专题09圆的方程（2个知识点4种题型）

专题09圆的方程（2个知识点4种题型）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.圆的定义知识点2.圆的方程【方法二】实例探索法题型1.圆的标准方程及其求法题型2.点与圆的位置关系题型3.圆的一般方程及其求法题型4.与圆有关的动点的轨迹方程【方法三】成果评定法【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.圆的定义圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．知识点2.圆的方程1．圆的标准方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圆心C（a，b），半径为r．特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：x2+y2＝r2．其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．【解题思路点拨】已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下：（1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；（2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组；（3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可．另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程．【命题方向】可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a，b，r值的求解可能和直线与圆的位置关系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度．在解答题中，圆的标准方程作为基础考点往往出现在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，找出a，b，r的值或解得圆的一般方程再进行转化．2．圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）其中圆心坐标为（﹣，﹣），半径r＝．3．圆的一般方程的特点：（1）x2和y2系数相同，且不等于0；（2）没有xy这样的二次项．以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圆的必要非充分条件．【方法二】实例探索法题型1.圆的标准方程及其求法【例1】．（2022秋•阿拉善左旗校级期末）已知圆心为（﹣2，3）的圆与直线x﹣y+1＝0相切，则该圆的标准方程是（）A．（x+2）2+（y﹣3）2＝8 B．（x﹣2）2+（y+3）2＝8 C．（x+2）2+（y﹣3）2＝18 D．（x﹣2）2+（y+3）2＝18【分析】根据题意，设该圆的半径为r，由点到直线的距离公式求出圆的半径，由圆的标准方程形式分析可得答案．【解答】解：根据题意，设该圆的半径为r，而要求圆与直线x﹣y+1＝0相切，则r＝d＝＝2，即要求圆的半径为2，则要求圆的方程为（x+2）2+（y﹣3）2＝8；故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，注意直线与圆相切时所满足的条件是圆心到直线的距离等于半径，属于基础题．【变式】（2023秋·四川巴中·高二统考期末）已知圆C过点，当圆C到原点O的距离最小时，圆C的标准方程为______．【答案】【分析】根据圆的几何性质可知圆C到原点O的距离最小时，则，进而联立直线方程可得圆心坐标，即可求解.【详解】由可得线段中点坐标为，又，所以垂直平分线的方程为，所以圆心C在线段垂直平分线上，当圆C到原点O的距离最小时，则,所以直线方程为，联立，所以圆心,又半径,故圆的方程为：故答案为：题型2.点与圆的位置关系【例2】（2022秋•长宁区校级期末）已知点（1，1）在圆x2+y2+ax+a＝0外，则实数a的取值范围为（）A．（﹣1，+∞） B．（﹣1，0） C．（﹣1，0）∪（4，+∞） D．（﹣∞，0）∪（4，+∞）【分析】由题意可得关于a的不等式，求解得答案．【解答】解：∵点（1，1）在圆x2+y2+ax+a＝0外，∴a2﹣4a＞0，且12+12+a+a＞0，解得﹣1＜a＜0或a＞4．∴实数a的取值范围为（﹣1，0）∪（4，+∞）．故选：C．【点评】本题考查点与圆的位置关系，考查运算求解能力，是基础题．【变式】（2022秋•越秀区期末）已知圆C：x2+y2﹣2mx+2m+3＝0的一条切线过点P（2，1），则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，﹣1）∪（3，4） C．（3，4） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，4]【分析】根据二元二次方程表示圆、P点在圆C外或圆上，列不等式来求得m的取值范围．【解答】解：方程x2+y2﹣2mx+2m+3＝0表示圆，则（2m）2﹣4（2m+3）＞0，m2﹣2m﹣3＝（m﹣3）（m+1）＞0，解得m＜﹣1或m＞3，由于圆C的一条切线过点P（2，1），所以22+12﹣4m+2m+3＝8﹣2m≥0，m≤4，所以m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，4]．故选：D．【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，考查转化能力，属于基础题．题型3.圆的一般方程及其求法【例3】（2022秋•阜南县期末）已知三角形ABC的顶点坐标分别为：A（﹣1，5），B（5，5），C（6，﹣2），求其外接圆的方程．【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，分别把所给的点的坐标代入，求出D、E、F的值，可得圆的一般方程．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，分别把点（﹣1，5），（5，5）（6，﹣2）代入可得，解得，故x2+y2﹣4x﹣2y﹣20＝0．【点评】本题主要考查利用待定系数法求圆的一般方程，属于基础题．【变式】（2023春·安徽·高二校联考开学考试）已知直线过点，且与轴分别交于点，为等腰直角三角形．(1)求的方程；(2)设为坐标原点，点在轴负半轴，求过，，三点的圆的一般方程．【答案】(1)或(2)【分析】（1）设直线方程为，分别解出两点坐标和，利用解出的值即可；（2）设圆的一般方程为，将点代入解方法组即可.【详解】（1）因为直线过点，所以设直线为，，令，得，所以令，得，所以，又因为为等腰直角三角形，所以，得，解或，当时直线过原点，不满足题意，故直线的方程为或，即或.（2）由题意可知直线的方程为，即，设圆的方程为，将，，代入得，解得，所以所求圆的方程为.题型4.与圆有关的动点的轨迹方程【例4】（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）已知定点，P是圆上的一动点，Q是AP的中点，则点Q的轨迹方程是_______________.【答案】【分析】运用相关点法求轨迹方程，设出P、Q两点坐标，表示出两点横纵坐标关系式，代入点P满足的圆的方程即可.【详解】如图所示，设，，则，①因为Q为AP的中点，所以，②所以由①②得：，即：，所以点Q的轨迹方程为：.故答案为：.【变式】（2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点.(1)求圆的方程；(2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出圆心的坐标和圆的半径，即得解；（2）设点，，由得，代入圆的方程即得解.【详解】（1）由题意可知，的中点为，，所以的中垂线方程为，它与轴的交点为圆心，又半径，所以圆的方程为；（2）设，，由，得，所以，又点在圆上，故，所以，化简得的轨迹方程为【方法三】成功评定法一、单选题1．（2023秋·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出圆心坐标以及圆的半径，即可得出圆的标准方程.【详解】因为圆以为直径，所以圆心的坐标为，半径为，圆的标准方程为.故选：B.2．（2023秋·高二课时练习）求以为圆心，且经过点的圆的一般方程（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，利用两点间的距离公式求得圆的半径，写出圆的标准方程，进而得到圆的一般方程，得到答案.【详解】由题意得，圆的半径，所以圆的方程为，所以圆的一般方程为.故选：C.3．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高二乌市一中校考期中）若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】是直角三角形,故线段的中点即为外接圆的圆心，利用中点坐标公式求解.【详解】由题得是直角三角形，且.所以的外接圆的圆心就是线段的中点，由中点坐标公式得.故选：A4．（2023·全国·高二专题练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（

