2023-2024学年浙江省杭州市下城区启正中学七年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年浙江省杭州市下城区启正中学七年级（下）月考数学试卷（3月份）一、单项选择（每题3分，共10小题，共30分）1．（3分）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（）A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、对顶角 C．对顶角、同位角、同旁内角 D．同位角、内错角、同旁内角2．（3分）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（）A．平行或相交 B．平行或垂直 C．平行、垂直或相交 D．相交或垂直3．（3分）下面的计算，不正确的是（）A．5a3﹣a3＝4a3 B．2m×3n＝6m+n C．（﹣am）2＝a2m D．﹣a2×（﹣a）3＝a54．（3分）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（）A． B． C． D．5．（3分）如图，在下列给出的条件中，能判定EF∥AB的是（）A．∠4＝∠3 B．∠1＝∠4 C．∠1＝∠B D．∠4+∠2＝180°6．（3分）二元一次方程3x+y＝15的正整数解共有（）组．A．3 B．4 C．5 D．67．（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝x°，∠2＝y°，则∠3的度数为（）A．（x﹣y）° B．（180﹣x﹣y）° C．（180﹣x+y）° D．（x+y﹣90）°8．（3分）图1是由3个相同小长方形拼成的图形其周长为24cm，图2中的长方形ABCD内放置10个相同的小长方形，则长方形ABCD的周长为（）A．32cm B．36cm C．48cm D．60cm9．（3分）一次数学活动中，为检验纸带①、②的边线是否平行，小明和小丽采用了两种不同的方法：小明把纸带①沿AB折叠，量得∠1＝∠2＝50°；小丽把纸带②沿GH折叠，发现GD与GC重合，HF与HE重合，且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（）A．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 B．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行 C．纸带①、②的边线都平行 D．纸带①、②的边线都不平行10．（3分）已知a，b，c为正整数，且满足2a×3b×4c＝384，则a+b+c的取值不可能是（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题（每题3分，共6小题，共18分）11．（3分）|m﹣2|x+3y|m﹣1|＝23是关于x，y的二元一次方程，则m＝．12．（3分）如图将△ABC沿BC方向平移3cm，△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为．13．（3分）如图，某个足球由32块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮可看作正五边形，白皮可以看作正六边形，黑，白皮块的数目比为3：5，设白皮有x块，黑皮有y块，则可列方程组为．14．（3分）若关于x，y的二元一次方程的解也是二元一次方程2x+3y＝12的解，则k的值为．15．（3分）已知：如图，射线OP∥AE，若∠A＝m°，依次作出∠AOP的角平分线OB，∠BOP的角平分线OB1，∠B1OP的角平分线OB2，∠Bn﹣1OP的角平分线OBn，其中点B、B1、B2、……、Bn﹣1，Bn都在射线AE上，则∠ABnO的度数为．16．（3分）如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC＝35°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将纸片沿EF，GH折叠且点A，B，C，D的对应点分别是N，M，P，K．（1）∠FEN＝；（2）若MN∥PK，则∠KHD的度数为．三、解答题（共8题，共72分）17．（6分）（1）化简：（﹣a）2•a4+（2a3）2．（2）解方程组：．18．（6分）李老师有一辆电动汽车，为了充电方便，他安装了家庭充电桩．该充电桩峰时充电的电价为0.5元/度，谷时充电的电价为0.3元/度，某月李老师的电动汽车在家庭充电桩的充电量合计为180度，共花电费64元．求这个月李老师的电动汽车峰时和谷时的充电量．19．（8分）已知：am＝3，an＝5，求：（1）am+n的值．（2）a3m+2n的值．20．（8分）如图，D，E分别在△ABC的边AB、AC上，F在线段CD上，且∠EFC+∠BDC＝180°，DE∥BC．（1）求证：∠DEF＝∠B；（2）若DE平分∠ADC，∠BDC＝2∠EFC，求∠B的度数．21．（10分）如图，在8×8的方格纸中，每个小方格的顶点称为格点，请按要求作图．（1）在图1中找一个格点G，连结EG，使∠DEG＝∠ABC﹣∠DEF．（2）在图2中找一个格点H，连结FH，使∠EFH+∠ABC＝180°．22．（10分）如图，有如下四个条件：①AC∥DE；②DC∥EF；③CD平分∠BCA；④EF平分∠BED．（1）在四个条件中选三个作为已知，余下的一个条件作为结论，其中正确的有哪些？例如：已知①②③⇒结论④（不需说明理由）（2）请从（1）的答案中选择一个进行证明．23．