种情况都可构成4个四棱

锥；要构成四面体，可先从正方体的八个顶点中任取4个，共有4=70,去掉构不成

四面体的6+6=12,可得共58种，作差即可.

【解答】

解：要构成四棱锥，须有4个点共面，这4个点可以在正方体的表面的4个顶点，也可以

是对角面的4个顶点，共6+6=12种情况，每一种情况都可构成4个四棱锥，

故一共可构成48个四棱锥，

要构成四面体，可先从正方体的八个顶点中任取4个，共有或=70,

其中有4点共面（构不成四面体）的取法有6+6=12,（6个表面，6个对角面），

故构成四面体的总数为：70-12=58,

故所求个数只差的绝对值为|48-58|=10,

故答案为：10

18.

【答案】

100

【考点】

排列、组合及简单计数问题

【解析】

以到4学校人数1,2,3为标准分成3类，再由排列组合知识分别求出每一类的安排方

法，相加即可.

【解答】

解.A小学若安排3人,则有C43A22=8种,4小学若安排2人,则有C42c3/22=36种，

4小学安排1人，则有盘（盘+4祥）题=56种，故共有100种.

19.

【答案】

1260

【考点】

排列、组合及简单计数问题

【解析】

此题暂无解析

【解答】

若取出的数字中含0,则可以组成废废盘4掾个没有重复数字的四位数；若取出的数字

中不含0,则可以组成它C/川个没有重复数字的四位数.综上所述，一共可以组成

量玛玛朗+ClCjAX=1260个没有重复数字的四位数.

针对特殊元素合理分类是解题的关键.

本题考查排列组合.

试卷第12页，总26页

20.

【答案】

(7,8,9,10)

【考点】

组合及组合数公式

【解析】

画出杨辉三角的部分，得到数字呈现出的规律，即自左向右先增后减，且对称呈现，

由此得到不等式＞＜^的解集.

【解答】

解：杨辉三角如图，

M

L0行1

=1个11

_

•2行121

=

.一3行1331

三

•4个14641

三

•5个15101051

莒

三6与1615201561

,产1771Y7171

由题意知，m＞7,当rn=7时，不等式成立，

当m=8,9,10时，不等式第＞4成立，

当m=ll时，有Cfi=C3,当m212时，源离左端点数值近，而以离右端点数值远,

盘＜%.

不等式第＞C4的解集为｛7,8,9,101.

故答案为：｛7,8,9,10｝.

三、解答题(本题共计20小题，每题10分，共计200分)

21.

【答案】

60

【考点】

排列及排列数公式

【解析】

本题主要考查了排列及排列数公式，只需要直接套用公式即可得出答案。

【解答】

解：用=5x4x3

=60.

故答案为：60.

22.

【答案】

解：(1)每次取出2个不同数字的组合问题是鬣=等=10；

(2)每次取出2个不同数字的排列问题是汆=5X4=20.

【考点】

排列及排列数公式

组合及组合数公式

【解析】

根据排列与组合数的计算公式，进行计算即可.

【解答】

解：（1）每次取出2个不同数字的组合问题是量=辞=10；

（2）每次取出2个不同数字的排列问题是房=5x4=20.

23.

【答案】

繇,［、2福+7解_2X8X7X6X5X4+7X8X7X6X5

・I)Af-A1-8X7X6X5X4X3X2X1-9X8X7X6X5

2x4-7

-4x3x2xl-9

1

=—•

15

(2)证明：4:=产躲，

71+1(n-m+1)!

Am-1,Amm-n'.n!

nn(n—m4-1)!(n—m)!

m-n!4-(n—m4-1)-n!

(n—m+1)!

(n+l)!

(71-771+1)1，

nAm_^Am-1IAm

…n+l_771/1n十•

【考点】

排列及排列数公式

组合及组合数公式

【解析】

(1)根据排列数的公式进行化简、计算即可;

(2)利用排列数的公式进行证明即可.

【解答】

,1、2福+7猫_2X8X7X6X5X4+7X8X7X6X5

‘I)飕-/8x7x6x5x4x3x2xl-9x8x7x6x5

2x4-7

―4x3x2xl-9

1

———.

15'

(2)证明：A=5+1)!

n+1(n-m+l)!

