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文档简介
圆锥曲线高考大题的类型与解法
圆锥曲线问题是近几年高考的热点问题之一,可以这样毫不夸张地说,只要是数学高考试卷,
都必有一个圆锥曲线问题的12分大题。从题型上看是20(或21)题的12分大题,难度为
中,高档题型,一般的考生都只能拿到4到10分。纵观近几年高考试卷,归结起来圆锥曲
线大题问题主要包括:①已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点,求直线方程(或直
线的斜率);②已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点,求多边形的面积(或多边
形面积的最值);③已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点,求某个式子的值(或取
值范围)和证明某个式子的值为定值;④已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点,求
点的坐标(或点的轨迹方程);⑤己知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点,证明直线
过定点(或点在定直线上)等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征,解答方法也
有一定的规律可寻。那么在实际解答圆锥曲线大题问题时,到底应该如何抓住问题的结构特
征,快捷,准确地予以解答呢?下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1]解答下列问题:
2
尤2v1
1、(理)已知椭圆E:—+(a>b>0)的离心率为一,椭圆E上的点到其左,右焦点
a-b-2
的距离之和为4o
(1)求椭圆E的方程;
(2)设过左焦点F的直线1与椭圆E相交于A,B两点,M为AB的中点,O为坐标原点,
若椭圆E上存在点N满足ON=XOM(A>0),求四边形AOBN面积的最小值及此时X
的值。
x~y~1
(文)已知椭圆E:—+-^-=1(a>b>0)的离心率为5,椭圆E上的点到其左,右焦点的
距离之和为4。
(1)求椭圆E的方程;
(2)设过左焦点F的直线1与椭圆E相交于A,B两点,M为AB的中点,O为坐标原点,
若椭圆E上存在点N满足ON=3OM,求四边形AOBN的面积(成都市高2021级高三零
诊)
2、设抛物线C:y2=2px(p>0),直线x-2y+l=0与C相交于A,B两点,且|AB|=4Ji5。
(1)求p;(2023全国高考甲卷)
(2)设C的焦点为EM,N为C上两点,MF.NF=0,求AMNF面积的最小值。
3、在直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离等于点P到点(0,1)的距离,记动点P的
轨迹为W。
(1)求W的方程;
(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上,证明矩形的周长大于3百(2023全国高考新高
考I)
r2v2
4、已知椭圆E:r+二勺(a>b>0)的右焦点为K,上顶点为H,0为坐标原点,
a2b2
3
NOHKuBO-,点(1,-)在椭圆,E上。
(1)求椭圆E的方程;
(2)设经过点F2且斜率不为0的直线1与椭圆E相交于A,B两点,点P(-2,0),Q(2,
0),若M,N分别为直线AP,BQ与Y轴的交点,AMPQ,ANPQ的面积分别为4.躅,SANPQ
5
求上丝的值(成都市2020级高三零诊)
。附PQ
%2y2
5、已知点A(2,1)在双曲线C:—=1(a>l)上,直线1交C于P,Q两点,直
a~a-
线AP,AQ的斜率之和为0。
(1)求直线1的斜率;
(2)若tan/PAQ=2也,求APAQ的面积(2022全国高考新高考I卷)
22
6、(理)已知椭圆C:*•+亲*=1(a>b>0)的左,右焦点分别为大,工,点P在椭圆C
上,|PF,|=3,N灯&二3,且椭圆C的离心率为:。
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线1:y=kx+m(mWO)与椭圆C相交于A,B两点,O为坐标原点,求AOAB
面积的最大值。
22
(文)已知椭圆C:5+方=1(a>b>0)的左,右焦点分别为入,点P在椭圆C上,
FPF=11
|P6|=2,ZI!J'且椭圆C的离心率为5(成都市2019级高三零诊)
