Black-Scholes 期权定价模型

2024/5/212024/5/222024/5/23金融市场的构成2024/5/24证券市场中金融产品关系图金融工具股票期权期货债券权证备兑权证/结构化权证认股权证三、金融衍生产品简介金融衍生产品，从字面上理解自然是与金融相关的派生物，通常是指从原生资产〔英文为UnderlyingAssets〕派生出来的金融工具。

金融衍生产品交易具有杠杆效应、联动性和风险性大的特点。三、金融衍生产品简介

根据交易方法，可分为场内交易和场外交易。场内交易即是通常所指的交易所交易，指所有的供求方集中在交易所进行竞价交易的交易方式。场外交易即是柜台交易，指交易双方直接成为交易对手的交易方式，其参与者仅限于信用度高的客户。2024/5/29为什么研究衍生产品〔金融风险〕股市汇率金融衍生产品风险越来越大、科学问题越来越多风险度量2024/5/210工具2024/5/2112024/5/2122024/5/2132024/5/2142024/5/2152024/5/2162024/5/2172024/5/218期权定价公式在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时〔T时刻〕的期望值为：其现值为

2024/5/219证券价格的变化过程证券价格的变化过程可以用漂移率为μS、方差率为

的伊藤过程来表示(为何用布朗运动)两边同除以S得：2024/5/220两个概念：鞅与马氏过程条件期望测度变换Ito积分工具2024/5/221ChangeofMeasure212024/5/222TheoremLet(Ω,F,P)beaprobabilityspaceandletZbeanalmostsurelynonnegativerandomvariablewithEZ=1.ForAFdefine

Thenisaprobabilitymeasure.Furthermore,ifXisanonnegativerandomvariable,then

IfZisalmostsurelystrictlypositive,wealsohave

foreverynonnegativerandomvariableY.222024/5/223ConceptofTheorem232024/5/224ProofofTheorem(1)AccordingtoDefinition1.1.2,tocheckthatisaprobabilitymeasure,wemustverifythatandthatiscountablyadditive.WehavebyassumptionForcountableadditivity,letA1,A2,…beasequenceofdisjointsetsinF,anddefine,.Because

and,wemayusetheMonotoneConvergenceTheorem,Theorem1.4.5,towrite242024/5/225ProofofTheorem(2)But,andso

NowsupportXisanonnegativerandomvariable.IfXisanindicatorfunctionX=IA,then

whichis

WhenZ>0almostsurely,isdefinedandwemayreplaceXin

bytoobtain252024/5/226Definition26ConditionalExpectation2024/5/229ConditionalProbabilityDiscrete:ConditionalProbabilityMassFunction

Continuous:ConditionalProbabilityDensityFunction2024/5/230ConditionalExpectationDiscrete:Continuous:2024/5/231Note:ofy.Wewritethisasisafunctioni.e.(ConditionalExpectationFunction)2024/5/232Theorem:Clearly,whenYisdiscrete,WhenYiscontinuous,2024/5/233Proof:ContinuousCaseRecall,ifX,YarejointlycontinuouswithjointpdfDefine:

and2024/5/234Note:2024/5/235ContinuousCaseCont.(Fubini’sTheorem)2024/5/236So,Therefore,concluding2024/5/237Summary:WhenYisdiscrete,WhenYiscontinuous,ConditionalVariance2024/5/239Definition2024/5/240Proof2024/5/241Noteaswell…2024/5/242…addingg2024/5/243随机分析黎曼积分勒贝格积分Ito积分Stratonovich积分2024/5/244微积分号称三百多年来最伟大的数学，俨然成了无敌于天下的数学老大，然而当狄里克雷(Dirichlet)大侠将他的魔鬼狄里克雷函数从瓶子里放出来时，微积分却对之无可奈何。狄利克雷函数〔英语：dirichletfunction〕是一个定义在实数范围上、值域为0,1的不连续函数。当自变量x为有理数时，f(x)=1；自变量x为无理数时，f(x)=0。狄利克雷函数的图像关于Y轴成轴对称，是一个偶函数；它处处不连续；处处极限不存在；不可积分。这是一个处处不连续的可测函数。2024/5/245性质定义在整个数轴上。无法画出图像。以任何正有理数为其周期〔从而无最小正周期〕。处处无极限、不连续、不可导。在任何区间上不黎曼可积。是偶函数。它在[0,1]上勒贝格可积作为很多事情的反例，这个函数在任意一点都不存在极限且是以任意有理数为周期的周期函数〔有理数相加得有理数，无理数加有理数还是无理数〕，同时这个函数在积分上也有应用，该函数黎曼不可积，而在其它一些积分中是可积的。2024/5/246让经典微积分感到恐惧的不仅仅是这样极端病态的函数，在人们施展微积分这门武功去对付各种自然科学中的问题时也会显得心有余而力缺乏。例如，当我们试图将积分与极限交换顺序时，极限号始终无法穿越那拉长了脸令人望而生畏的S.事实上，一个黎2024/5/2472024/5/248

先研究一个特殊情形：求与直线所围的平面图形的面积S2024/5/249(1)分割将曲边梯形分割为等高的小曲边梯形分割梯形分割x轴分割定义域“等分〞“等分〞10等分等分2024/5/250即把定义域[0，1]等分成n个小区间：过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：∴曲边梯形面积2024/5/251〔2〕近似代替第i个曲边梯形当时，我们可以把小曲边梯形近似看成什么图形？又如何计算每个近似图形的面积？这样给我们研究问题带来了哪些帮助？请同学们相互讨论。〔用矩形代替曲边梯形〕2024/5/252〔3〕求和2024/5/253〔4〕取极限分别将区间[0，1]等分成8，16，32，…1024,……等份〔如以下图〕,可以看到，当即时，从而有

2024/5/254区间[0，1]的等分数nS的近似值20.1250000040.2187500080.27343750160.30273450320.31787109640.325561521280.329437262560.331382755120.3323574110240.3328452120480.33308923……我们还可以从数值上可以看出这一变化趋势〔请见表〕2024/5/255

求定积分

解由于被积函数x2在积分区间[a,b]上连续，故定积分存在。将区间[0,1]n等分，分点为，各小区间长度都为，取ξi为各区间的右端点，即积分和为现在，所以λ→0相当于n→∞，对上式取极限，得2024/5/2562024/5/2572024/5/258

上述两个积分根本解决了连续可微函数的分割求和问题，然后对于不可微函数〔比方布朗运动〕，这两个积分就相形见绌了。只能引入Ito积分和Stratonovich积分。

一条布朗运动的轨迹,从数学上来说处处连续而处处不可微,它的积分可否认义?

答案是可以,但是不能采用通常的Riemann积分的定义.举个例子,假设B是一个布朗运动,随机过程Y的定义如下:

dY=B*dB

我们可以用两种方式离散化这个连续随机方程:

(1)Y_{k+1}=Y_{k}+B_{k}*(B_{k+1}-B_{k})

(2)Y_{k+1}=Y_{k}+B_{k+1}*(B_{k+1}-B_{k})

也就是说,我们分别取每个小区间内的函数的左端值和右端值.对于通常的光滑函数的Riemann积分这无所谓,因为当区间大小趋于0时,两种方式给出同样的极限.为了方便比照,我们来考察两种方式下的平均值<Y_{T}>.(初条件Y_{0}=0,B_{0}=0.)

(1)我们知道布朗运动是个Markov过程,也就是说每一次的位移不依赖过去的历史轨迹.所以我们有<B_{k}*(B_{k+1}-B_{k})>=0.所以<Y_{T}>=0.