Am-1,m-n!n!

nn(n—m+1)!(n—m)\

m-n!4"(n—m4-1)-n!

(n—m+1)!

=5+1)!,

(n-m+l)l，

4nl_^Am-1iAm

…^n+l—十•

24.

【答案】

试卷第14页，总26页

解:(l)Cf-ClAl=7200；

(2)C：CQ4=720；

(3)盘.为•父+用•废•废•用=6336.

【考点】

排列、组合及简单计数问题

【解析】

左侧未给出解答解析.

左侧未给出解答解析.

左侧未给出解答解析.

【解答】

解:(1)优•废.飕=7200；

(2)C界牖•川=720；

(3)废•废•发+用•废•废.用=6336.

25.

【答案】

解：(1)第一步，甲乙两人必须紧靠站在丙的两旁，丙的位置固定，甲乙两人的排法有

房种，

第二步，将甲乙丙看做一个整体，与其他三人排队的排法有用种，

故所求排列方法共有鹿耳=48种；

(2)甲乙丙三人顺序一定，则只需从六个排列位置中给其他三人安排位置，

则不同排法有跳=120种；

(3)甲不站在第一排，乙不站在第二排，则甲一定在第二排，乙一定在第一排，

那么在第一排给乙安排一个位置，在第二排给甲安排一个位置，其他4人可进行全排列,

即外出川=216种.

【考点】

排列、组合及简单计数问题

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：(1)第一步，甲乙两人必须紧靠站在丙的两旁，丙的位置固定，甲乙两人的排法有

朗种，

第二步，将甲乙丙看做一个整体，与其他三人排队的排法有用种，

故所求排列方法共有属用=48种；

(2)甲乙丙三人顺序一定，则只需从六个排列位置中给其他三人安排位置，

则不同排法有医=120种；

(3)甲不站在第一排，乙不站在第二排，则甲一定在第二排，乙一定在第一排，

那么在第一排给乙安排一个位置，在第二排给甲安排一个位置，其他4人可进行全排列,

即用川胆=216种.

26.

【答案】

解：(1)将x=l—遮i代入：+：=1得d+号=1,

化简得；一兴+3+等=*+9+(%—为=1.

f-+-=1,

所以员:3=0,解得a=b=2・

(2)按所取数字是否含0分成两种情况：

第一种情况；若含数字0,因为0不能放在首位，所以组成的没有重复数字的三位数有

ClClAl=48个，

第二种情况：不含数字0,组成的没有重复数字的三位数有底盘“=72个，

所以，组成的没有重复数字的三位数共有48+72=120个.

【考点】

排列、组合及简单计数问题

复数代数形式的乘除运算

复数的基本概念

【解析】

答案未提供解析。

答案未提供解析。

【解答】

解：(1)将x=l—代入工+2=1得U+$=i,

axa1-V3i

化简得:一fi+g+等=6+勺+b-务=L

-+-=1,

所以%J解得a=b=2.

逊—在=0,

4a

(2)按所取数字是否含0分成两种情况：

第一种情况；若含数字0,因为。不能放在首位，所以组成的没有重复数字的三位数有

C3C4CM2=48个，

第二种情况：不含数字0,组成的没有重复数字的三位数有戏盘用=72个，

所以，组成的没有重复数字的三位数共有48+72=120个.

27.

【答案】

解：(1)每个学生必须且只需选修1门选修课，每一人都有4种选择，总共有43=64种

选法.

(2)恰有2门选修课这3名学生都没选择的概率：P2=警组=白

(3)设某一选修课被这3名学生选择的人数为f,贝酹=0,1,2,3,

3^__27

P(f=0)43-64

P(f=l)=等=能

试卷第16页，总26页

P（一）=等4

P"3)=*=a，

分布列如下图：

0123

P272791

64646464

2727914

Ef=°x热+1X&+2X西+3X北=7

【考点】

离散型随机变量的分布列及性质

等可能事件的概率

离散型随机变量的期望与方差

排列、组合及简单计数问题

分步乘法计数原理

古典概型及其概率计算公式

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：(1)每个学生必须且只需选修1门选修课，每一人都有4种选择，总共有4364种

选法.

(2)恰有2门选修课这3名学生都没选择的概率：P2=空笋=看.