(1)求椭圆C的方程;
(2)设过点M(3,0)直线1与椭圆C相交于A,B两点,求AABK面积的最大值。
221
7、(理)已知椭圆C:二+2=1(a>b>0)经过点(6,-),其右顶点为A(2,0)。
a~b-2
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点P,Q在椭圆C上,且满足直线AP与AQ的斜率之积为求AAPQ面积的
20
最大值。
22i
(文)已知椭圆C:「+与=1(a>b>0)经过点(也,-),其右顶点为A(2,0)。
a2b22
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点P,Q在椭圆C上,且满足直线AP与AQ的斜率之积为卷,证明直线PQ经过
定点,并求AAPQ面积的最大值(成都市2019级高三二诊)
8、(理)已知抛物线C:f=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:/+(),+4)2=[上点
的距离的最小值为4(2021全国高考乙卷)。
(1)求P;
(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求APAB面积的最大值。
(文)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F到准线的距离为2。
(1)求C的方程;
(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足PQ=9QF,求直线OQ斜率的最大值。
9、已知椭圆C:―+g"=1(a>b>0)经过点A(1,-----),其长半轴长为2。
a2b-2
(1)求椭圆C的方程;
(2)(理)设经过点B(-1,0)的直线1与椭圆C相交于D,E两点,点E关于X轴的对
称点为F,直线DF与X轴相交于点G,求ADEG的面积S的取值范围。(文)设经过点B
(-1.0)的直线1与椭圆C相交于D,E两点,点E关于X轴的对称点为F,直线DF与X
轴相交于点G,记ABEG与ABDG的面积分别为S1,S2,求|S「S?|的最大值(2021成都
市高三二诊)。
10、已知椭圆C:£+广=1(a>b>0)的左,右焦点分别为石(-G,0),F,(V3,0),
a1b-
且经过点A(73,-)(2020成都市高三零诊)。
2
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)(理)过点B(4,0)作一条斜率不为0的直线1与椭圆C相较于P,Q两点,记点P
关于X轴对称的点为P,若直线P'Q与X轴相较于点D,求ADPQ面积的最大值。
(文)过点B(4,0)作一条斜率不为0的直线1与椭圆C相较于P,Q两点,记点P关于X
轴对称的点为P,证明直线P'Q经过X轴上一定点D,并求出定点D的坐标。
22[7T
11、已知椭圆C:---F2y=l(0<m<5)的离心率为——,A>B分别为C的左,右顶点。
25m-4
(1)求C的方程;
(2)若点P在C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BP1BQ,求AAPQ的面积(2020
全国高考新课标HD。
12、已知椭圆C:二+£=1(a>b>0)过点M(2,3),点A为其左顶点,且AM的斜率
crb-
为工(2020全国高考新高考H)。
2
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)N为椭圆上任意一点,求AAMN面积的最大值。
[思考问题1J
(1)【典例1】中问题的特点是:①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点,
②所求问题是多边形面积(或周长)的值(或取值范围或最值);
(2)解答这类问题的基本思路是::①设出两点的坐标和直线的斜率k(注意考虑斜率不
存在的情况,为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况,也可以直接设过定点的直线方
程为:x=my+n,meR),运用点斜式,写出直线的方程;②联立直线方程与曲线方程消去
一个未知数化为关于x(或y)的一元二次方程;③运用韦达定理得到两根的和与积关于参
数k(或m)的式子,并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k(或m)的式子;