(2)这里要用到一个不是很难证明的事实:<B_{i}*B_{j}>=min{i,j}.应用这个定理我们得到<B_{k+1}*(B_{k+1}-B_{k})>=1.所以<Y_{T}>=T.2024/5/259

两个极限会差异如此之大,这是个很有趣的事实.它迫使我们必须指定每个区间内的函数取值的方法.事实上,取左端值,便是最常用的Ito积分.取中点值,便是Stratonovich积分.

由于黎曼积分和Ito积分应用广泛，特列举它们的异同如下：

1.因为w是随机变动的,所以黎曼和的极限不存在.因此在Itointegral中的最后一步是因为均方收敛而得到.

2.Itointegral在定义积分式时,被积函数在小区间上只能取左端点,这与普通积分可任意取不同.

3.Itointegral的结果通常不满足普通积分中的Newton-Leibniz公式。2024/5/2602024/5/2612024/5/2622024/5/263两者关系？？？2024/5/2642024/5/2662024/5/267HarryMarkowitzsharedtheNobelmemorialprizein1990withWilliamF.SharpeandMertonH.Miller.

MertonH.MillerWilliamF.SharpeHarryM.Markowitz"fortheirpioneeringworkinthetheoryoffinancialeconomics"

2024/5/268不要把所有的鸡蛋放在同一个篮子里2024/5/269

Markowitz均值－方差模型expectedreturn:variance:Efficientfrontierofportfolio(

≥0or

≥0)

2024/5/270一般形式：

Efficientfrontierofportfolio(0≤w≤1)2024/5/271期权定价研究LouisJean-BaptisteAlphonseBachelier

(March11,1870–April28,1946)[1]

wasa

French

mathematicianattheturnofthe20thcentury.Heiscreditedwithbeingthefirstpersontomodelthe

stochasticprocessnowcalled

Brownianmotion,whichwaspartofhisPhDthesis

TheTheoryofSpeculation,(published1900).Histhesis,whichdiscussedtheuseofBrownianmotiontoevaluate

stockoptions,ishistoricallythefirstpapertouseadvancedmathematicsinthestudyof

finance.Thus,Bachelierisconsideredapioneerinthestudyof

financialmathematics

andstochasticprocesses.2024/5/272期权定价研究2024/5/273期权定价研究2024/5/274保罗·萨缪尔森保罗·萨缪尔森〔PaulA.Samuelson，1915年5月15日－2021年12月13日〕:当代凯恩斯主义的集大成者,经济学的最后一个通才，美国诺贝尔经济学奖第一人萨缪尔森是第一位获得诺贝尔经济学奖的美国经济学家，他的经典著作?经济学?以四十多种语言在全球销售超过四百万册，是全世界最畅销的教科书，影响了整整一代人。也正是他的这本著作，将西方经济学理论第一次系统地带进中国，并使这种思考方式和视野在中国落地生根。萨缪尔森在经济学领域中可以说是无处不在，被称为经济学界的最后一个通才。美联社当天在报道中总结萨缪尔森一生主要成就时说：他将数学分析方法引入经济学，帮助经济困境中上台的肯尼迪政府制定了著名的“肯尼迪减税方案〞，并且写出了一部被数百万大学生奉为经典的教科书。萨缪尔森出身于一个经济学世家，他的侄子正是美国总统奥巴马首席经济参谋萨默斯，而兄弟罗伯特、妹妹安妮塔也都是知名经济学家。萨缪尔森自一九四0年以来一直就任于麻省理工学院,他的逝世令许多昔日学生和友人唏嘘不已。麻省理工学院校长苏珊·霍克菲尔德十三日说：萨缪尔森“改变了他接触的一切〞。2024/5/275期权定价研究2024/5/276罗伯特·默顿〔RobertC.Merton，1944-)2024/5/277罗伯特·默顿〔RobertC.Merton，1944-)2024/5/2781997年他获得了诺贝尔经济学奖，这正是对他在期权定价理论方面作出的杰出奉献的肯定。罗伯特·默顿〔RobertC.Merton，1944-)2024/5/2791997年他获得了诺贝尔经济学奖，这正是对他在期权定价理论方面作出的杰出奉献的肯定。罗伯特·默顿〔RobertC.Merton，1944-)2024/5/280期权定价研究2024/5/281期权定价研究2024/5/282期权定价研究2024/5/283期权定价研究从而Black、Scholes以及Merton三人共同开创的期权定价理论给整个现代金融市场的理论带来了一场革命，被誉为“华尔街的第二次革命〞。此后，期权定价理论得到了飞速开展。到目前为止，期权家族已经开展成为拥有数千种不同形式的衍生证券，产生了许多新型期权。2024/5/284DarrellDuffie

