新教材高中数学第三章函数3函数的应用一学案新人教B版必修第一册

函数的应用(一)

新课程标准解读核心素养

1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学

数学建模、数学运算

语言和工具

2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化

数学建模、数学运算

规律

随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具.下面是某地一汽车销售

公司对近三年的汽车销售量的统计表：

年份201820192020

销量/万辆81830

结合以上三年的销量及人们生活的需要，2021年初，该汽车销售公司的经理提出全年

预售43万辆汽车的目标……

［问题］(1)在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用什么方式获取直观信

息？

⑵你认为该目标能够实现吗?

知识点常见的几类函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型f(x)=ax-\'b{a,8为常数，aWO)

二次函数模型f^x)=ax+bx~\~c{a,b,c为常数，HWO)

fi(Q，zW©i

22(最9xGDz

分段函数模型f(力=<

••＞点w点、・

求解函数应用题的程序

1.某物体一天中的温度7与时间《满足函数关系：7(t)=t3-3t+60,时间的单位是

小时，温度的单位是℃,2=0表示中午12：00,其前t值为负，其后t值为正，则上午8

时的温度是()

A.8℃B.12℃

C.58℃D.18℃

解析：选A求上午8时的温度，即求£=—4时的值，所以7(—4)=(-4”-3X(一

4)+60=8.故选A.

2.甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动，m

nr

n乙

O

丙车最先到达终点，丁车最后到达终点.若甲、乙两车的S-力图像如图所示，则对于丙、

丁两车的图像所在区域，判断正确的是()

A.丙在III区域，丁在I区域B.丙在I区城，丁在III区域

c.丙在II区域，丁在I区域D.丙在iii区域，丁在n区域

解析：选A由图像可得相同时间内丙车行驶路程最远，丁车行驶路程最近，即丙在m

区域，丁在I区域，故选A.

3.某商品进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1

元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个元.

解析：设涨价x元，销售的利润为y元，

则y=(50+为一45)(50—2x)=—2/+401+250

=-2(X-10)2+450,

所以当x=10,即销售价为60元时，y取得最大值.

答案：60

一次函数模型的应用

［例1］(链接教科书第122页例2)某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元,卖

出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(以

30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社

买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所

获得利润最大，每月最多可获利多少元？

［解］设每天从报社买进x份(250WxW400)报纸；每月所获利润是y元，则每月售出

报纸共(20x+10X250)份；每月退回报社报纸共10X(x—250)份.

依题意得y=(0.40-0.24)X(20^+10X250)—(0.24-0,08)X10(x—250).

即y=0.16(20x+2500)-0.16(10^-2500),

化简得尸1.6x+800(其中250WE400).

,此一次函数(y=Ax+6,A=0)的"=1.6>0,

是一个单调增函数，再由250W;s<400知当x=400时，y取得最大值，此时y=

1.6X400+800=1440(元).

...每天从报社买进400份报纸时所获利润最大，每月最多可获利1440元.

利用一次函数模型解决实际问题的2个注意点

(1)待定系数法是求一次函数解析式的常用方法；

(2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函

数.

［跟踪训练］

车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3500辆次，其中电动车保管费是每辆

一次0.5元，自行车保管费是每辆一次0.3元.

(1)若设自行车停放的辆次为x,总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系

式；

(2)若估计前来停放的3500辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于25%,但

不大于40%,试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围.

解：(1)由题意得

尸0.3x+0.5(3500—==一0.2x+l750(x^N*且0WxW3500).

(2)若电动车的辆次数不小于25%,但不大于40%,则

3500X(1-40%)<J<3500X(1-25%),

即2100^J<2625.

画出函数y=-0.2x+l750(2100WW2625)的图像(图略)，可得函数尸一0.2x+l

750(2100WxW2625)的值域是［1225,1330］,即收入在1225元至1330元之间.

2^二次函数模型的应用

［例2］(链接教科书第122页例3)渔场中鱼群的最大养殖量为成加>0),为了保证鱼

群的生长空间，实际养殖量x小于血以便留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y和实

际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k(k>

0).