④运用多边形面积的相关知识把多边形的面积表示成关于参数的函数;⑤求出关于参数的函
数值(或值域或最值);⑥得出问题的结果。
【典例2]解答下列问题:
1、设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过点F的直线交C于M,N
两点,当直线MD垂直于X轴时,|MF|=3。
(1)求抛物线C的方程;
(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线AB,MN的倾斜角分别为a,
B,当a-夕取得最大值时,求直线AB的方程(2022全国高考甲卷)
2、已知椭圆C:餐+方=1(a>b>0)的四个顶点围成的四边形的面积为2氐右焦点工
到直线x-y+2=0的距离为2&(2021成都市高三三诊)。
(1)求椭圆C的方程;
(2)(理)过点M(-3,0)的直线1与椭圆C相交于A,B两点,过点工作直线।的垂线,
垂足为N(点A,B在点M,N之间),若AA工M与△BF?N面积相等,求直线1的方程。
(文)过点M(-3,0)的直线1与椭圆C相交于A,B两点,过点K作直线1的垂线,垂
足为N(点A,B在点M,N之间),若|MA|=|BN|,求直线1的方程。
3、在平面直角坐标系XOY中,已知点耳(-J万,0),6(J万,0),点M满足|M片HMF21=2,
记M的轨迹为C。
(1)求C的方程;
(2)设点T在直线x=L上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|.|TB|
2
=|TP|.|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和(2021全国高考新高考I卷)。
4、抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在X轴上,直线l:x=l交C于P,Q两点,且OPLOQ,
已知点M(2,0),0M与1相切。
(1)求C,OM的方程;
(2)设&,4,A3是C上的三个点,直线A,A2,4A3均与。M相切,判断A2A3与。M
的位置关系,并说明理由(2021全国高考甲卷)。
22
5、(理)已知椭圆C:=+2=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B(0,1),右焦点
ab~
为F,连接BF并延长与椭圆C相交于点C,且|CF|=-|BF|,
7
(1)求椭圆C的方程;
(2)设经过点(1,0)的直线1与椭圆C相交于不同的两点M,N,直线AM,AN分别与
直线x=3相交于点P,点Q,若AAPQ的面积是AAMN的面积的2倍。求直线1的方程。
22n6
(文)已知椭圆C:——+=1(a>b>0)的离心率为,且经过点(、/5,)。
a2b~22
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在经过点(0,2)的直线与椭圆C相交于不同的两点M,N,使得M,N与Y
轴上的一点P连线后组成以P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出直线1的方程;
若不存在,请说明理由(2019成都市高三零诊)
6、(理)已知长度为4的线段AB的两个端点A,B分别在X轴和Y轴上运动,动点P满
足记动点P的轨迹为曲线C。
(1)求曲线C的方程;
(2)设不经过点H(0,1)的直线y=2x+t,与曲线C相交于两点M,N,若直线HM与
HN的斜率之和为1,求实数t的值。
(文)已知点A(m,0)和B(0,n),且机2+"二⑹动点P满足BP=3PA,记动点P
的轨迹为曲线c。
(1)求曲线C的方程;
(2)设不经过点H(0,1)的直线y=2x+t,与曲线C相交于两点M,N,若直线HM与
HN的斜率之和为I,求实数t的值(2019成都市高三一诊)
221
7、已知椭圆C:=+与=1(a>b>0)的短轴长为40,离心率为L
a-b-3
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)(理)设椭圆C的左右焦点分别为石,F2,左右顶点分别为A,B,点M,N为椭圆
C设位于X轴上方的两点,且-NWFzN,记直线AM,BN的斜率分别为匕,k2,若3匕
+2刈=0,求直线"M/的方程。(文)设椭圆C的左右焦点分别为耳,居,左右顶点分别
为A,B,点M,N为椭圆C设位于X轴上方的两点,且F1M〃F2N,直线6M的斜率为
276,记直线AM,BN的斜率分别为仁,k2,求3占+2网的值(2019成都市高三二诊)
r思考问题2j
