2016年云南省昆明市中考数学试卷

昆明市2016年初中学业水平考试

数学试卷

（全卷三个大题，共23小题，共6页.；满分120分，考试时间120分钟）

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上

填写清楚，，并认真核准条形码上的准考证号及姓名，在规定的位置贴好，条形码。

2.考生必须把所有的答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效。

3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案选项框涂黑。如需改

动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案选项框，不要填涂和勾划无关选项。其它试题

用黑色碳素笔一作答，答案不要超出给定的答题框。

4.考生必须按规定的方法和要求答题，不按要求答题所造成的后果由本人自负。

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、填空题（每小3分，满分18分。请考生用黑色碳素笔将答案写在答题卡相应题号后的

撞线上）

1.—4的相反数是.

2.昆明市2016年参加初中学业水平考试的人数约有67300人，将数据67300用科学记数法

表示为•

x2-y2x2-y2

4.如图，AB//CE,BF交CE于点B,ZF=20°,则的度数为.

5.如图，E,F,G,〃分别是矩形ABCD各边的中点，AB=6,3C=8,则四边形

EFGH的面积足是一.

k

6.如图,反比例函数.y=2（左W0）的图象经过A、8两点，过点A作ACLx轴，垂足为

x

C,

过点BBDLx轴，垂足为。，连.接A。，连接8。交AC于点E,若OC=CE>,四

边形BDCE的面积为2,,则左的值为.

二、选择题（每小题4分，满分32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的;

每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号的小框涂黑）

7.下面所给几何体的俯视图是

8.某学习小组9名学生参加“数学竞赛”，他们的得分情况如下表:

人数（人）1341

分数（分）80859095

那么这9名学生所得分数的众数和中位数分别是

A.90,90B.90,85C.90,87.5D.85,85

9.一元二次方程V—41+4=0的根的情况是

A.有两个不相等的实数根B.无实数根

C.有两个相等的实数根D.无法确定

10.不等式组《的解集为

A.x<2B.x<4C.2<x<4D.x>2

11.下列运算正确的是

A.—3）2=—9rB.a2•a4=a8

C.M—+3D.=-2

12.如图，AB为。。的直径，AB=6,A3,弦CD,垂足为G

切。。于点B,ZA=30°,连接A。、OC、BC.

下列结论不正确的是

A.EF//CDB.ACOB是等边三角形

3

C.CG=DGD.启的长为一万

BC2

13.八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生

骑自行车先走，过了20分件后，其余学生乘汽车出发，

结果他们同时到达.己知汽车的速度是骑自行车学生速度（第12・国）

的2倍.

设骑车学生的速度为尤千米/小时，则所列方程正确的是

竺

lo

T=20B.3=20

2X2xx

Ac.竺

lTo110101

D.r-----------二一

2X32xx3

14.如图，在正方形袖ABCD中，AC为对相线，E为上一点，过点E作所〃AD,

与AC、。。分别交于点G、F,反为CG的中点，连接DE、EH、DH、FH.

下列结论：

①EG=DF；②ZAE/Z+ZAD/Z=180°；③AEHF丝ADHC；

AJ77

④若不=三，贝"52.=135皿叱其中结论正确的是

AB3

A.1个B.2个

C.3个D.4个

三、解答题（共9题，满分70分.请考生用黑色碳素笔在答题卡相应

的题号后答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字

说明，超出答题区域的作答无效.特别注意：作图时，必须使用黑色碳素笔在答题卡上

作图）

15.（本小题5分）计算：2016°—卜内|+4尸+25m45。

16.（本小题6分）如图，点。是上一点，DF交AC于E,DE=FE,FC//AB.

求证：AE=CE.

17.（本小题7分）如图，A4BC三个顶点的坐标分别为A（1,1）,B（4,2）,C（3,4）

（1）请画出将AABC向左平移4个单位长度后得到的图形”出］G；

（2）请画出AA8C关于原点。成中心对称的图形A4232c2；：

（3）在x轴上找一点P,使出+PB的值最小，请京援写出点尸的坐标.

y

18.(本小题7分)某中学为了了，解九年级学生体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学

生进行休能测试，测试结果分为A,B,C,D四个等级，并依据测试成绩绘制了如下

两幅尚不完整的统计图：

(1)这次抽样调查的样本容量是,并补全条形统计图；

(2)。等级学生人数占被调查人数的百分比为,在统计图中C等级所对应

的圆心角为;,

(3)该校九年级学生有1500入，请你估计其中A等级的学生人数.

