人教A版数学选修2－1练习第二章圆锥曲线与方程2.4.1

第二章2.4A级基础巩固一、选择题1．在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线x＋2y＝3的距离相等的点的轨迹是eq\x(导学号9662738)(A)A．直线 B．抛物线C．圆 D．双曲线[解析]∵点(1,1)在直线x＋2y＝3上，故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x＋2y＝3垂直的直线．2．抛物线y2＝4x的焦点到其准线的距离是eq\x(导学号9662738)(C)A．4 B．3C．2 D．1[解析]∵抛物线的方程为y2＝4x，∴2p＝4，p＝2.由p的几何意义可知，焦点到其准线的距离是p＝2.故选C．3．抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0的对称曲线的焦点坐标为eq\x(导学号9662738)(B)A．(1,0) B．(－1,0)C．(eq\f(1,16)，0) D．(0，－eq\f(1,16))[解析]由题意可得：抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0对称的抛物线方程为：(－y)2＝4(－x)，即y2＝－4x，其中p＝2，所以抛物线的焦点坐标为(－1,0)．故选B．4．过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为eq\x(导学号9662738)(D)A．圆 B．椭圆C．直线 D．抛物线[解析]如图，设点P为满足条件的一点，不难得出结论：点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，故点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，故点P的轨迹为抛物线，因此选D．5．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为eq\x(导学号9662738)(D)A．2 B．3C．4 D．5[解析]解法一：∵y＝4，∴x2＝4·y＝16，∴x＝±4，∴A(±4,4)，焦点坐标为(0,1)，∴所求距离为eq\r(42＋4－12)＝eq\r(25)＝5．解法二：抛物线的准线为y＝－1，∴A到准线的距离为5，又∵A到准线的距离与A到焦点的距离相等．∴距离为5．6．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点的距离为eq\x(导学号9662738)(B)A．12 B．8C．6 D．4[解析]∵点P到y轴的距离为6，∴点P到抛物线y2＝8x的准线x＝－2的距离d＝6＋2＝8，根据抛物线的定义知点P到抛物线焦点的距离为8．二、填空题7．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为__－eq\f(1,8)__.eq\x(导学号9662738)[解析]抛物线方程化为标准形式为x2＝eq\f(1,a)y，由题意得a<0，∴2p＝－eq\f(1,a)，∴p＝－eq\f(1,2a)，∴准线方程为y＝eq\f(p,2)＝－eq\f(1,4a)＝2，∴a＝－eq\f(1,8)．8．沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝ax反射后，与x轴相交于点A(2,0)，则抛物线的准线方程为__x＝－2__(提示：抛物线的光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行).eq\x(导学号9662738)[解析]由直线y＝－2平行于抛物线的轴知A(2,0)为焦点，故准线方程为x＝－2．三、解答题9．若抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M点的横坐标及抛物线方程.eq\x(导学号9662738)[解析]∵点M到对称轴的距离为6，∴设点M的坐标为(x,6)．又∵点M到准线的距离为10，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(62＝2px，,x＋\f(p,2)＝10.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝9，,p＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,p＝18.))故当点M的横坐标为9时，抛物线方程为y2＝4x．当点M的横坐标为1时，抛物线方程为y2＝36x．10．求顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(－2,3)的抛物线的标准方程.eq\x(导学号9662738)[解析]∵点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝2p′y(p′>0)，又点(－2,3)在抛物线上，∴p＝eq\f(9,4)，p′＝eq\f(2,3)，∴抛物线方程为y2＝－eq\f(9,2)x或x2＝eq\f(4,3)y．B级素养提升一、选择题1．(浙江湖州2017－2018学年期末调研)抛物线y2＝x的焦点坐标是eq\x(导学号9662738)(B)A．(eq\f(1,2)，0) B．(eq\f(1,4)，0)C．(0，eq\f(1,2)) D．(0，eq\f(1,4))[解析]由y2＝x知P＝eq\f(1,2)，∴焦点坐标为(eq\f(1,4)，0)，故选B．2．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4eq\r(2)x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4eq\r(2)，则△POF的面积为eq\x(导学号9662738)(C)A．2 B．