函数的奇偶性讲义-高一上学期数学人教A版

函数的奇偶性【知识要点】偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有，那么f(x)就叫做偶函数．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有，那么f(x)就叫做奇函数．注意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．，则此函数即不是奇函数，也不是偶函数.二．具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．【例题解析】例1判别下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）f(x)＝x,x∈[2,3].(4).小结：判别方法，先看定义域是否关于原点对称，再计算，并与小结：判别方法，先看定义域是否关于原点对称，再计算，并与进行比较.（1）f(x)＝x＋；（2）f(x)＝|x＋1|+|x－1|；(3)既是奇函数也是偶函数,求证:.例3.（1）已知是上的偶函数，且当时，，则的解析式为.（2）已知是上的奇函数，且当时，，则的解析式为.例4.若，且，求.例5．已知f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数，判断f(x)的(∞,0)上的单调性，并给出证明.变式：已知f(x)是偶函数，且在[a,b]上是减函数，试判断f(x)在[b,a]上的单调性，并给出证明.※知识拓展由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.※知识拓展：奇函数的一个性质证明：奇函数在处有定义，则，即图象一定经过原点.【随堂检测】1.对于定义域是R的任意奇函数有（）.A． B．C． D．2.已知是定义上的奇函数，且在上是减函数.下列关系式中正确的是（）A. B.C. D.3.下列说法错误的是（）.A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数，又是偶函数D.既不是奇函数，又不是偶函数4．下列说法①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)其中正确的数是5.函数的奇偶性是.6.已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[7,3]上是函数，且最值为.函数的奇偶性课后练习1．函数的奇偶性是（）A．奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值是5，那么f(x)在区间[7,3]上是()A.增函数且最小值是5B.增函数且最大值是5C.减函数且最小值是5D.减函数且最大值是53.若函数为奇函数，则必有A．B.C.D.4．已知f（x）是奇函数，当x＞0，f（x）=x（1x），则当x＜0时，f（x）等于（）A．x（x+1）B.x（x1）C．x（1x）D.x（1+x）5.已知是偶函数，且其定义域为，则_____，_______6.判断下列函数的奇偶性：eq\o\ac(○,1)；eq\o\ac(○,2)；eq\o\ac(○,3)（）eq\o\ac(○,4)7.已知函数对一切，都有，（1）求证：是奇函数；（2）若，用表示．在上是奇函数,试确定的解析式.§5·函数的基本性质习题课问题1：如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数？问题2：如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数的定义？【例1】已知函数.（1）判断的奇偶性，并证明；（2）讨论的单调性，并证明.【例2】利用函数的性质，作函数的图像.※知识拓展对勾函数：形如这样的函数，称作对勾函数，由图像得名。性质：（1）奇函数（2）增区间：和，；（3）减区间：和变化趋势：在y轴左边，增减，在y轴右边，减增，是两个勾。【例3】作出函数y＝x－2|x|－3的图象，指出单调区间及单调性.小结：利用偶函数性质，先作y轴右边，再对称作.变式：y＝|x－2x－3|的图象如何作？反思：如何由的图象，得到、的图象？※知识拓展形如与的含绝对值的函数，可以化分段函数分段作图，还可由对称变换得到图象.的图象可由偶函数的对称性，先作y轴右侧的图象，并把y轴右侧的图象对折到左侧.的图象，先作的图象，再将x轴下方的图象沿x轴对折到x轴上方.【例4】1.已知是定义上的奇函数，且在上是减函数.下列关系式中正确的是A. B.C. D.2.已知是定义上的奇函数，且在上是减函数.下列关系式中正确的是A. B.C.