分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理用A~Z或0~9给教室的座位编号有多少不同的号码?分析:

给座位编号有2类方法,

第一类方法,用英文字母，有26种号码;

第二类方法,用阿拉伯数字，有10种号码;

所以有26+10=36

种不同号码.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。一天中，火车有4班，汽车有2班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?分析:

从甲地到乙地有2类方法,

第一类方法,乘火车，有4种方法;

第二类方法,乘汽车，有2种方法;

所以从甲地到乙地共有4+2=6

种方法.你能说出这两个问分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法两类中的方法不相同例在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到,A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体如下:A大学生物学

化学

医学

物理学

工程学B大学数学

会计学

信息技术学

法学这名同学可能的专业选择共有多少种?分析:两大学只能选一所一专业,且没有共同的强项专业54+=9这名同学可能的专业选择共有9种从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4班,汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?分析:

从甲地到乙地有3类方法,

第一类方法，乘火车，有4种方法;

第二类方法，乘汽车，有2种方法;

第三类方法，乘轮船，有3种方法;所以从甲地到乙地共有4+2+3=9种方法.完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法。那么完成这件事共有

m1+m2+m3

种方法.做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿种不同的方法N=m1+m2+…+mn

用前6个大写英文字母和1~9个阿拉伯数字,以A1,A2,,B1,B2

的方式给教室的座位编号.有多少不同的号码?A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A99种B1234567899种6×9=54如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?A村B村C村北南中北南分析:

从A村经B村去C村有2步,

第一步,由A村去B村有3种方法,

第二步,由B村去C村有2种方法,所以从A村经B村去C村共有3×2=6

种不同的方法你能说出这两个问分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.例设某班有男生30名,女生24名.现要从中选出男、女各一名代表班级参加比赛,共有多少种不同的选法?分两步进行选取男女3024×=720再根据分步乘法原理若再要从语,数,英三科科任老师中选出一名代表参加比赛,那又共有多少种选法?老师3×=2160如果完成一件事需要三个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,做第3步有m3种不同的方法,那么完成这件事共有_________________种不同的方法.N=m1×m2×m3做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有_____________________种不同的方法.N=m1×m2×…×mn

例书架第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.(1)从书架中取1本书,有多少种不同取法?有3类方法,根据分类加法计数原理N=4+3+2=9(2)从书架第1,2,3层各取1本书,有多少种不同取法?分3步完成,根据分步乘法计数原理N=4×3×2=24解题关键：从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”.再根据其对应的计数原理计算.练习要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有多少种不同的挂法?分两步完成左边右边甲乙丙乙丙甲丙甲乙32第一步第二步×在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？分析1:

按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是:1个,2个,3个,4个,5个,6个,7个,8个.根据加法原理共有1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).分析2:

按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是:8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.根据加法原理共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个)练习

加法原理

乘法原理联系区别一完成一件事情共有n类办法，关键词是“分类”完成一件事情,共分n个步骤，关键词是“分步”区别二每类办法都能独立完成这件事情。每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事情，缺少任何一步也不能完成这件事情，只有每个步骤完成了，才能完成这件事情。分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题。区别三各类办法是互斥的、并列的、独立的各步之间是相关联的分类计数与分步计数原理的区别和联系：一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,

6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复)?首位数字不为0的密码数是多少?首位数字是0的密码数又是多少?

分析:

按密码位数,从左到右

依次设置第一位、第二位、第三

位,需分为三步完成;

第一步,m1=10;

第二步,m2=10;

第三步,m3=10.

根据乘法原理,共可以设置

N=10×10×10=103

种三位数的密码。练习答:首位数字不为0的密码数是

N=9×10×10=9×102

种,

首位数字是0的密码数是

N=1×10×10=102

种。

由此可以看出,

首位数字不为0的密码数与首位数字是0的密码数之和等于密码总数。问:若设置四位、五位、六位、…、十位等密码,密码数分别有多少种？答:它们的密码种数依次是104,105,106,……种。如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?练习解:按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,

第一步,m1=3种,

第二步,m2=2种,

第三步,m3=1种,

第四步,m4=1种,所以根据乘法原理,得到不同的涂色方案种数共有N=3×2×1×1=6种。如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?练习问:若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢?答:它们的涂色方案种数分别是0,4×3×2×2=48,5×4×3×3=180种。如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?练习如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？AB分类完成分步完成解:

从总体上看由A到B的通电线路可分二类,

第一类,m1=4

条第二类,m3=2×2=4,条所以,根据加法原理,从A到B共有

N=4+4=8条不同的线路可通电.……ABm1m2mn…...ABm1m2mn点评:乘法原理看成“串联电路”加法原理看成“并联电路”;如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条?A1B1C1D1ACDB练习

解:如图,从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,第一类,m1=1×2=2条第二类,m2=1×2=2条第三类,m3=1×2=2条所以,根据加法原理,从顶点A到顶点C1最近路线共有N=2+2+2=6条。A1B1C1D1ACDB如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通,从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？练习解:从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法,

第一类,由甲经乙去丙,又需分两步,所以

m1=2×3=6种不同的走法;

第二类,由甲经丁去丙,也需分两步,所以

m2=4×2=8种不同的走法;

所以从甲地到丙地共有N=6+8=14种不同的走法。加法原理和乘法原理的共同点是什么？不同点什么？加法原理乘法原理相同点它们都是研究完成一件事情,共有多少