）A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1【答案】A【分析】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆．【详解】将代入圆方程，得，解得或2，当时，，舍去，所以.故选：A．5．（2023秋·浙江舟山·高二舟山中学校考阶段练习）若，则方程表示的圆的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由圆的一般方程表示圆的条件计算即可.【详解】由题意可知：，解之得，又，所以.故选：C6．（2023秋·辽宁沈阳·高二沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）方程表示一个圆，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】化简方程为，根据圆的标准方程，得到不等式，即可求解.【详解】由方程，可化为，要使得方程表示一个圆，则满足，解得，所以实数的取值范围为.故选：A.7．（2023秋·辽宁鞍山·高二校联考阶段练习）方程表示的曲线是以为圆心，为半径的圆，则的值分别为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求得圆的标准方程，再转化为一般方程，从而求得.【详解】以为圆心，为半径的圆的标准方程为，即，所以.故选：D8．（2023·江苏·高二专题练习）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】D【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标.【详解】设点，则线段的中点为，圆的半径为，所以，以为直径为圆的方程为，即，即，由，解得或，因此，以为直径的圆经过定点坐标为、.故选：D.二、多选题9．（2023秋·吉林长春·高二校考阶段练习）已知圆的方程为，则圆上的点有（）A． B． C． D．【答案】BD【分析】将点的坐标代入方程，检验方程是否成立，即可判断.【详解】因为圆，对于A：，所以点不在圆上；对于B：，所以点在圆上；对于C：，所以点不在圆上；对于D：，所以点在圆上；故选：BD10．（2023秋·陕西西安·高二校考阶段练习）若曲线是一个圆，则的取值可以是（

）A． B． C．2 D．6【答案】AD【分析】根据方程表示圆求参数范围即可.【详解】因为曲线表示圆，所以，解得或.故选：AD11．（2023秋·广西河池·高二校联考阶段练习）已知方程，则下列说法正确的是（