19.(本小题8分)甲，乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字I,2,3的

小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4,5的小球，它们的形状、大小完全相同，现

随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字.

(1)请用列表或树状图的方法(只选其中一种)，表示出两次所得数字可能出现的所有结果;

(2)求出两个教字之和能被3整除的概率.

20.(本小题8分)如图，大楼沿右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小

楼的顶端D处测得障碍物边边缘点C的俯角为30。，测得大楼顶端A的仰角为45。(点

B,C,E在同一水平直线上.己知4q=80相，DE=10m,求障碍物2、C两点间的距

离（结果精确到0.1机）

（参考数据：V2^1.414,73^1.732）

（第20题图》

21.（本小题8分）（列方程（组）及不等式解应用题）

春节期间，某商场计划购进甲，乙两种商品，己知购进甲.商品2件和乙商品3件共需

270元；购进平商品3件和乙商品2件共需230元.

（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？

（2）商场决定平商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需

购进甲、乙两种商品共100件，甲种商品的数董不少于乙种商品数置的4倍，请你

求出获利最大的进货方案，并确定最大利润.

22.（本小题9分）如图，是。。的直径，ZBAC=90°,四边形E80C是平行四边形,

EB交0。于点、D,连接8并延长交A2的延长线于点E

（1）求证：CP是。。的切线；

（2）若N?=3O°,EB=4,求图中阴.影部分的面积（结果保留根号和万）.

〈第22眩图）

23.（本小题12分）如图，对称轴为直线x=L的抛物线经过8（2,0）、C（0,4）两点,

2

抛物线与x轴的另一交点为A.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点尸为第一象限内抛物线上一点，设四边形C02尸的面积为S,求S的最大值；

(3)如图①，若M是线段BC上一动点，在x轴上是否存在这样有点。，使AMQC为

等腰三角形且为直角三角形？若存在，求出。点坐标；若不存在，请说明

理由.

2016年云南省昆明市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题：每小题3分，共18分

1.（3分）（2016•昆明）-4的相反数为4.

【考点】相反数.

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0即可求解.

【解答】解：-4的相反数是4.

故答案为：4.

【点评】此题主要考查相反数的意义，较简单.

2.（3分）（2016•昆明）昆明市2016年参加初中学业水平考试的人数约有67300人，将数

据67300用科学记数法表示为6.73义1。4.

【考点】科学记数法一表示较大的数.

【分析】科学记数法的表示形式为axl（）n的形式，其中上同＜10,n为整数.确定n的值是

易错点,由于67300有5位，所以可以确定n=5-1=4.

【解答】解：67300=6.73x1（）4,

故答案为：6.73X104.

【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键.

3.（3分）（2016•昆明）计算：一--又一=.

x2-y2x2-y2—x+y—

【考点】分式的加减法.

【分析】同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；再分解

因式约分计算即可求解.

【解答】解：2x2y

2-22_2

xyxy

2x-2y

_2（x-y）

（x+y）（x-y）

,2

x+y

故答案为：_2_.

x+y

【点评】考查了分式的加减法，注意通分是和约分是相反的一种变换.约分是把分子和分母

的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以

相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式.

4.（3分）（2016•昆明）如图，AB〃CE,BF交CE于点D,DE=DF,ZF=20°,则NB的

度数为40。.

【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质.

【分析】由等腰三角形的性质证得E=NF=20。，由三角形的外角定理证得

ZCDF=ZE+ZF=40°,再由平行线的性质即可求得结论.

【解答】解：VDE=DF,ZF=20°,

；.NE=/F=20°,

ZCDF=ZE+ZF=40°,

：AB〃CE,

.•.ZB=ZCDF=40°,

故答案为：40°.

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角定理，平行线的性质，熟练掌握

这些性质是解决问题的关键.

5.（3分）（2016•昆明）如图，E,F,G,H分别是矩形ABCD各边的中点，AB=6,BC=8,

:则四边口形EFGH的面积是24.

4HD

【考点】中点四边形；矩形的性质.

【分析】先根据E,F,G,H分别是矩形ABCD各边的中点得出AH=DH=BF=CF,

AE=BE=DG=CG,故可得出△AEHgZXDGH04CGF丝Z\BEF,根据S四边形EFGH=S正方形-

4sAAEH即可得出结论.