(1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；

(2)求鱼群年增长量的最大值.

m—vm—v

［解］⑴根据题意知，空闲率是2故y关于x的函数关系式是/=依•二0W

n

/、।/、，m—xk,k(mk„.,m,

(2)由(1)知，y=kx•--------x9+kx=•x--+—,GWxVm,贝!J当时，y

mmm\2.)42

-"口­mk

取得取大值，加*=1.

所以鱼群年增长量的最大值为亍.

二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题，是高考考查的重

点.解题时，建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性

等来求函数的最值，从而解决实际问题.

［跟踪训练］

将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，一天可卖出100个.若这种商品的销售

单价每涨1元，日销售量减少10个，为了获得最大利润，此商品的销售单价应定为多少元？

解:设销售单价定为X元，则日销售量减少(X—10)X10个，那么，日销售个数就成了

100-(x—io)X10=200—10x个.

设获利为y元，则

y=(x—8)X(200—1Ox)

=10(—x?+28x—160)

=-10(J-14)2+360,

当x=14时，％ax=360.

所以为了获得最大利润，此商品的销售单价应定为14元.

E对勾函数模型的应用

［例3］(链接教科书第123页例5)某工厂有一段旧墙长14m,现准备利用这段旧墙为

一面建造一个平面图形为矩形，占地面积为126的厂房，工程条件是：①建1m新墙的

费用为a元；②修1m旧墙的费用为:元；③拆去1m旧墙，用所得的材料建1m新墙的费

用为楙元.经讨论有两种方案：(D利用旧墙的一段颍15〈14)为矩形厂房的一面；(2)矩形厂

房利用旧墙的一面边长X214.问如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙总费用最省？(1)(2)

两种方案哪个更好？

［解］易知矩形厂房中与旧墙相邻的一面的边长为当m.设建墙总费用为y元.

X

(1)利用旧墙的一段加(点14)为矩形厂房的一面，则修旧墙的费用为x元，将剩余的

旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14—x)元，

其余建新墙的费用为14%元.

故总费用为尸:•a+宁・a+,+等T4).=

(0<X14).

Y36

当且仅当彳=一，即x=12时，p取得最小值，%in=35a

4x

o7

⑵若矩形厂房利用旧墙的一面边长X214,则修旧墙的费用为"14=1a阮)，建新墙

的费用为(2了十卓一14)a元，

故总费用为y=-7a+\(2x+~25^2—14：\\a=7-a+2(^+-]2-6-7\、(x214).

1Q/2

令/tx)=x+—(x214),设14WX2〈X1,贝！！

x

(矛1至—126)

为+m）=（…）

X\X2

•.T4W吊〈不,「.Xi—至＞0,不用＞126.

xi^2—126

从而>0,

XxX2

126,126

・・矛1--->x+---.

X12X2

...函数f（x）=x+T在［14,+8）上为增函数.

故当x=14时，p取得最小值，先行=57己+2q（14+不12■6—7、）=35.5a

综上可知，采用方案（1）,利用12nl的旧墙为矩形厂房的一面时，建墙总费用最省，为

353jG•

形如y=x+?a＞0）的函数模型，我们称之为“对勾函数”模型，它是一个奇函数，在（一

8,—和［/，+8）上是增函数，在［―0）和（0,，©上是减函数，应用此函数模

型求解最值时，要注意自变量的最值范围及取得最值的条件.

［跟踪训练］

某工厂拟建一座平面图为矩形且占地面积为200平方米的三级污水处

理池（平面图如图所示）.如果池子四周围墙建造单价为400元/米，中间两

道墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米,,水池所用墙的厚度忽略不计.

（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；

（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使

总造价最低，并求出最低总造价.