(1)【典例2】中问题的特点是:①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点,
②所求问题是直线的方程或直线斜率的值(或取值范围);
(2)解答这类问题的基本思路是:①设出两点的坐标和直线的斜率k(注意考虑斜率不存
在的情况,为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况,也可以直接设过定点的直线方程
为:x=my+n,meR),然后运用点斜式,写出直线的方程;②联立直线方程与曲线方程,
消去一个未知数化为关于x(或y)的一元二次方程;③运用韦达定理得到两根的和与积关
于参数k(或m)的式子,并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k(或m)的式
子;④结合问题条件得到关于参数k(或m)的方程(或不等式)(注意相交于不同两点的
条件);⑤求解方程(或不等式)求出参数k(或m)的值;⑥得出问题的结果。
【典例3]解答下列问题:
1、(理)已知月,尸2分别为椭圆C:—+^=1(a>b>0)的左,右焦点,与椭圆C有相
V2
同焦点的双曲线1-丁=1在第一象限与椭圆c相交于点P,且「尸2仁1。
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线y=kx+l与椭圆C相交于A,B两点,O为坐标原点,且0£)=m08(m>0),
若椭圆C上存在点E,使得四边形OAED为平行四边形,求m的取值范围。
(文)已知中心为原点,对称轴为坐标轴的椭圆C经过点,巫),Q(瓜,空)。
33
(1)求椭圆C的方程;
(2)设过点(0,1)的直线1与椭圆C相交于A,B两点,2OD=3OB,OE=OD+OA,
且点E在椭圆C上,求直线1的方程(成都市高2020级高三二诊)
22
2、设双曲线C:=-[=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),渐近线方程为y=±百x。
a~b~
(1)求双曲线C的方程;
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别相交于A,B两点,点P(%,%),Q(%,乂),
在C上,且不>%>0,%>0,过点P且斜率为-6的直线与过点Q且斜率为G的直线相
交于点M,请从下面①②③中选取两个作为条件,证明另一个条件成立。①M在AB上;②
PQ//AB,③=注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分(2022全国
高考新高考11卷)
3、已知抛物线C:y2=2px(p>0,pH4),过点A(2,0)且斜率为k的直线与抛物线C
相交于P,Q两点。
(1)设点B在x轴上,分别记直线PB,QB的斜率为占,k2,若尤+&=0,求点B的坐
标;
(2)过抛物线C的焦点F作直线PQ的平行线与抛物线C相交于M,N两点,求-Ml
\AP\.\AQ\
的值(成都市2019级高三一诊)
4、(理)已知椭圆E:/+F=1(a>b>0)的左,右焦点分别为《(-1,0),F,(1,
0),点P在椭圆E上,PF21F,F2,且|P6|=3|PFJ。
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)设直线1:x=my+l(meR)与椭圆E相较于A,B两点,与圆/+y)=/相较于C,D
两点,求|AB|.|CD/的取值范围。
22
(文)已知椭圆E:^-+^-=1(a>b>0)的左,右焦点分别为R(-1,0),F,(1,0),
a~b~
点P(1,—)在椭圆E上。
2
(I)求椭圆E的标准方程;
(2)设直线1:*=01丫+1(111€咫与椭圆£相较于八,B两点,与圆%2+》2=〃2相较于c,D
两点,当|AB|.|CD/的值为8贬时,求直线1的方程(2020成都市高三二诊)。
5、己知椭圆C:=+[=1(a>b>0)的左焦点为6(-G,0),点Q(1,—)
a2b-2
在椭圆C上(2020成都市高三三诊)。
(1)求椭圆C的标准方程:
(2)经过圆O:Y+),=5上一动点P作椭圆C的两条切线,切点分别记为A,B,直线
PA,PB分别与圆O相较于异于点P的M,N两点。
(理)①求证:OM+ON=0;②求AOAB的面积的取值范围。(文)①当直线PA,PB的
斜率都存在时,记直线PA,PB斜率分别为匕,k2,求证:k「k,=-l;②求L型的取值范
12'2\MN\
围。
22=1(a>b>0)的离心率为它,且过点A(2,1)。