(3)设某一选修课被这3名学生选择的人数为。则f=0,1,2,3,

=0)=卫=4,

P(f=l)=等途，

P(f=2)=等=去P6=3)=*=专,

分布列如下图：

0123

P272791

64646464

•-七6=0'焉27+"2.7+2*热9+3*「1*3

(3)设某一选修课被这3名学生选择的人数为f,则f=0,1,2,3,

3327

P(f=°)“=#

P&=D=等得

P（—）=等4

P（f=3）=*4

分布列如下图：

0123

P272791

64646464

■-Ef=°x热+1X&+2XH+3X『*

28.

【答案】

解：（1）根据题中数据，可得列联表,

无症状轻症状总计

男士504090

女士102030

总计6060120

则K2=120X(50X20-40X10)2=4444.

90x30x60x60

由P(K2>3,841)=0.05,有95%的把握认为性别对症状差别有影响.

（2）由条件知，抽样的6人中4位男士2位女士,

从中抽出两人的所有抽法有戏=15种，

满足一男一女的抽法有心弓=8种，

故所求概率P=

【考点】

排列、组合及简单计数问题

独立性检验

分层抽样方法

【解析】

原题未给出解析内容

原题未给出解析内容

【解答】

解：（1）根据题中数据，可得列联表,

无症状轻症状总计

男士504090

试卷第18页，总26页

女士102030

总计6060120

则R2=D°X(5°X20-4°X1°)2a彳444

90X30X60X60

由P(K2>3.841)=0.05,有95%的把握认为性别对症状差别有影响.

(2)由条件知，抽样的6人中4位男士2位女士，

从中抽出两人的所有抽法有髭=15种，

满足一男一女的抽法有废废=8种，

故所求概率P=W

29.

【答案】

解：原式=或二黑+Ck幕i+C仁品2+…+印飞

—「n-m+lIpn-m।rn-miipn-m

cG

—n-m+l十n-7n+l十7n+2十.••十匕九

_^n-m+1Ipn-m।ipn-m

~Gn-m+2T2T.••九

―「n-m+l_r-m

~Gn+1-cn4-l

【考点】

组合及组合数公式

【解析】

根据组合数的性质优=CL，将原式可变形为C之常+邛二痴+&二霜2+…+铲，

进而由组合数性质

优+C铲T=需1，依次化简即可得答案•

【解答】

解：原式=C仁常+Ck凿+1+C仁普2+…+丁

—^n-m+1Ipn-m।pn-m।\pn-m

~Gn-m+l十Gn-7n+l十,'cn

_r>n-m+l।r-n-m.i_r>n-m

G

-n-m+2T九一7n+2T・・・〒^汽

_^n-m+1_pm

~Gn+1-Gn+1

30.

【答案】

解：・；党=若，

n=5+6=11；

鬣+3=^14等=文

【考点】

组合及组合数公式

【解析】

根据组合数的性质，求出n的值，再代入计算鬣+3的值•

【解答】

解：••・瑞=若，

n=5+6=11；

鬣+3=此4=答=91.

31.

【答案】

解:由题意可得，k纥5一：设

l0<9-n<n4-l

解可得，4<n<5,.*nEN*，九=4或九=5

当n=4时，原式=C?+=5

当九=5时，原式=C54-Cg=16

【考点】

组合及组合数公式

【解析】

由题意可得，%咤5一［解不等式组可得，4WnW5结合n€N*可求n的值得,

l0<9-n<n+l

把n的值分别代入组合数公式可求

【解答】

解：由题意可得，5-^-\

IO<9—n<n+l

解可得，4<n<5,/nGN*:.九=4或九=5

当几=4时，原式=C?+=5

当ri=5时，原式=C1+盘=16

32.

【答案】

解：•「=nA^,

n(n—l)(n-2)(n-3)(n-4)=n-n(n-l)(n-2),

(n—3)(n—4)=n,即足—8n4-12=0,,

/.n=6或九=2(n>5)(舍)

n=6.

【考点】

排列及排列数公式

【解析】

利用排列数公式求解.

【解答】

解：==nA^f

n(n—l)(n-2)(n-3)(n—4)=n-n(n-l)(n-2),

(n—3)(n—4)=n,即九2—8九+12=0,,

.e.n=6或九=2(n>5)(舍)

n=6.