JamesDarrellDuffie

isaCanadianeconomist.HeistheDeanWitterDistinguishedProfessorofFinanceat

StanfordGraduateSchoolofBusiness,andhasbeenonthe

finance

facultyatStanfordsincereceivinghisPh.D.fromStanfordin1984.Heisconsideredbymanytobeoneofthemostinfluentialfinancialeconomists

ofhisera.Heistheauthorof

FuturesMarkets,

DynamicAssetPricingTheory

and

CreditRisk,with

KennethSingleton.In2003,DuffiewasawardedtheSunGard/IAFEFinancialEngineeroftheYearAwardfromtheInternationalAssociationofFinancialEngineers.Hehasservedontheeditorialboardofmanyjournals,including

Econometrica.Heisalsoafellowofthe

EconometricSociety.2024/5/285StevenS.GKou2024/5/286SamuelKou2024/5/287SamuelKou2024/5/288YaozhongHu已经发表SCI索引论文100余篇，代表作：2024/5/289等等，等等

还漏了大人物End偷偷告诉你们一句2024/5/290伊藤清

伊藤清〔1915年9月7日－2021年11月10日〕，日本数学家，日本学士院院士。为解释布朗运动等伴随偶然性的自然现象，伊藤清提出了伊藤公式，这成为随机分析这个数学新分支的根底定理。伊藤的成果于20世纪80年代以后在金融领域得到广泛应用，他因此被称为“华尔街最有名的日本人〞。伊藤是日本学上院会员〔1991〕，曾获日本学上院赏恩赐赏〔1978〕.因在概率论方面的奠基性工作而获1987年Wolf奖〔陈省身〕。伊藤清曾获得京都奖、文化功绩者等奖项或荣誉称号。国际数学家联合会在2002年决定设立以德国数学王子高斯命名的“高斯奖〞。2006年的首届“高斯奖〞就颁发给了伊藤清。2024/5/291伊藤清

2021年日本著名数学家伊藤清因呼吸系统衰竭11月10日逝世，享年93岁。2024/5/2922024/5/293BrownianMotion2024/5/2952024/5/2962024/5/2972024/5/2982024/5/2992024/5/21002024/5/2101n=1000;

dt=1;

y=[0cumsum(dt^0.5.*randn(1,n))];%standardBrownianmotion

plot(0:n,y);Black-Scholes期权定价模型2024/5/2113概述2024/5/21142024/5/2115B-S模型证明思路ITO引理ITO过程B-S微分方程B-S买权定价公式2024/5/2116维纳过程根据有效市场理论，股价、利率和汇率具有随机游走性，这种特性可以采用Wienerprocess，它是Markovstochasticprocess的一种。对于随机变量w是Wienerprocess，必须具有两个条件：在某一小段时间Δt内，它的变动Δw与时段满足Δt〔13.1〕2.