2eq\r(2)C．2eq\r(3) D．4[解析]抛物线C的准线方程为x＝－eq\r(2)，焦点F(eq\r(2)，0)，由|PF|＝4eq\r(2)及抛物线的定义知，P点的横坐标xP＝3eq\r(2)，从而yP＝±2eq\r(6)，∴S△POF＝eq\f(1,2)|OF|·|yP|＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×2eq\r(6)＝2eq\r(3)．3．已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为eq\x(导学号9662738)(D)A．eq\f(5\r(2),2) B．eq\f(5\r(2),2)＋1C．eq\f(5\r(2),2)－2 D．eq\f(5\r(2),2)－1[解析]设抛物线焦点为F，过P作PA与准线垂直，垂足为A，作PB与l垂直，垂足为B，则d1＋d2＝|PA|＋|PB|－1＝|PF|＋|PB|－1，显然当P、F、B三点共线(即P点在由F向l作垂线的垂线段上)时，d1＋d2取到最小值，最小值为eq\f(5\r(2),2)－1．二、填空题4．已知点A(0,2)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，线段FA交抛物于点B，过B点作l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p＝__eq\r(2)__.eq\x(导学号9662738)[解析]由抛物线的定义可得BM＝BF，F(eq\f(P,2)，0)，又AM⊥MF，故点B为线段FA中点，即B(eq\f(p,4)，1)，所以1＝2p×eq\f(p,4)⇒p＝eq\r(2)．5．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,0)关于原点O对称．点P(x0，y0)在抛物线y2＝4x上，且直线AP与BP的斜率之积等于2，则x0＝__1＋eq\r(2)__.eq\x(导学号9662738)[解析]∵点B与点A(－1,0)关于原点O对称，∴B(1,0)，根据题意，得eq\f(y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－1)＝2，又yeq\o\al(2,0)＝4x0，∴2x0＝xeq\o\al(2,0)－1，即xeq\o\al(2,0)－2x0－1＝0，解得x0＝eq\f(2±\r(8),2)＝1±eq\r(2)，舍去负值，得x0＝1＋eq\r(2)．三、解答题6．求适合下列条件的抛物线的标准方程：eq\x(导学号9662738)(1)过抛物线y2＝2mx的焦点F作x轴的垂线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝6；(2)抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点P(－5，2eq\r(5))到焦点的距离是6．[解析](1)设抛物线的准线为l，交x轴于K点，l的方程为x＝－eq\f(m,2)，如图，作AA′⊥l于A′，BB′⊥l于B′，则|AF|＝|AA′|＝|FK|＝|m|，同理|BF|＝|m|.又|AB|＝6，则2|m|＝6．∴m＝±3，故所求抛物线方程为y2＝±6x．(2)设焦点F(a,0)，|PF|＝eq\r(a＋52＋20)＝6，即a2＋10a＋9＝0，解得a＝－1或a＝－9.当焦点为F(－1，0)时，p＝2，抛物线开口方向向左，其方程为y2＝－4x；当焦点为F(－9,0)时，p＝18，抛物线开口方向向左，其方程为y2＝－36x．7．一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为am，求使卡车通过的a的最小整数值.eq\x(导学号9662738)[解析]以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系，则B点的坐标为(eq\f(a,2)，－eq\f(a,4))，如图所示，设隧道所在抛物线方程为x2＝my，则(eq\f(a,2))2＝m·(－eq\f(a,4))，∴m＝－a，即抛物线方程为x2＝－ay．将(0.8，y)代入抛物线方程，得0．82＝－ay，即y＝－eq\f(0.82,a)．欲使卡车通过隧道，应有y－(－eq\f(a,4))>3，即eq\f(a,4)－eq\f(0.82,a)>3，由于a>0，得上述不等式的解为a>12.21，∴a应取13．C级能力拔高(2017·福州市八县一中高二期末)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，且经过点(2,3).eq\x(导学号9662738)(1)求双曲线C的标准方程和其渐近线方程；(2)设直线l经过点(0，－1)，且斜率为k.求直线l与双曲线C有两个公共点时k的取值范围．[分析](1)解法一：求出双曲线的焦点坐标，利用双曲线定义求出a，然后求双曲线C的方程，渐近线方程．解法二：利用已知条件列出方程组，求出a，b，然后求双曲线C的方程，渐近线方程．(2)联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1,3x2－y2＝3))利用Δ＞0，求出－2＜k＜2，结合渐近线求解k的范围即可．[解析](1)解法一：由已知，双曲线的焦点为(－2,0)和(2,0)，据定义有：2a＝|eq\r(2＋22＋3－02)|－eq\r(2－22＋3－02)＝2⇒a＝1．故a2＝1，c2＝4，b2＝3，从而所求双曲线C的方程为x2－eq\f(y2,3)＝1．其渐近线方程为：y＝±eq\r(3)x．解法二：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)－\f(9,b2)＝1,a2＋b2＝4))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝1,b2＝3))，故所求双曲线C的