【解答】解：F,G,H分别是矩形ABCD各边的中点，AB=6,BC=8,

；.AH=DH=BF=CF=8,AE=BE=DG=CG=3.

在^AEHVADGH中，

'AE=DG

NA=ND，

AH=DH

.二△AEH之△DGH（SAS）.

同理可得4AEH^ADGH^ACGF^ABEF,

••S四边形EFGH=S正方形-4sAAEH=6X8-4工1~义3义4=48-24=24.

2

故答案为:24.

【点评】本题考查的是中点四边形，熟知矩形的对边相等且各角都是直角是解答此题的关键.

6.(3分)(2016•昆明)如图，反比例函数y=k(k#0)的图象经过A,B两点，过点A作

X

ACJ_x轴，垂足为C,过点B作BDLx轴，垂足为D,连接AO,连接BO交AC于点E,

若OC=CD,四边形BDCE的面积为2,则k的值为-迈.

—3―

【考点】反比例函数系数k的几何意义；平行线分线段成比例.

【分析】先设点B坐标为(a,b),根据平行线分线段成比例定理，求得梯形BDCE的上下

底边长与高，再根据四边形BDCE的面积求得ab的值，最后计算k的值.

【解答】解：设点B坐标为(a,b),则DO=-a,BD=b

:AC_Lx轴，BD_Lx轴

；.BD〃AC

VOC=CD

.\CE=—BD=—b,CD=—DO=--a

2222

:四边形BDCE的面积为2

(BD+CE)xCD=2,即1(b+l-b)x(-Xa)=2

2222

•.•.a_b------1-6--

3

将B(a,b)代入反比例函数y=k(kRO),得

3

故答案为：-W

【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，解决问题的关键是运用数形结合的

思想方法进行求解.本题也可以根据4OCE与4ODB相似比为1：2求得△BOD的面积，

进而得到k的值.

二、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）

7.（4分）（2016•昆明）下面所给几何体的俯视图是（）

【考点】简单几何体的三视图.

【分析】直接利用俯视图的观察角度从上往下观察得出答案.

【解答】解：由几何体可得：圆锥的俯视图是圆，且有圆心.

故选：B.

【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键.

8.（4分）（2016•昆明）某学习小组9名学生参加“数学竞赛”，他们的得分情况如表:

人数（人）1341

分数（分）80859095

那么这9名学生所得分数的众数和中位数分别是（）

A.90,90B.90,85C.90,87.5D.85,85

【考点】众数；中位数.

【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均

数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，可得答案.

【解答】解：在这一组数据中90是出现次数最多的，故众数是90；

排序后处于中间位置的那个数是90,那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是90；

故选：A.

【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义.中位数是将一组数据从小到大（或从大

到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数.如

果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错.

9.（4分）（2016•昆明）一元二次方程X?-4x+4=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.无法确定

【考点】根的判别式.

【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出△=（）,由此即可得知该方程有两个相等的

实数根.

【解答】解：在方程x2-4x+4=0中，

△=（-4）2-4xlx4=0,

/.该方程有两个相等的实数根.

故选B.

【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是代入方程的系数求出△=（）.本题属于基础

题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式得正负确定方程解得个数是关键.

10.（4分）（2016•昆明）不等式组的解集为（）

[3x+2<4x

A.x<2B.x<4C.2<x<4D.x>2

【考点】解一元一次不等式组.

【分析】先求出每个不等式的解集，再根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集即可.

【解答】解：解不等式x-3<l,得：x<4,

解不等式3x+2g4x,得：x>2,

二不等式组的解集为：2Wx<4,

故选：C.

【点评】本题主要考查解一元一次不等式组的能力，熟练掌握不等式的性质准确求出每个不

等式的解集是解题的关键.

11.（4分）（2016•昆明）下列运算正确的是（）

A.（a-3）2=a2-9B.a2,a4=a8C.，^=±3D.-g=-2

【考点】同底数赛的乘法；算术平方根；立方根；完全平方公式.

【分析】利用同底数累的乘法、算术平方根的求法、立方根的求法及完全平方公式分别计算

后即可确定正确的选项.

【解答】解：A、（a-3）2=a2-6a+9,故错误；

B、a2«a4=a6,故错误；

C、A/9=3,故错误；

D、产-2,故正确，

故选D.

【点评】本题考查了同底数塞的乘法、算术平方根的求法、立方根的求法及完全平方公式，

属于基础知识，比较简单.