xy
6、已知椭圆C:-y+
a2
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)点M,N在C上,且AM±AN,AD±MN,D为垂足,证明:存在定点Q,使得
|DQ|为定值(2020全国高考新高考I)o
「思考问题3J
(1)【典例3]中问题的特点是:①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点,
②所求问题是某一式子的值(或取值范围或最值)或证明某一式子为定值;
(2)解答这类问题的基本方法是::①设出两点的坐标和直线的斜率k(注意考虑斜率不
存在的情况,为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况,也可以直接设过定点的直线方
程为:x=my+n,meR),运用点斜式,写出直线的方程;②联立直线方程与曲线方程消去
一个未知数得到关于x(或y)的一元二次方程;③运用韦达定理得到两根的和与积关于参
数k(或m)的式子,并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k(或m)的式子;
④运用相关知识把问题中的式子表示成关于参数的函数;⑤求出关于参数的函数的值(或值
域或最值)或证明该式子的值与参数无关(为定值);⑥得出问题的结果。
【典例4]解答下列问题:
x9v9
1、(理)已知椭圆C:-+^-=l(a>b>0)的左,右焦点分别为《,居,上顶点为D,
a
且AD5巴为等边三角形,经过焦点工的直线1与椭圆C相交于A,B两点,AF;AB的周
长为8。
(1)求椭圆C的方程;
(2)试探究:在x轴上是否存在定点T,使得L4.73为定值,若存在,求出点T的坐标;
若不存在,请说明理由。
尤2y2
(文)已知椭圆C:A炉=1(a>b>0)的左,右焦点分别为《,F2,上顶点为D,且
△D±工为等边三角形,经过焦点弱的直线1与椭圆C相交于A,B两点,AF;AB的周长
为8。
(1)求椭圆C的方程;
(2)求AF,AB的面积的最大值及此时直线1的方程(成都市2020级高三一诊)
2、在同一平面直角坐标系XOY中,圆V+y2=4经过伸缩变换9:(x'=x,后得到曲线
c。
(1)求曲线c的方程;
(2)(理)设直线1与曲线C相较于A,B两点,连接BO并延长与曲线C相较于点D,
且
|AD|=2,求AABD面积的最大值;(文)设曲线C与X轴和Y轴的正半轴分别相交于A,
B两点,P是曲线C位于第二象限上的一点,且直线PA与Y轴相交于点M,直线PB与X
轴相交于点N,求4ABM与ABMN的面积之和(2021成都市高三零诊)。
3、已知椭圆C:=+2=1(a>b>0)的离心率为亚,且直线±+»=1与圆x2+>2=2
a~b~2ah
相切。
(1)求椭圆C的方程;
(2)(理)设直线1与椭圆C相交于不同的两点A,B,M为线段AB的中点,O为坐标
原点,射线OM与椭圆C相交于点P,且O点在以AB为直径的圆上,记AAOM,ABOP
的面积分别为5,52,求学的取值范围。(文)设直线1与椭圆C相交于不同的两点A,
B,M为线段AB的中点,O为坐标原点,射线OM与椭圆C相交于点P,且|OP|=V15|OM|,
求AABO的面积(2021成都市高三一诊)
(-邪),0),F,(6,
4、己知椭圆C:/十瓦=1(a>b>0)的左,右焦点分别为耳
0),且经过点A(^,-)(2020成都市高三零诊)。
2
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)(理)过点B(4,0)作一条斜率不为0的直线1与椭圆C相较于P,Q两点,及点P
关于X轴对称的点为耳,若直线P'Q与X轴相较于点D,求ADPQ面积的最大值。(文)
过点B(4,0)作一条斜率不为0的直线1与椭圆C相较于P,Q两点,记点P关于X轴对
称的点为P,证明直线P'Q经过X轴上一定点D,并求出定点D的坐标。
5、已知椭圆C:1+%=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C,的焦点重合,G的中心
ao'
与G的顶点重合,过F且与X轴垂直的直线交G于A,B两点,交于C,D两点,且ICDI
4
=-|AB|(2020全国高考新课标H)。
3
(1)求G的离心率;
(2)(理)设M是G与。2的公共点,若IMF|=5,求G与。2的标准方程。(文)若G的
四个顶点到G的准线距离之和为12,求G与G的标准方程。
6、(理)已知抛物线C:y2=2px过点P(I,1),过点(0,;)的直线1与抛物线C交