在两个不重叠的时段Δt和Δs,Δwt和Δws是独立的，这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！〔13.2〕有效市场2024/5/2118满足上述两个条件的随机过程，称为维纳过程，其性质有当时段的长度放大到T时〔从现在的0时刻到未来的T时刻〕随机变量Δwt的满足证明：2024/5/2120在连续时间下，由〔13.1〕和〔13.2〕得到〔13.3〕〔13.4〕所以，概率分布的性质以上得到的随机过程，称为维纳过程。2024/5/2121ITO定理一般维纳过程(GeneralizedWienerprocess)可表示为〔13.5〕显然，一般维纳过程的性质为2024/5/2122一般维纳过程仍缺乏以代表随机变量复杂的变动特征。漂移率和方差率为常数不恰当假设把变量xt的漂移率a和方差率b当作变量x和时间t的函数，扩展后得到的即为ITO过程2024/5/2123B-S期权定价模型是根据ITO过程的特例－几何布朗运动来代表股价的波动省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程〔13.6〕证券的预期回报与其价格无关。2024/5/2124ITO定理：假设某随机变量x的变动过程可由ITO过程表示为〔省略下标t〕令f(x,t)为随机变量x以及时间t的函数，即f(x,t)可以代表以标的资产x的衍生证券的价格，那么f(x,t)的价格变动过程可以表示为〔13.7〕证明：将〔13.7〕离散化由〔13.1〕知利用泰勒展开，忽略高阶段项，f(x,t)可以展开为〔13.8〕在连续时间下，即因此，〔13.8〕可以改写为〔13.9〕从而即Δx2不呈现随机波动！〔13.10〕由〔13.10〕可得〔13.11〕由〔13.11〕得到〔13.12〕

由于Δx2不呈现随机波动，所以，其期望值就收敛为真实值，即当Δt→0时，由〔13.9〕可得■B-S微分方程假设标的资产价格变动过程满足这里S为标的资产当前的价格，令f(s,t)代表衍生证券的价格，那么f(x,t)的价格变动过程可由ITO引理近似为2024/5/2131那么该组合的收益为2024/5/2132下面将证明该组合为无风险组合，在Δt时间区间内收益为注意到此时Δπ不含有随机项w，这意味着该组合是无风险的，设无风险收益率为r，且由于Δt较小〔不采用连续复利〕，那么整理得到B-S微分方程的意义2024/5/2135几何布朗运动与对数正态分布2024/5/2136令那么这样由伊藤引理得到即2024/5/2137由〔13.1〕2024/5/2138那么称ST服从对数正态分布，其期望值为所以2024/5/2139B-S买权定价公式2024/5/2140B-S买权定价公式推导〔13.13〕2024/5/2141〔13.14〕由〔13.13〕和〔13.14〕得到〔13.15〕根据B-S微分方程可知，定价是在风险中性条件下，那么资产的期望回报为无风险回报，那么2024/5/2142〔2〕在风险中性的条件下，任何资产的贴现率为无风险利率r，故买权期望值的现值为〔13.16〕2024/5/2143由于ST服从对数正态分布，其pdf为〔13.17〕第1项第2项将由(13.16)得到2024/5/2144〔3〕化简〔13.17〕中的第1、2项，先化简第1项〔13.18〕当前时刻价格，不是变量2024/5/2145〔13.19〕2024/5/2146将〔13.19〕与〔13.18〕内的第2个指数项合并，即〔13.20〕2024/5/2147将〔13.20〕代入〔13.18〕下面，将利用变量代换来简化〔13.21〕，不妨令〔13.21〕2024/5/21482024/5/2149y的积分下限为y的积分上限为2024/5/2150将dy与y代入〔13.21〕，即有这样就完成了第1项的证明。〔13.22〕2024/5/2151下面证明B-S公式中的第2项，首先进行变量代换，令2024/5/2152那么z的积分下限z的积分上限2024/5/2153将z和dz代入〔13.23〕2024/5/2154那么由〔13.22〕和〔13.23〕得到其中2024/5/2155pr0dN(d)例如:当d＝1.96时,N(d)＝913.5%2024/5/2156B-S买权公式的意义N(d2)是在风险中性世界中ST大于X的概率，或者说式欧式看涨期权被执行的概率。

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