12.（4分）（2016•昆明）如图，AB为。O的直径，AB=6,AB,弦CD,垂足为G,EF切

。。于点B,ZA=30°,连接AD、OC、BC,下列结论不正确的是（）

A.EF/7CDB.△COB是等边三角形

C.CG=DGD.前的长为工兀

2

【考点】弧长的计算；切线的性质.

【分析】根据切线的性质定理和垂径定理判断A；根据等边三角形的判定定理判断B；根据

垂径定理判断C；利用弧长公式计算出前的长判断D.

【解答】解：：AB为。。的直径，EF切。O于点B,

，AB_LEF,又AB_LCD,

：.EF//CD,A正确；

：AB_^CD,

BC=BD,

ZCOB=2ZA=60°,又OC=OD,

.,.△COB是等边三角形，B正确；

；AB_^CD,

；.CG=DG,C正确；

黄的长为：60X7lX3=；i）口错误，

180

故选：D.

【点评】本题考查的是垂径定理、弧长的计算、切线的性质，掌握弧长的计算公式1=电红、

180

切线的性质定理以及垂径定理是解题的关键.

13.（4分）（2016•昆明）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车

先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车

学生速度的2倍.设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（）

A.A2-10=2OB.犯-以20C.AO-IP-AD.10-10=1

x2x2xxx2x32xx3

【考点】由实际问题抽象出分式方程.

【专题】方程与不等式.

【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了

20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得

到哪个选项是正确的.

【解答】解：由题意可得，

10_101

x2x3

故选C.

【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量

关系，列出相应的方程.

14.（4分）（2016•昆明）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点

E作EF〃AD,与AC、DC分别交于点G,F,H为CG的中点，连接DE,EH,DH,FH.下

列结论：

①EG=DF；®ZAEH+ZADH=180°；③△EHF四△DHC；④若处=2,贝ij3sAEDH=13SADHC,

AB3

其中结论正确的有（

A,D

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质.

【分析】①根据题意可知/ACD=45°,则GF=FC,贝l|EG=EF-GF=CD-FC=DF；

②由SAS证明△EHF丝Z\DHC,得至！J/HEF=/HDC,从而

ZAEH+ZADH=ZAEF+ZHEF+ZADF-ZHDC=180°；

③同②证明△EHF^ADHC即可；

④若杷贝l|AE=2BE,可以证明△EGH0△DFH,贝!|/EHG=NDHF且EH=DH,贝!|

AB3

ZDHE=90°,AEHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，设HM=x,则

DM=5x,DH=V26X,CD=6X,贝！|SADHC^~XHMXCD=3X2,SAEDH=—XDH2=13X2.

22

【解答】解：①：四边形ABCD为正方形，EF〃AD,

/.EF=AD=CD,ZACD=45°,ZGFC=90°,

/.△CFG为等腰直角三角形，

；.GF=FC,

：EG=EF-GF,DF=CD-FC,

；.EG=DF,故①正确；

②..•△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，

；.FH=CH,ZGFH=^ZGFC=45°=ZHCD,

2

fEF=CD

在4EHF和小DHC中，，NEFH=NDCH，

,FH=CH

.,.△EHF^ADHC(SAS),

/.ZHEF=ZHDC,

ZAEH+ZADH=ZAEF+ZHEF+ZADF-ZHDC=ZAEF+ZADF=180°,故②正确；

③,.•△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，

；.FH=CH,ZGFH=^ZGFC=45°=ZHCD,

2

'EFXD

在4EHF和^DHC中，＜NEFH=NDCH，

FH=CH

/.△EHF^ADHC(SAS),故③正确；

④...AE2,

AB3

.\AE=2BE,

•.•△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，

；.FH=GH,ZFHG=90°,

ZEGH=ZFHG+ZHFG=90°+ZHFG=ZHFD,

'EG=DF

在AEGH和ADFH中，，NEGH=NHFD，

GH=FH

.♦.△EGH之△DFH(SAS),

ZEHG=ZDHF,EH=DH,ZDHE=ZEHG+ZDHG=ZDHF+ZDHG=ZFHG=90°,

...△EHD为等腰直角三角形，

过H点作HM垂直于CD于M点，如图所示：

设HM=x,贝l|DM=5x,DH=A/26X,CD=6X,

贝!JSADHC=—XHMXCD=3X2,SAEDH=^XDH2=13X2,

22

3SAEDH=13SADHC,故④正确；

故选：D.

【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性

质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决

问题的关键.