于不同的两点M,N,过点M作X轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中。为
原点。
(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;
(2)求证:A为线段BM的中点。
/7
(文)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在X轴上,离心率为士
2
(1)求椭圆C的方程;
(2)点D为X轴上一点,过D作X轴的垂线交椭圆C于不同两点M,N,过D作AM的
垂线交BN于点E,求证:ABDE与ABDN的面积之比为4:5(2017全国高考北京卷)
(理科图)(文科图)
「思考问题4」
(1)【典例4】中问题的特点是:①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点,
②所求问题是某点的坐标(或点的轨迹方程);
(2)解答这类问题的基本方法是:①设出两点的坐标和直线的斜率k(注意考虑斜率不存
在的情况,为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况,也可以直接设过定点的直线方程
为:x=my+n,meR),运用点斜式,写出直线的方程;②联立直线方程与曲线方程得到方
程组,消去一个未知数化为关于x(或y)的一元二次方程;③运用韦达定理得到两根的和
与积关于参数k(或m)的式子,并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k(或m)
的式子;④运用相关知识结合问题的条件把点的坐标表示成关于参数k(或m)的式子;⑤
求出参数的值得到点的坐标(或消去参数得到点的轨迹方程);⑥得出问题的结果。
【典例5]解答下列问题:
1、已知椭圆C:—-+—=1(a>b>0)的离心率为1,点A(-2,0)在C上。
a2b23
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证
明:线段MN的中点为定点(2023全国高考乙卷)
2、已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-2君,0),离心率为6。
(1)求C的方程;
(2)记C的左,右顶点分别为4,A,过点(-4,0)的直线与C的左支相交于M,N两
点,M在第二象限,直线MA与直线NA?相交于点P,证明:点P在定直线上。
3、(理)已知斜率为也的直线1与抛物线E:y2=4x相交于p,Q两点。
(1)求线段PQ中点纵坐标的值;
(2)已知点T(百,0),直线TP,TQ分别与抛物线E相交于M,N两点(异于P,Q),
求证:直线MN恒过定点,并求出该定点的坐标。
(文)已知斜率为6的直线1与抛物线E:y2=4x相交于p,Q两点。
(1)求线段PQ中点纵坐标的值;
(2)已知点T(6,0),直线TP,TQ分别与抛物线£相交于M,N两点(异于P,Q),
则在y轴上是否存在一定点S,使直线MN恒过定点,若存在,求出点S的坐标;若不存在,
请说明理由(成都市高2020级高三三珍)
3
4、已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为X轴,Y轴,且过点A(0,-2),B(-,-1)
2
两点。
(1)求椭圆E的方程;
(2)设过点P(l,-2)的直线交E于M,N两点,过M且平行于X轴的直线与线段AB
交于点T,点H满足MT=T",证明直线HN过定点(2022全国高考乙卷)
221
5、已知椭圆C:乌+==1(a>b>0)的离心率为,,且经过点(",2),椭圆C的
a2b-2
右顶点到抛物线E:y2=2px(p>0)的准线的距离为4。
(1)求椭圆C和抛物线E的方程;
(2)设与两坐标轴都不垂直的直线1与抛物线E相交于A,B两点,与椭圆C相交于M,
N两点,O为坐标原点,若。4.08=4,则在x轴上是否存在点H,使得x轴平分NMHN,
若存在,求出点H的坐标;若不存在,请说明理由(成都市2019级高三三珍)
6、已知椭圆C的方程为]+y2=i(a>b>0),右焦点为F(、/5,0),且离心率为逅。
a23
(1)求椭圆C的方程;
(2)设M,N是椭圆C上的两点,直线MN与曲线/+),2=/相切,证明M,N,F三点
共线的充分必要条件是|MN|=6,(2021全国高考新高考H卷)。
v-22
7、(理)已知椭圆C:一+v==1的右焦点为F,过点F的直线(不与X轴重合)与椭圆
