数系的扩充和复数的概念 高一下学期数学人教A版（2019）必修二

数系的扩充和复数的概念教学目标

了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程;（重点）01

理解在数系的扩充中的实数集扩展到复数集出现的一些基本概念;（重点）02

掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.（重点）03

理解复数的分类.（重点、难点）04认真对待复数不承认复数发现复数问题始于古希腊丢番图时期，求解一元二次方程.1545年，卡尔丹（意）在《重要的艺术》中，求解某些一元三次方程时无法回避.引入解方程方法1：用三次方程求根公式（卡尔丹公式）．解得：解得：得到：方法2：用因式分解．16世纪数学家的困惑引入接受复数认真对待复数不承认复数发现复数问题始于古希腊丢番图时期，求解一元二次方程.1545年，卡尔丹（意）在《重要的艺术》中，求解某些一元三次方程时无法回避.18世纪末，韦塞尔（丹麦），给出了复数的几何表示.引入在解决这些问题的过程中，数学家们遇到的最大困扰就是：

负实数能不能开平方？如何开平方？负实数开平方的意义是什么？引入笛卡尔Descartes法国卡尔丹Cardano

意大利1545年，卡尔丹

引入负数的平方根；1637年，笛卡儿

给出“虚数”的名称；1777年，欧

拉

首次使用符号i表示－1的平方根；1831年，高

斯

主张用a＋bi表示复数；...高斯Gauss德国欧拉Euler瑞士复数概念的产生问题1

从方程的角度看，负实数能不能开平方，实际上就是方程x2=-a（a＞0）有没有解的问题．追问

x2+1=0在实数集中无解，能否引入新数，适当地扩充实数集，使这个方程在新数集中有解呢？能不能把这类问题再进一步简化，最终转化为最简单的方程x2+1=0有没有解的问题呢？引入问题2

我们把一个数集连同规定的运算以及满足的运算律叫做一个数系.回顾从自然数系逐步到实数系的扩充过程，每一次数系扩充的主要原因是什么？分别解决了什么实际问题和数学问题？探究新知被“数”出来的自然数远古时期的人类用划痕、堆石、结绳记数，创造了自然数1,2,3,4,5……自然数是现实世界最基本的数量，是全部数学的发源地.计数的需要自然数被“亏”出来的负数随着社会发展，出现商品交易.一个商人上午卖海鲜赚了5两银子，下午海鲜死了，亏了7两银子.该如何记账呢？负数的引入，解决了在数集中不够减的矛盾.相反量的需要负整数被“分”出来的分数等额公平分配的需要分数分数的引入,解决了在整数中不能整除的矛盾.二桃杀三士春秋时齐景公将两个桃子赐给公孙接、田开疆、古冶子论功而食，三人弃桃自杀.事见春秋·齐·晏婴《宴子春秋·谏下》，比喻借刀杀人.边长为1的正方形的对角线长是多少?毕达哥拉斯（约公元前560—480年）11?度量计算的需要无理数被“推”出来的无理数无理数的引入解决了开方开不尽的矛盾.

古希腊毕达哥拉斯学派发现了勾股定理，该学派相信万物都是整数或者整数之比，那么两条几何线段长度之间的比值，其结果也必然是整数之比.约2500年前毕氏学派的弟子希帕索斯发现了一个惊人的事实，若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数，这与“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭.希帕索斯最终为此付出生命的代价，将一腔热血献祭给了第一次数学危机.探究新知数的扩充都是为了解决生产生活中的问题.问题2

我们把一个数集连同规定的运算以及满足的运算律叫做一个数系.回顾从自然数系逐步到实数系的扩充过程，每一次数系扩充的主要原因是什么？分别解决了什么实际问题和数学问题？自然数集整数集有理数集实数集刻画相反意义的量引入了负数解决测量等分问题引入了分数解决度量正方体对角线等问题引入了无理数计数的需要引入了自然数？从社会实践来看引入新数追问

借助下面的方程，你能从解方程的角度说明数系扩充的原因吗？

从数学发展的角度来看数系的每一次扩充解决了原有数集中某种运算不能解决的问题．（2）在整数集中求方程2x-1=0的解；（3）在有理数集中求x2-2=0方程的解；

（4）在实数集中求x2+1=0方程的解．？集有解（1）在自然集中求方程x+1=0的解；自然数集无解整数集内有解有理数集内有解整数集内无解有理数集内无解实数集内有解实数集内无解问题3

可以看出，数集的每一次扩充，都是在原来数集的基础上添加“新数”得到的，引入新数就要引入新运算，如果没有运算，数集中的数只是一个个孤立的符号。加法和乘法运算是上述数系中最基本的运算。探究新知

梳理从自然数系逐步扩充到实数系的过程，数系的每一次扩充，加法和乘法运算满足的“性质”有一致性吗？由此你能梳理数系扩充遵循的“规则”吗？探究新知数系扩充规则：数集扩充后，新数集中规定的加法和乘法运算，与原数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律．有理数集运算交换律结合律分配律交换律结合律分配律引入了无理数＋（－）×（÷）＋（－）×（÷）实数集运算律问题4

类比从自然数集到实数集的扩充过程，特别是从有理数集到实数集的扩充过程，你能设想一种方法，使方程x2+1=0有解吗？历史上，新数i是瑞士著名数学家欧拉在1777年首次提出的，他用了“imaginary”一词的首字母，本意是这个数是虚幻的.我们把这个数称为“虚数单位”

我们可以引入一个数“i”，使i2=-1，这样x=i就是方程x2+1=0的解．

实数新数i加法运算乘法运算a+ibia+bi(a，b∈R)3+i2i3+2i依据规则：在新数集中规定的加法运算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致．问题5根据上述规则，你能说出实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成吗？你能写出新数的一般形式吗？问题6阅读教科书，回答以下问题：（2）什么是虚数和纯虚数？试举出具体例子（1）复数a+bi(a,b∈R）的虚数单位、实部、虚部分别是指什么？探究新知1.复数的概念形如a+bi

(a,b∈R)的数叫做复数.i

叫做虚数单位.全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R)2.复数的代数形式a叫做复数的实部b叫做复数的虚部注意：复数z的实部和虚部都是

数.-3实1.设复数z=a+bi

(a,b∈R)时，一定要有a,b∈R，否则不能说实部为a，虚部为b；2.虚部是复数代数形式中i的实数系数，不含i，不能说虚部为bi；3.复数不能比较大小，若两个复数可以比较大小，则这两个复数必定都是实数；注意：

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－－－说出下列复数的实部和虚部：

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－－－2.指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.为什么？(a，b，c，d∈R)问题7

我们知道复数集是由形如a+bi(a，b∈R)的数组成的，为了保证集合中元素的互异性（确定性），我们需要明确集合中两个元素相等的含义，请阅读教科书，说说两个复数相等的含义．判断两个复数是否相等，就要考虑它们的实部和虚部是否分别相等！3.求满足下列条件的实数x，y的值.

练习－－－－－－－

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－－－复数相等的定义，既是判断相等的依据，也是求某些复数值的依据.复数的分类复数实数：虚数：纯虚数：非纯虚数：复数集C虚数集实数集R纯虚数集问题8

我们已经将实数集扩充到复数集，你能对复数a+bi(a，b∈R)进行分类，并用韦恩图表示它们之间的关系吗？显然，实数集R是复数集C的真子集，即RC.这样，复数z=a+bi