三、综合题：共9题，满分70分

一]

15.（5分）（2016•昆明）计算：20160-|-&|+暂）+2sin45°.

【考点】实数的运算；零指数累；负整数指数累；特殊角的三角函数值.

【分析】分别根据零次累、实数的绝对值、负指数累及特殊角的三角函数值进行计算即可.

【解答】解：

一]

2016°-I-V2I+(y)+2sin45°

fcl-V2+(3力、2x返

2

=1-V2+3+V2

=4.

【点评】本题主要考查实数的计算，掌握实数的零次募、绝对值、负指数累及特殊角的三角

函数值是解题的关键.

16.（6分）（2016•昆明）如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E,DE=FE,FC/7AB

求证：AE=CE.

E

D

-------------------

【考点】全等三角形的判定与性质.

【专题】证明题.

【分析】根据平行线的性质得出NA=/ECF,ZADE=ZCFE,再根据全等三角形的判定定

理AAS得出△ADE^ACFE,即可得出答案.

【解答】证明：：FC〃AB,

/.ZA=ZECF,ZADE=ZCFE,

在4ADECFE中，

2DAE=NFCE

<NADE=NCFE，

tDE=FE

.'.△ADE^ACFE(AAS),

；.AE=CE.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理SSS、SAS、ASA、

AAS、HL是解题的关键.

17.(7分)(2016•昆明)如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,

4)

(1)请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△AiBiCi；

(2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2c2；

(3)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标.

【考点】作图-旋转变换；轴对称-最短路线问题；作图-平移变换.

【分析】(1)根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可;

(2))找出点A、B、C关于原点。的对称点的位置，然后顺次连接即可；

(3)找出A的对称点A1连接BA，，与x轴交点即为P.

【解答】解：(1)如图1所示：

(2)如图2所示：

（3）找出A的对称点A，（-3,-4）,

连接BA，，与x轴交点即为P；

如图3所示：点P坐标为（2,0）.

2

【点评】本题考查了利用平移变换作图、轴对称-最短路线问题；熟练掌握网格结构准确找

出对应点的位置是解题的关键.

18.(7分)(2016•昆明)某中学为了了解九年级学生体能状况，从九年级学生中随机抽取

部分学生进行体能测试，测试结果分为A,B,C,D四个等级，并依据测试成绩绘制了如

下两幅尚不完整的统计图；

(1)这次抽样调查的样本容量是50,并补全条形图；

(2)D等级学生人数占被调查人数的百分比为3^，在扇形统计图中C等级所对应的圆

心角为28.8。:

(3)该校九年级学生有1500人，请你估计其中A等级的学生人数.

【考点】条形统计图；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图.

【分析】(1)由A等级的人数和其所占的百分比即可求出抽样调查的样本容量；求出B等

级的人数即可全条形图；

(2)用B等级的人数除以总人数即可得到其占被调查人数的百分比；求出C等级所占的百

分比，即可求出C等级所对应的圆心角；

(3)由扇形统计图可知A等级所占的百分比，进而可求出九年级学生其中A等级的学生人

数.

【解答】解：

(1)由条形统计图和扇形统计图可知总人数=16・32%=50人，所以B等级的人数=50-16

-10-4=20人,

故答案为：50；

补全条形图如图所示：

50

在扇形统计图中C等级所对应的圆心角=8%x36(r=28.8。，

故答案为：8%,28.8；

(3)该校九年级学生有1500人，估计其中A等级的学生人数=1500'32%=480人.

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图

中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统

计图直接反映部分占总体的百分比大小.

19.(8分)(2016•昆明)甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1,2,

3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4,5的小球，它们的形状、大小完全相同，现

随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字.

(1)请用列表或树状图的方法(只选其中一种)，表示出两次所得数字可能出现的所有结果;

(2)求出两个数字之和能被3整除的概率.

【考点】列表法与树状图法；概率公式.

【分析】先根据题意画树状图，再根据所得结果计算两个数字之和能被3整除的概率.

【解答】解：(1)树状图如下：

开始

和：566778

(2)•.•共6种情况，两个数字之和能被3整除的情况数有2种，

•••两个数字之和能被3整除的概率为2,

6

即P(两个数字之和能被3整除)=1.

3

【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，解决问题的关键是掌握概率的计算公式.随机

事件A的概率P(A)等于事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数.