2b2
C相交于A,B两点,直线1:x=2与X轴相较于点H,过点A作ADJ_1,垂足为D。
(1)求四边形OAHB(O为坐标原点)面积的取值范围;
(2)证明:直线BD过定点E,并求出点E的坐标。
2
(文)已知椭圆C:土+>2=1的右焦点为F,过点F的直线(不与X轴重合)与椭圆C相
2
交于A,B两点,直线1:x=2与X轴相较于点H,E为线段FH的中点,直线BE与直线1
的交点为D。
(1)求四边形OAHB(O为坐标原点)面积的取值范围;
(2)证明:直线AD与X轴平行(2020成都市高三一诊)。
x2,
8、已知A,B分别为椭圆E:—+y-=l(a>l)的左,右顶点,G为E上顶点,AG.GB=8,
矿
P为直线x=6上的动点,PA与E的另一个交点为C,PB与E的另一个交点为D。
(1)求E的方程;
(2)证明:直线CD过定点(2020全国高考新课标I)。
9、(理)已知抛物线C:》2=2py经过点(2,-1)。
(1)求抛物线C的方程及其准线方程;
(2)设0为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线1交抛物线C于两点M,N,直线
y=T分别交直线OM,ON于点A和点B,求证:以AB为直径的圆经过Y轴上的两个定点。
22
(文)已知椭圆C:=+4=1(a>b>0)的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1),
a"b'
(1)求椭圆C的方程;
(2)设O为原点,直线1:y=kx+t(tH±l)与椭圆C相较于不同两点P,Q,直线AP与
x轴相较于点M,直线AQ与x轴相较于点N,若|OM|.|ON|=2,求证:直线1经过定点(2019
全国高考北京)
r思考问题51
(1)【典例5]中问题的特点是:①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点,
②所求问题是直线过定点(或点在定直线上);
(2)解答这类问题的基本方法是::①设出两点的坐标和直线的斜率k(注意考虑斜率不
存在的情况,为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况,也可以直接设过定点的直线方
程为:x=my+n,meR),运用点斜式,写出直线的方程;②联立直线方程与曲线方程消去
一个未知数化为关于x(或y)的一元二次方程;③运用韦达定理得到两根的和与积关于参
数k(或m)的式子,并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k(或m)的式子;
④运用相关知识结合问题的条件把直线方程(或某点的坐标)表示成关于参数k(或m)的
式子;⑤确定直线存在与参数k(或m)无关的点(定点)(或把某点的坐标代入给定的直
线方程验证);⑥得出问题的结果。
圆锥曲线高考大题的类型与解法
圆锥曲线问题是近几年高考的热点问题之一,可以这样毫不夸张地说,只要是数学高考试卷,
都必有一个圆锥曲线问题的12分大题。从题型上看是20(或21)题的12分大题,难度为
中,高档题型,一般的考生都只能拿到4到10分。纵观近几年高考试卷,归结起来圆锥曲
线大题问题主要包括:①已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点,求直线方程(或直
线的斜率);②已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点,求多边形的面积(或多边
形面积的最值);③已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点,求某个式子的值(或取
值范围)和证明某个式子的值为定值;④已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点,求
点的坐标(或点的轨迹方程);⑤己知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点,证明直线
过定点(或点在定直线上)等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征,解答方法也
有一定的规律可寻。那么在实际解答圆锥曲线大题问题时,到底应该如何抓住问题的结构特
征,快捷,准确地予以解答呢?下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1]解答下列问题:
尤2v21