33.

【答案】

当m=l时，P(n,l)=Eko(-i)^_l_=_L_Zn=o(_1)kCn+lk+1=_L_(

Q(n,1)=C„+1=n+1；

n

P(n,m)=Z(T)"不前

k=O

n-1

bkmm

=1+W(-D^_1+c-)—+(-ir^

k=l

试卷第20页，总26页

n-1n

l+W"iM+W㈠…，

k=lk=l

1

V..m

=P(n-l,m)+2^(-1)n-1

k=l

mv-1ic,m

fc=O

=P(n—1,m)+；P(n,m),

即P(科m)=~^^(n—l,m)，

由累乘，易求得P(nM)=^P(O,m)=W；，

又Q(n,m)=C^+m,

所以P(n,ni)-Q(n,m)=l为定值.

【考点】

排列及排列数公式

【解析】

(1)由排列数、组合数公式计算m=l时P(n,1)、Q(n,1)的值；

(2)由题意计算P(n,TH)、Q(n,m)的表达式，再求P(n,m)•Q(n,m)的值.

【解答】

当m=l时，P(n,l)=Ek。(-l)kCnk7^=^7n=o(-1)此"+/+1=京，

Q5，i)=配+1=几+1;

n

▽..m

P(71,171)=Z不隈

k=0

n-1

=1+W(T)%3+*)M+(T)“忌

fc=l

n-1n

(一1产n-述-----+>(_1严n_】k-l-----

m+k乙m+k

k=lk=l

^^kCn.rk-l

k=l1i

n

=p(­lM)+.W(-1)5E

k=0

=P(n-l,m)+；P(n,m),

即P(弭m)=^P(n-l,m),

由累乘'易求得。(耳㈤二僦了⑥啕二房？

又Q（n,m）=*+m，

所以P（n,m）-Q（n,m）=l为定值.

34.

【答案】

186种

196种

191种

【考点】

排列、组合及简单计数问题

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：至少2名女运动员包括以下几种情况：2女3男，3女2男，4女1男.

由分类计数原理可得总选法数为废/+ClCl+仁德=186（种）.

方法一：可分类求解：“只有男队长”的选法为C磊"只有女队长”的选法为鹰；"男、女

队长都入选"的选法为C於所以共有2或+底=196（种）选法.

方法二：间接法：从10人中任选5人有Cfo种选法.其中不选队长的方法有喘种.所以

"至少1名队长"的选法为值）-或=196种.

当有女队长时，其他人任意选，共有腐种选法；不选女队长时，必选男队长，共有腐

种选法，而且其中不含女运动员的选法有谶种，所以不选女队长时的选法共有4-麾

种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有+（丹-右）=191种.

35.

【答案】

解：（1）第一步：3位老师站在一起，共有“种站法，

第二步：把这3位站在一起的老师"看作T位老师，他与4名学生共有1种排列，

因此3位老师站在一起的站法共有“费=720；

（2）A1A1Al=144或属用=144；

（3）先把4名学生排列，再在5个空档中选出3个位置让给3位老师，

所以使3位老师互不相邻的站法种数是/照=1440.

【考点】

排列、组合及简单计数问题

【解析】

（1）3位老师站在一起，可以采取绑定法计数，先绑定三位老师，再将三者看作一人

与四名学生进行全排列；

（2）3位老师站在一起且两边各有2名学生，先绑定三们老师，再全排列四位学生，四

位学生的排列法可用看作四位置四人，则有另种站法，或者先排一边的两个位置有用

种站法，再安排另一边两个位置的站法，有属种站法，最后用乘法原理计数；

（3）3位老师互不相邻，可先排四名学生，然后把三位老师插空，最后用乘法原理计

数.

【解答】

解：（1）第一步：3位老师站在一起，共有朗种站法，

第二步：把这3位站在一起的老师"看作"1位老师，他与4名学生共有恁种排列，

因此3位老师站在一起的站法共有掰式=720；

（2）AjAjAl=144或题用=144；

试卷第22页，总26页

（3）先把4名学生排列，再在5个空档中选出3个位置让给3位老师,

所以使3位老师互不相邻的站法种数是用国=1440.

36.