（12分）小明为班级购买“读书节”活动的奖品后，回学校向班主任李老师汇报说：“我买了两种书，共20本，单价分别为20元和24元，买书前我领了500元，现在还余66元．”李老师算了一下，说：“你肯定搞错了．”（1）班主任老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释；（2）小明连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一支笔．但笔的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于10元的整数，如果单价为20元的书多于单价为24元的书，请问：笔的单价为多少元？24．（12分）已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠1＝∠2．（1）如图1，求证：EF∥GH；（2）如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N，EN交GH于点P，求证：∠N＝45°；（3）如图3，在（2）的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若3∠FEN＝4∠HFM，直接写出的值．

2023-2024学年浙江省杭州市下城区启正中学七年级（下）月考数学试卷（3月份）参考答案与试题解析一、单项选择（每题3分，共10小题，共30分）1．【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．【解答】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．故选：D．【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们．2．【分析】根据直线的位置关系解答．【解答】解：在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：平行或相交．故选：A．【点评】本题考查了两直线的位置关系，需要特别注意，垂直是相交的特殊形式，在同一平面内，不重合的两条直线只有平行或相交两种位置关系．3．【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则，逐项判定即可【解答】解：A、5a3﹣a3＝4a3，正确，不符合题意；B、2m×3n≠6m+n，原计算错误，符合题意；C、（﹣am）2＝（﹣1）2⋅（am）2＝a2m，正确，不符合题意；D、﹣a2×（﹣a）3＝﹣a2×（﹣a3）＝a5，正确，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法法则，熟知以上知识是解题的关键．4．【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．【解答】解：A．含有三个未知数，故不符合二元一次方程组的定义，故本选项不合题意；B．符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意；C．第2个方程的未知数的最高次数是2，故不符合二元一次方程组的定义，故本选项不合题意．D．第2个方程含未知数的项的最高次数是2，故不符合二元一次方程组的定义，故本选项不合题意．故选：B．【点评】本题考查二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．5．【分析】平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，由此即可判断．【解答】解：A、∵∠4＝∠3，∴DF∥BC，故A不符合题意；B、∵∠1＝∠4，∴EF∥AB，故B符合题意；C、∵∠1＝∠B，∴DF∥BC，故C不符合题意；D、∵∠4+∠2＝180°，∴DF∥BC，故D不符合题意，故选：B．【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法．6．【分析】由3x+y＝15，可得出x＝5﹣，结合x，y均为正整数，即可求出二元一次方程3x+y＝15的正整数解共有4组．【解答】解：∵3x+y＝15，∴x＝5﹣．又∵x，y均为正整数，∴或或或，∴二元一次方程3x+y＝15的正整数解共有4组．故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握求二元一次方程正整数解的方法是解题的关键．7．【分析】由平行线的性质可表示出∠OFB＝180°﹣x°，结合对顶角相等可表示出∠2＝∠POF，再利用外角的性质可求得∠3的度数．【解答】解：由题意可知AB∥OF．∴∠1+∠OFB＝180°．∵∠1＝x°．∴∠OFB＝180°﹣x°．∵∠2＝∠POF．∴∠3＝∠POF+∠OFB＝（180﹣x+y）°．故选：C．【点评】本题是跨学科融合题，考查了平行线的性质，和对顶角的性质以及外角的性质，解题的关键是利用平行线的性质求相关角的度数．8．【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意列出代数式，然后表示出长方形ABCD的边长，求解即可．【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，由图1得：4x+4y＝24，∴x+y＝6，由图2得：长方形ABCD的长AB表示为：3x+y，宽AD表示为x+3y，∴周长为：2（3x+y+x+3y）＝8x+8y＝48cm故选：C．【点评】题目主要考查根据图形列代数式及求代数式的值，找出图形各边的数量关系是解题关键．9．