20.(8分)(2016•昆明)如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE,

在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30。，测得大楼顶端A的仰角为45。(点B,

C,E在同一水平直线上），已知AB=80m,DE=10m,求障碍物B,C两点间的距禺（结果

精确到0.1m）（参考数据：72=1.414,73=1.732）

口

口

口

口

口

口

口

口

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【分析】如图，过点D作DFLAB于点F,过点C作CHLDF于点H.通过解直角△AFD

得到DF的长度；通过解直角ADCE得到CE的长度，贝|BC=BE-CE.

【解答】解：如图，过点D作DFJ_AB于点F,过点C作CHLDF于点H.

则DE=BF=CH=10m,

在直角AADF中，：AF=80m-10m=70m,ZADF=45°,

；.DF=AF=70m.

在直角ACDE中，VDE=10m,ZDCE=30°,

.•.CE=―5^—=4^-=10J3(m),

tan30°返

3_

；.BC=BE-CE=70-10/3=70-17.32-52.7(m).

答：障碍物B,C两点间的距离约为52.7m.

□

□

□

□

□

□

B

【点评】本题考查了解直角三角形-仰角俯角问题.要求学生能借助仰角构造直角三角形并

解直角三角形.

21.（8分）（2016•昆明）（列方程（组）及不等式解应用题）

春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270

元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元.

（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？

（2）商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购

进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利

最大的进货方案，并确定最大利润.

【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用.

【分析】(1)设甲种商品每件的进价为X元，乙种商品每件的进价为y元，根据“购进甲商

品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元”可列出关于X、

y的二元一次方程组，解方程组即可得出两种商品的单价；

(2)设该商场购进甲种商品m件，则购进乙种商品(100-m)件，根据“甲种商品的数量

不少于乙种商品数量的4倍”可列出关于m的一元一次不等式,解不等式可得出m的取值范

围，再设卖完A、B两种商品商场的利润为w,根据“总利润=甲商品单个利润x数量+乙商品

单个利润x数量”即可得出w关于m的一次函数关系上，根据一次函数的性质结合m的取值

范围即可解决最值问题.

【解答】解：(1)设甲种商品每件的进价为x元，乙种商品每件的进价为y元，

2x+3尸270,解得:

依题意得:x=30

3x+2y=230y=70

答：甲种商品每件的进价为30元，乙种商品每件的进价为70元.

(2)设该商场购进甲种商品m件，则购进乙种商品(100-m)件，

由已知得：m>4(100-m),

解得：m>80.

设卖完A、B两种商品商场的利润为w,

则w=(40-30)m+(90-70)(100-m)=-10m+2000,

当m=80时,w取最大值，最大利润为1200元.

故该商场获利最大的进货方案为甲商品购进80件、乙商品购进20件，最大利润为1200元.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用以及解一元一次不等式，解题

的关键是：(1)根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组；(2)根据数量关系找出w

关于m的函数关系式.本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列

出方程(方程组、不等式或函数关系式)是关键.

22.(9分)(2016•昆明)如图，AB是。O的直径，ZBAC=90°,四边形EBOC是平行四边

形，EB交。。于点D,连接CD并延长交AB的延长线于点F.

(1)求证：CF是。O的切线；

(2)若NF=30。，EB=4,求图中阴影部分的面积(结果保留根号和兀)

【考点】切线的判定；平行四边形的性质；扇形面积的计算.

【分析】(1)欲证明CF是。。的切线，只要证明NCDO=90。，只要证明△COD乌ACOA

即可.

(2)根据条件首先证明△OBD是等边三角形，ZFDB=ZEDC=ZECD=30°,推出

DE=EC=BO=BD=OA由此根据S阴=2・SAAOC-S扇形OAD即可解决问题.

【解答】(1)证明：如图连接OD.

:四边形OBEC是平行四边形，

；.OC〃BE,

.'.ZAOC=ZOBE,ZCOD=ZODB,

VOB=OD,

.'.ZOBD=ZODB,

.*.ZDOC=ZAOC,

在^COD和^COA中，

'oc=oc

<NCOD=NCOA，

OD=OA

:•△COD之△COA,

.•.ZCAO=ZCDO=90°,

.'.CF±OD,

・・・CF是。O的切线.