【答案】

解：（1）数字允许重复，不同的五位偶数有5x6x6x6x3=3240个；

（2）依据能被5整除的数，其个位是0或5,分两类，第一类，个位是0,百位数字不

是3的有父-&=96个；

第二类，个位是5,百位数字不是3的有心击-玛用=78个，

由加法原理得可组成96+78=174个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数.

（3）分两类：第一类a、b均不为零，

a、b的取值共有4：=20种方法.

a=1,b=2与a=2,b=4重复，

a=2,b=1,与a=4,b=2重复.

所以此时共有18条不同的直线；

第二类a、b中有一个为0,

则不同的直线仅有两条x=0和y=0.

共有不同直线18+2=20条.

【考点】

排列、组合及简单计数问题

【解析】

（1）数字允许重复，不同的五位偶数有5x6x6x6x3=3240个；

（2）依据能被5整除的数，其个位是0或5,分两类，由加法原理得到结论；

（3）对于选不选零，结果会受影响，所以第一类a、b均不为零，a、b的取值，第二

类a、b中有一个为0,则不同的直线仅有两条，根据分类计数原理得到结果.

【解答】

解：（1）数字允许重复，不同的五位偶数有5x6x6x6x3=3240个；

（2）依据能被5整除的数，其个位是0或5,分两类，第一类，个位是0,百位数字不

是3的有&=96个；

第二类，个位是5,百位数字不是3的有盘掰-废房=78个，

由加法原理得可组成96+78=174个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数.

（3）分两类：第一类a、b均不为零，

a、b的取值共有4：=20种方法.

a=Lb=2与a=2,b=4重复，

a=2,b=1,与a=4,b=2重复.

所以此时共有18条不同的直线；

第二类a、b中有一个为0,

则不同的直线仅有两条x=0和y=0.

共有不同直线18+2=20条.

37.

【答案】

解：根据题意，出牌的方法可以分为6种情况，

①、5张牌分开出，即5张牌进行全排列，有显种方法，

②、2张2一起出，3张4一起出，2张2与3张4共2个元素全排列即可，有掰种方法，

③、2张2一起出，3张4分开出，2张2与3张4分开共4个元素全排列即可，有用种方法,

④、2张2一起出，3张4分成2次出，先把3张4分为2-1的两组，再对2组3和2张4共3

个元素全排列即可，有武•胆种方法，

⑤、2张2分开出，3张4一起出，2张2分开与3张4共3个元素全排列即可，有朋种方法,

⑥、2张2分开出，3张4分成2次出，先把3张4分为2-1的两组，再对2组3和2张2分

开共4个元素全排列即可，有C外用种方法，

因此共有出牌方法：&+鹿+川+C尹房+&+仁•川=242种.

【考点】

排列、组合及简单计数问题

【解析】

根据题意，分6种情况讨论出牌的方法，①、5张牌分开出，②、2张2一起出，3张4

一起出，③、2张2一起出，3张4分开出，④、2张2一起出，3张4分成2次出，⑤、

2张2分开出，3张4一起出，⑥、2张2分开出，3张4分成2次出，分别计算每种情况的

出牌方法数目，由分类计数原理计算可得答案.

【解答】

解：根据题意，出牌的方法可以分为6种情况，

①、5张牌分开出，即5张牌进行全排列，有犬种方法，

②、2张2一起出，3张4一起出，2张2与3张4共2个元素全排列即可，有掰种方法，

③、2张2一起出，3张4分开出，2张2与3张力分开共4个元素全排列即可，有用种方法,

④、2张2一起出，3张4分成2次出，先把3张4分为2-1的两组，再对2组3和2张4共3

个元素全排列即可，有第•掰种方法，

⑤、2张2分开出，3张4一起出，2张2分开与3张4共3个元素全排列即可，有掰种方法,

⑥、2张2分开出，3张4分成2次出，先把3张4分为2-1的两组，再对2组3和2张2分

开共4个元素全排列即可，有戏•蝮种方法，

因此共有出牌方法：湍+胫+温+C>+语+/.段=242种.

38.

【答案】

5+1)

解:证明:右边=篙

(1)(7n+l)!(n-m)!

_n!

ml(n—m)!

=C$

=左边，即证明等式成立;

(2)；依卜一1)以=依卜一1)金