解：设污水处理池的长为x米，总造价为y元，则宽为v米，则有

,、200200259200

(1)y=2xX400+—X2X400+——X2X248+80X200=800^+------+1600022

XXX

y800x•259200,,

-------+16000=2X14400+16000=44800,

x

259200

当且仅当800x=即x=18时，p取得最小值.

x

，当污水处理池的长为18米，宽为一“米时总造价最低，最低总造价为44800元.

⑵：。〈后16,O〈WW16,•••12.5WA16.

(324'

令O(x)=尸800卜十二-+16000(12.5WxW16).

取任意矛1,生£［12.5,16］,设矛i>如

800(xi-X2)(xi至一324)

则0(矛1)—0(范)=800-------------------------<0,

X1X2

「・0（矛1）<0（X2）,故函数0（X）在［12.5,16］上单调递减,

从而有0（x）20（16）=45000,

・・・当污水处理池的长为16米，宽为12.5米时总造价最低，最低总造价为45000元.

分段函数模型的应用

［例4］（链接教科书第121页例1）小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业,

经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入

流动成本为『（X）万元，在年产量不足8万件时，/（X）=；/+x（万元）.在年产量不小于8

O

万件时,/（x）=6x+丁一38（万元）.每件产品售价为5元.通过市场分析,小王生产的商

品能当年全部售完.

（1）写出年利润〃x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收

入一固定成本一流动成本）

（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

［解］（1）因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，

依题意得：当0VxV8时，

当才28时，£(x)=5x—(6x+^~^\(1100'

38I―3=35一1x+*

0VxV8,

所以£(x)=<

x28.

(2)当0<xV8时，£(x)=一；(x—6)?+9.

此时，当x=6时，£（x）取得最大值£（6）=9万元,

100

当时，L{x)=35-1^+―k35-2—=35-20=15,

x

当且仅当k丁时等号成立，

即x=10时，£(x)取得最大值15万元.

因为9<15,所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最

大利润为15万元.

1.现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分

段函数是刻画现实问题的重要模型.

2.分段函数的每一段自变量变化所遵循的规律不同，因此可以先将其看成几个问题，

将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.

［跟踪训练］

某市有46两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，/俱乐部

每块场地每小时收费6元；8俱乐部按月付费，一个月中20小时以内(含20小时)每块场地

收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元，某企业准备下个月从这两家俱乐部

中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时.

(1)设在/俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12W启30),在6俱乐

部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12W启30),试求f(x)与g(x)的解析式；

(2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？

解：(l)f(x)=6x,12^^30.

［90,12W后20,

g(x)—|

〔50+2x,20K30.

⑵①当12WE20时，6x=90,解得x=15,

当12W当15时，f(x)<g(x)；

当x=15时，f(x)=g(x)；

当15〈xW20时，f(x)>g(x).

②当20〈xW30时,f(x)〉g(x).

...当12Wx〈15时，选/俱乐部比较合算；

当x=15时，两家俱乐部一样合算；

当15〈矛(30时，选8俱乐部比较合算.

1.随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y(g/m3)

与大气压强x(kPa)成正比例函数关系.当x=36kPa时，y=108g/m3,则y与x的函数关

系式为()

A.y=3x(x20)B.y—3x

1,、、1

C.y=-x{x^O）D.y=~x

oo

解析：选A由题意设y=4x（AW0）,将（36,108）代入解析式可得A=3,故尸3x,考

虑到含氧量不可能为负，可知xNO.

2.某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元（不满三分钟按三分钟计算），以后每

加一分钟增收0.10元（不满一分钟按一分钟计算），那么某人打市话用时550秒，应支付电

话费（）

A.1.00元B.0.90元

C.1.20元D.0.80元

解析：选B尸0.2+0.IX（［x］—3）（［x］是不小于x的最小整数，x>3）,令故

[^r]=10,则y=0.9.

3.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为了降低消耗，现要

从这些边角料上截取矩形铁片（如图所示）.当截取的矩形面积最大时，

矩形两边的长x,P应为（）

A.x=15,y=12

B.x=12,y=15

C.x=14,y=10

D.x=10,y=14

Y24—v4x

解析：选A结合题图，可得指=