(2)解：VZF=30°,ZODF=90°,

・•・ZDOF=ZAOC=ZCOD=60°,

VOD=OB,

.,.△OBD是等边三角形，

.'.ZDBO=60°,

VZDBO=ZF+ZFDB,

.'.ZFDB=ZEDC=30°,

VEC/7OB,

.*.ZE=180°-ZOBD=120°,

.•.ZECD=180°-ZE-ZEDC=30°,

二•EC二ED=BO=DB,

VEB=4,

.'.OB=OD=OA=2,

在RT^AOC中，VZOAC=90°,OA=2,ZAOC=60°,

・•・AC=OA«tan60°=2V3，

2

AS阴=2・SAAOC-S扇形OAD=2XJ_X2X2y-12QK,2=2y/3-

23603

【点评】本题考查切线的判定、全等三角形的判定和性质、扇形的面积公式、等边三角形的

判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，注意寻

找特殊三角形解决问题，属于中考常考题型.

23.(12分)(2016•昆明)如图1,对称轴为直线x=L的抛物线经过B(2,0)、C(0,4)

2

两点，抛物线与X轴的另一交点为A

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S,求S的最大值；

(3)如图2,若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q,使AMQC为等腰三

角形且AMQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【考点】二次函数综合题.

【分析】(1)由对称轴的对称性得出点A的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式；

(2)作辅助线把四边形COBP分成梯形和直角三角形，表示出面积S,化简后是一个关于

S的二次函数，求最值即可；

(3)画出符合条件的Q点，只有一种，①利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列

比例式；②在直角4OCQ和直角△CQM利用勾股定理列方程；两方程式组成方程组求解并

取舍.

【解答】解：(1)由对称性得：A(-1,0),

设抛物线的解析式为：y=a(x+1)(x-2),

把C(0,4)代入：4=-2a,

a=-2,

.*.y=-2(x+1)(x-2),

，抛物线的解析式为：y=-2x?+2x+4；

(2)如图1,设点P(m,-2m2+2m+4),过P作PD_Lx轴，垂足为D,

S=S梯形+SAPDB=Lm(-2m2+2m+4+4)+—(-2m2+2m+4)(2-m),

22

S=-2m2+4m+4=-2(m-1)2+6,

2<0,

，S有最大值，则S大=6；

(3)如图2,存在这样的点Q,使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形,

理由是：

设直线BC的解析式为：y=kx+b,

把B(2,0)、C(0,4)代入得：I2k+b-°,

lb=4

fk=-2

解得：，

直线BC的解析式为：y=-2x+4,

设M(a,-2a+4),

过A作AELBC,垂足为E,

则AE的解析式为：y=Lx+L,

22

则直线BC与直线AE的交点E(1.4,1.2),

设Q(-x,0)(x>0),

VAE//QM,

.,.△ABE^AQBM,

；L2=3①,

-2a+42+x

由勾股定理得：x2+42=2x[a2+(-2a+4-4)2]@,

由①②得：ai=4(舍)，a2=4,

3

当a=-^■时，x=—,

33

【点评】本题是二次函数的综合问题，综合性较强；考查了利用待定系数法求二次函数和一

次函数的解析式，并利用方程组求图象的交点坐标，将函数和方程有机地结合，进一步把函

数简单化；同时还考查了相似的性质：在二次函数的问题中，如果利用勾股定理不能求的边

可以考虑利用相似的性质求解.

考点卡片

1.相反数

(1)相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.

(2)相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互

为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等.

(3)多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个号结果为负，有偶数个号，结果

为正.

(4)规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加如a的相反

数是-a,m+n的相反数是-(m+n),这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用

小括号.

2.科学记数法一表示较大的数

(1)科学记数法：把一个大于10的数记成axlOn的形式，其中a是整数数位只有一位的数,

n是正整数，这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式：axl()n,其中lWa<10,n为

正整数.】

(2)规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位

数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n.

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此

法表示，只是前面多一个负号.

3.算术平方根

(1)算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数

x叫做a的算术平方根.记为a.

(2)非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本

身是非负数.

(3)求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平

方根时，可以借助乘方运算来寻找.

4.立方根

(1)定义：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说,

如果x'=a,那么x叫做a的立方根.记作：a3.

(2)正数的立方根是正数，0的立方根是0,负数的立方根是负数.即任意数都有立方根.

(3)求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数.

注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负

数都有唯一一个立方根.

【规律方法】平方根和立方根的性质

1.平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方

根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数,

0的立方根是0.

5.实数的运算

(1)实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

(2)在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、塞的运算、指数(特别是负整数指数，0指数)运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

6.同底数塞的乘法

(1)同底数暴的乘法法则：同底数募相乘，底数