【分析】对于纸带①，根据∠1＝∠2＝50°可求出∠DBA＝80°，再由翻折的性质可得∠ABC＝∠DBA＝80°据此可求出∠DEB＝20°，据此可判断纸带①的边线不平行；对于纸带②，由翻折的性质得∠CGH＝∠DGH，∠EHG＝∠FHG，再根据C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上可得∠CGH＝∠DGH＝90°，∠EHG＝∠FHG＝90°，据此可判定纸带②的边线平行．由此可得出此题的答案．【解答】解：对于纸带①，∵∠1＝∠2＝50°，∴∠1＝∠ADB＝50°，∴∠DBA＝180°﹣∠ADB﹣∠2＝80°，由翻折的性质得：∠ABC＝∠DBA＝80°，∴∠DBE＝180°﹣∠ABC﹣∠DBA＝20°，∴∠1≠∠DEB，∴AD与EB不平行．对于纸带②中，由翻折的性质得：∠CGH＝∠DGH，∠EHG＝∠FHG，又∵C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上∴∠CGH+∠DGH＝180°，∠EHG+∠FHG＝180°，∴∠CGH＝∠DGH＝90°，∠EHG＝∠FHG＝90°，∴∠CGH+∠EHG＝180°，∴CD∥EF．综上所述：纸带①边线不平行，纸带②的边线平行．故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质：两直线平行⇔同位角相等，两直线平行⇔内错角相等，两直线平行⇔同旁内角互补．10．【分析】将原方程化为2a+2c•3b＝27×3，得到a+2c＝7，b＝1，再根据a，b，c为正整数，求出a，c的值，进而求出答案．【解答】解：根据题意得：2a+2c•3b＝27×3，∴a+2c＝7，b＝1，∵a，b，c为正整数，∴当c＝1时，a＝5；当c＝2时，a＝3；当c＝3时，a＝1，∴a+b+c不可能为8．故选：D．【点评】本题考查了幂的运算，难度较大，根据a，b，c为自然数求出a，c的值是解题的关键．二、填空题（每题3分，共6小题，共18分）11．【分析】根据二元一次方程的定义得出|m﹣2|≠0且|m﹣1|＝1，再求出答案即可．【解答】解：∵|m﹣2|x+3y|m﹣1|＝23是关于x，y的二元一次方程，∴|m﹣2|≠0且|m﹣1|＝1，∴m＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了二元一次方程的定义，能正确根据二元一次方程的定义得出|m﹣2|≠0且|m﹣1|＝1是解此题的关键．12．【分析】先根据平移的性质得到CF＝AD＝2cm，AC＝DF，而AB+BC+AC＝16cm，则四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+DF+AD，然后利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，∴CF＝AD＝3cm，AC＝DF，∵△ABC的周长为16cm，∴AB+BC+AC＝16cm，∴四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+DF+AD＝AB+BC+AC+CF+AD＝16+3+3＝22（cm）．故答案为：22cm．【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．13．【分析】根据黑、白皮块的总数目及数目比，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵该足球由32块黑白相间的牛皮缝制而成，∴x+y＝32；∵黑、白皮块的数目比为3：5，∴y：x＝3：5，即3x＝5y．∴根据题意可列方程组．故答案为：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．14．【分析】先解二元一次方程组，然后把x、y的值代入方程2x+3y＝12中即可求出k的值．【解答】解：，①+②，得2x＝14k+4，解得x＝7k+2，①﹣②，得2y＝4﹣4k，解得y＝2﹣2k，∴方程组的解是，由题意得，2（7k+2）+3（2﹣2k）＝12，解得k＝，故答案为：．【点评】本题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程的解，由方程组和方程同解得到关于k的方程是解题的关键．15．【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质得到规律，即可求得∠ABnO的度数．【解答】解：由图形可知，∠ABO＝（180°﹣m°），∠AB1O＝（180°﹣∠OBB1）＝∠ABO＝（180°﹣m°），∠AB2O＝（180°﹣m°），…则∠ABnO＝．故答案为：．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．16．【分析】（1）由折叠得∠FEN＝∠FEA，由AD∥BC，得∠FEA＝∠EFC＝35°，则∠FEN＝35°，于是得到问题的答案；（2）由∠AEN＝∠FEN+∠FEA＝70°，得∠NED＝110°，再分两种情况讨论，一是MN∥PK，且MN与PK在直线BC的异侧，延长MN、PG交于点L，可证明PG∥EN，则∠KHD＝∠AIL＝∠AEN＝70°；二是MN∥PK，且MN与PK在直线BC的同侧，延长NM交HK于点J，可证明HK∥EN，则∠KHD＝∠NED＝110°，于是得到问题的答案．【解答】解：（1）由折叠得∠FEN＝∠FEA，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠FEA＝∠EFC＝35°，∴∠FEN＝35°，故答案为：35°．