1、(理)已知椭圆E:=+二=1(a>b>0)的离心率为一,椭圆E上的点到其左,右焦点
a-b~2
的距离之和为4o
(1)求椭圆E的方程;
(2)设过左焦点F的直线1与椭圆E相交于A,B两点,M为AB的中点,O为坐标原点,
若椭圆E上存在点N满足ON=2OM(A>0),求四边形AOBN面积的最小值及此时X
的值。
x2y~1
(文)已知椭圆E:—+-^-=1(a>b>0)的离心率为5,椭圆E上的点到其左,右焦点的
距离之和为4。
(1)求椭圆E的方程;
(2)设过左焦点F的直线1与椭圆E相交于A,B两点,M为AB的中点,O为坐标原点,
若椭圆E上存在点N满足ON=3OM,求四边形AOBN的面积(成都市高2021级高三零
诊)
【解析】
【考点】①椭圆定义与性质;②求椭圆方程的基本方法;③设而不求,整体代入数学思想及
运用;④平面向量坐标运算法则和基本方法;⑤点到直线的距离公式及运用;⑥弦长公式及
运用;⑦三角形面积公式及运用;⑧基本不等式及运用。
【解题思路】(理)(1)根据椭圆的性质,运用求椭圆方程的基本方法,结合问题条件就
可求出椭圆E的方程;(2)根据设而不求,整体代入的数学思想,点到直线的距离公式和
椭圆的弦长公式,结合问题条件求出,AB|,点0到直线AB的距离关于参数k,m的式子,根
据三角形的面积公式得到AOAB面积关于参数k,m的表示式,运用基本不等式求出表示
式的最值就可得到AOAB面积的最大值。(文)(1)根据椭圆的性质,运用求椭圆方程的
基本方法,结合问题条件就可求出椭圆E的方程;(2)根据设而不求,整体代入的数学思
想,由点N在椭圆E上得到关于m的方程,求解方程求出m的值,运用点到直线的距离公式
和椭圆的弦长公式,结合问题条件求出IAB,点0到直线AB的距离的值,利用三角形的面
积公式得到AOAB面积,从而就可求出四边形AOBN的面积。
x*23y?]
【详细解答】(理)(1)椭圆E:=+彳=1(a>b>0)的离心率为一,椭圆E上的点
a'b'2
到其左,右焦点的距离之和为4,.•.£=,①,2a=4②,/=/+°2③,联立①②③解得:
a2
22
cr=4»b~=3,.,.椭圆E的方程为:=1;(2)设A(+W,,B(x2»%),
.,由(1)知F(-1,0),直线1经过点F,直线1的方程
为x=my-l,联立直线1和椭圆E的方程得:
(4+3〉)y2_6my_9=o,M是AB的中点,
6m9
6m2-8-6/T72-83m
=m(%+%>2=4+3疗=石而,=M(4+3*),OM-
4+3m2
—43帆-423力^、上
(-----,-----7),ON=AOM(2>0),・••N(z-------------r-----7),•点NT
4+3m724+3m24+3"4+3m2
―储
4储32+36
在椭圆E上,.1=1,=4+3阳2=2,|AB|=Jl+加
.(4+3加2)2(4+3加2)2zn2)2
22
6(1+/«)._|0-0+1|_1_11Dn,._13(1+m)
3,1+疝
ON=AOM(zl>0),=4+3"24,S四边形408N=%SAAOB
4+3加2
273(A2-!)3
)>>-,当且仅当分二4,即;1=2时,等号成立,
2
3
四边形AOBN面积的最小值为一,及此时/l的值为2。
2
xy2=1(a>b>0)的离心率为上,椭圆E上的点到其左,右焦
(文)(1)桶圆E:—+
a2
「I
点的距离之和为4,一=一①,2a=4②,a2=b2+c2@,联立①②③解得:a2=4,b2=3,
a2
X~2y2
-1_
椭圆E的方程为:+^=1;(2)设A(X[,,B(x2»%),由(1)知F
(-1,0),直线1经过点E.•.直线1的方程联立直线1和椭圆E的方程得:
(4+3m2)y2-6my-9=0,M是AB的中点,
6m9
y+.,,x为=-,♦••$+马
4+3疗4+3疗Q
6加2-8-6m2-8
=m(%+%)-2=—..-=..,,
4+3m~24+3m~
,-43mc,-43m、入、,八*,12
=>M(------,------),•/OM=(---------,---------),ON=30M,:.N(------
4+3/4+3"4+3"4+3"4+3m"
9m3621m24
点N在椭圆E上,-------+-------=1,=9〃/-3m-2-20=0,
4+3M(4+3〃?2)2(4+3加2)2
.6病+36(4+3符
2512(1+府」必
m--,|AB|=yjl+m2V(4+3/n2)2
34+3”
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