）A．方程表示圆，且圆的半径为1时，B．当时，方程表示圆心为的圆C．当时，方程表示圆且圆的半径为D．当时，方程表示圆心为的圆【答案】ACD【分析】若方程表示圆，把一般方程化为标准方程，根据方程成立的条件，验证各选项.【详解】由题意，方程，可化为，若方程表示圆，则圆的圆心坐标为，半径，中，当时，可得，所以正确；中，当时，此时半径为，所以错误；中，当时，表示的圆的半径为，所以正确；中，当时，此时半径大于0，表示圆心为的圆，所以正确；故选：ACD．12．（2023秋·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考阶段练习）若有一组圆：，下列命题正确的是（

）A．所有圆的半径均为2B．所有的圆的圆心恒在直线上C．当时，点在圆上D．经过点的圆有且只有一个【答案】AB【分析】根据圆的标准方程和性质逐项判断求解；【详解】选项A:，，故选项正确；选项B:根据可得，圆心为，在，故选项正确；选项C:当时，，代入不满足方程，故选项错误；选项D:代入得：即有两个解，故选项错误；故选：AB.三、填空题13．（2023秋·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考阶段练习）若的三个顶点分别是，，，则的外接圆的标准方程为.【答案】【分析】设圆的方程为，然后将的坐标代入求解即可.【详解】设圆的方程为，因为的三个顶点分别是，，，所以，解得，所以圆的方程为，即，故答案为：.14．（2022秋·山东泰安·高二新泰市第一中学校考阶段练习）已知圆经过三点，则圆的方程为【答案】【分析】设圆的方程为，代入点的坐标，列出方程组，求得的值，即可求解.【详解】设圆的方程为，因为圆经过三点，可得，解得，所以所求圆的方程为.故答案为：.15．（2023秋·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）已知点在圆的外部，则k的取值范围是.【答案】【分析】根据二元二次方程表示圆的条件以及点在圆外，列出不等式求解，即得答案.【详解】由题意圆满足，点在圆的外部，得，即的取值范围是故答案为：16．（2023秋·河北保定·高二定州市第二中学校考阶段练习）若圆关于直线对称，则此圆的半径为．【答案】【分析】即圆心在直线上，代入解出即可求.【详解】因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，得，得，所以，半径为．故答案为：．四、解答题17．（2023秋·河南郑州·高二校考阶段练习）已知三角形ABC的三个顶点分别为，，，求(1)边上的高所在直线的方程；(2)三角形外接圆的方程【答案】(1)(2)【分析】（1）由直线的位置关系得斜率后求解点斜式方程，（2）由待定系数法求解．【详解】（1）由题意得斜率，则上的高所在直线斜率为，方程为，即（2）设外接圆的方程为，则，解得，则圆方程为，即18．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知直线，一束光线从原点射出，经反射．(1)写出原点到反射光线距离的取值范围（只写结果即可，不需要写出求解过程）；(2)若反射光线平分，求入射光线对应的直线方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据点关于线对称的性质，结合反射的性质进行求解即可；（2）根据点关于线对称的性质，结合配方法进行求解即可.【详解】（1）设原点关于的对称点坐标为，所以有，因此原点关于的对称点坐标为，如图，当入射光线方向为方向时，到反射光线的距离取最小值0；因为直线的斜率为，所以反射光线斜率不等于，故到反射光线的距离取不到，可无限接近，故原点到反射光线距离的取值范围是．（2）由，得的标准方程为，故反射光线过圆心．设关于的对称点为，则解得故入射光线的直线方程为．.

19．（2023秋·江西九江·高二九江市同文中学校考阶段练习）已知直线经过点，圆.(1)若圆关于直线对称，求直线的方程；(2)若直线平行于直线，求直线关于点的对称直线的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）由圆的对称性可知，直线l过圆心，结合直线的斜率公式及点斜式方程即可求得结果.（2）由两直线平行可得直线l的方程，求出点关于点对称的点，由直线l与直线关于点对称可得，再结合直线的点斜式方程求解即可.【详解】（1）由可得圆的圆心，半径，因为圆关于直线l对称，所以直线l过圆心，又直线l过点，所以直线l斜率为，由点斜式方程可得，即.故直线l方程为.（2）由题意知，直线l斜率为，则由点斜式方程可得，即，因为直线l与直线关于点对称，所以，又因为点关于点对称的点，直线过点，则由点斜式方程可得，即.故直线方程为.20．（2022秋·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，．(1)求以AB为直径的圆的方程；(2)若直线经过点A，且点B到直线的距离为，求直线的一般式方程．【答案】(