（2）∵∠FEN＝∠FEA＝35°，∴∠AEN＝∠FEN+∠FEA＝70°，∴∠NED＝180°﹣∠AEN＝110°，如图1，MN∥PK，且MN与PK在直线BC的异侧，延长MN、PG交于点L，设PG交AD于点I，∵KH∥PG，∠PID＝∠AIL，∴∠KHD＝∠PID＝∠AIL，∵∠P＝∠L＝∠MNE＝90°，∴PG∥EN，∴∠AIL＝∠AEN＝70°，∴∠KHD＝70°，如图2，MN∥PK，且MN与PK在直线BC的同侧，延长NM交HK于点J，∵∠JNE＝180°﹣∠ENM＝90°，∴∠K＝∠KJM＝∠JNE＝90°，∴HK∥EN，∴∠KHD＝∠NED＝110°，故答案为：70°或110°．【点评】此题重点考查矩形的性质、平行线的判定与性质、轴对称的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．三、解答题（共8题，共72分）17．【分析】（1）利用同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可；（2）采用适当的方法解方程组即可．【解答】解：（1）（﹣a）2•a4+（2a3）2＝a6+4a6＝5a6；（2），由②，得y＝2x﹣4③，将③代入①，得x+3（2x﹣4）＝﹣1，解得x＝④，将④代入③，得y＝﹣，∴原方程组的解为．【点评】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方及解二元一次方程组，掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方运算法则和二元一次方程组的解法是本题的关键．18．【分析】设这个月李老师的电动汽车峰时为x度，谷时的充电量为y度，根据某月李老师的电动汽车在家庭充电桩的充电量合计为180度，共花电费64元．列出二元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：设这个月李老师的电动汽车峰时为x度，谷时的充电量为y度，由题意得：，解得：，答：这个月李老师的电动汽车峰时为50度，谷时的充电量为130度．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．19．【分析】（1）逆用同底数幂的乘法运算即可；（2）逆用同底数幂和幂的乘方运算法则进行计算即可．【解答】解：（1）原式＝am•an＝3×5＝15．（2）原式＝a3m•a2n＝（am）3•（an）2＝33×52＝675．【点评】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方的逆运算，解题关键是牢记公式．20．【分析】（1）利用平行线的判定和性质一一判断即可．（2）利用角平分线及邻补角的定义、平行线的性质、对顶角的性质求解即可．【解答】（1）证明：∵∠1+∠DFE＝180°，∠1+∠2＝180°，∴∠2＝∠DFE，∴AB∥EF，∴∠3＝∠ADE，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B∴∠3＝∠B．（2）解：∵∠2＝2∠1，∠1+∠2＝180°，∴3∠1＝180°，∴∠1＝60°，∠2＝120°，∴∠ADC＝180°﹣∠2＝180°﹣120°＝60°，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC＝∠ADC＝30°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝30°．【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质、邻补角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．【分析】（1）作∠GEF＝∠ABC即可；（2）作FH∥EG即可．【解答】解：（1）如图，点G，线段EG，即为所求；（2）如图，点H，线段FH即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．22．【分析】（1）选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，即可得到结论；（2）根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．【解答】解：（1）如果①②③，那么④；如果①②④，那么③；如果①③④，那么②；如果②③④，那么①；（2）已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，求证：EF平分∠BED．证明：∵AC∥DE，∴∠BCA＝∠BED，即∠1+∠2＝∠4+∠5，∵DC∥EF，∴∠2＝∠5，∵CD平分∠BCA，∴∠1＝∠2，∴∠4＝∠5，∴EF平分∠BED．【点评】本题考查了命题与定理，平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．23．【分析】（1）设单价为20元的书买了x本，单价为24元的书买了y本，根据总价＝单价×数量，结合购买两种书20本共花费（500﹣66）元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，结合x，y的值为整数，即可得出小明搞错了；（2）设单价为20元的书买了a本，则单价为24元的书买了（20﹣a）本，笔的单价为b元，根据总价＝单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，化简后可得出，结合0＜b＜10，且a，b均为整数，b＝4a﹣46中可求出a值，再结合单价为20元的书多于24元的书，即可确定b值．【解答】解：（1）设单价为20元的书买了x本，单价为24元的书