湖北省咸宁市嘉鱼县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(含解析)

2024年春季期中教学质量监测八年级数学试卷考生注意：1．本试卷分试题卷（共4页）和答题卷；全卷24小题，满分120分；考试时间120分钟．2．考生答题前，请将自己的学校、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷指定的位置，同时认真阅读答题卷上的注意事项．考生答题时，请按题号顺序在答题卷上各题目的答题区域内作答，写在试题卷上无效．试题卷一．精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．每小题给出的4个选项中只有一个符合题意，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑）1．若代数式有意义，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．下列根式中是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．3．下列计算错误的是（

）．A． B．C． D．4．在中，，，，则这个三角形是（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形5．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（

）A．AB//DC，AD//BC B．AB=DC，AD=BCC．AO=CO，BO=DO D．AB//DC，AD=BC6．对角线长为2的正方形的面积是（

）A．2 B．4 C． D．7．如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（

）A． B． C． D．8．如图，已知是菱形的边上一点，且，那么的度数为（

）

A． B． C． D．9．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B，若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是(

)A．北偏西30° B．南偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60°10．如图，在中，点是的中点，点在的内部，，，若，，则的长为（

）A．1 B． C．1.5 D．2二．细心填一填（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．请把答案填在答题卷相应题号的横线上）11．化简：=．12．若是正整数，则整数可取的最小值为．13．在中，、、的对边分别为、、，且，若，则的大小是．14．如图，平行四边形中，，，，则平行四边形的面积为．15．已知，则代数式的值是．16．如图，点在菱形的边上，，，则的大小为．三．专心解一解（本大题共8小题，满分72分．请认真读题，冷静思考，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．计算：(1)(2)18．如图，四边形是矩形，对角线、相交于点O，交的延长线于点E，求证：．19．已知：，，分别求下列代数式的值：(1)(2)．20．阅读下列内容，并解决问题．一道习题引发的思考小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究：【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b=m²-1，c=m²+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗?如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗?【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2=c²，那么a，b，c称为一组勾股数．关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》．【问题解答】（1）根据柏拉图的研究，当m=6时，请直接写出一组勾股数；（2）若m表示大于1的整数，试证明（m²-1，2m，m²+1）是一组勾股数；（3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数．21．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，AD＝，CD＝．求：（1）∠DAB的度数．（2）连接BD，求BD的长．22．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，，且以，，，为顶点的四边形为菱形．(1)直接写出点的坐标______；(2)请用无刻度直尺作直线，使直线经过点且平分菱形的面积，保留作图痕迹；(3)已知点是边上一点，若线段将菱形的面积分为2：3两部分，直接写出点的坐标．23．【问题提出】（1）如图1，在四边形中，，，，连接．试探究、、之间的数量关系．小明的思路是：他发现和互补，推得，于是想到延长到点，使，连接．从而得到，然后证明，不难得到、、之间的数量关系是______；【问题变式】（2）如图2，四边形中，，，连接，试探究、、之间的数量关系，并说明理由；【问题拓展】（3）如图3，四边形中，，，，连接，若，求四边形的面积．（直接写出结果）

24．如图，在中，，，，点为上一个动点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点．(1)若，求的长；(2)当长为何值时，平行四边形是菱形？为什么？(3)在点P的运动过程中，线段的长度是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由．

参考答案与解析

1．C【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式下的被开方数为非负数，可得出关于的一次不等式，求解即可，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．【详解】解：要使代数式有意义，则：，∴，故选：C．2．B【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义进行判断即可得解．【详解】A.，不是最简二次根式，此选项不符合题意；B.，是最简二次根式，此选项符合题意；C.，不是最简二次根式，此选项不符合题意；D.，不是最简二次根式，此选项不符合题意；故选B．3．A【分析】根据二次根式运算法则进行计算，逐项判断即可．【详解】解：A、3与不是同类二次根式，不能合并，故错误，符合题意；B、，正确，不符合题意；C、，正确，不符合题意；D、，正确，不符合题意；故选A．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟记二次根式运算法则，准确进行计算．4．B【分析】利用勾股定理的逆定理求解判断即可．【详解】解：在中，，，，∵，∴是直角三角形，但不是等腰三角形．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，会利用勾股定理的逆定理判定三角形的形状是解答的关键．5．D【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意．故选D．6．A【分析】本题考查了正方形对角线长相等的性质，考查了正方形面积的计算，本题中正确计算是解题的关键．正方形又是菱形，根据菱形面积计算公式即可求得正方形的面积，即可解题．【详解】解：正方形面积可以按照(为对角线长)，∴该正方形面积为．故选：A．7．D【分析】利用矩形的性质证明△AOB是等边三角形，即可求得AB的长．【详解】解：∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=AC=OB=OD=BD=4(cm)，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=4(cm)，故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟记矩形和等边三角形的性质并准确识图是解题的关键．8．A【分析】根据菱形的性质得出，，进而得出，等角对等边可得出，在中得出，根据，即可求解．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，，∴，∴，在中，，∴，∵，∴故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．9．C【详解】解：如图，根据题意得OA=40×15=600，OB=40×20=800，因为6002=360000，8002=640000，10002=1000000，360000+640000=1000000.所以6002+8002=10002.所以∠AOB=∠AOB=90°，所以∠BOS=∠B′ON=60°，所以乙客轮的航行方向可能是南偏东60°或北偏西60°.故选C.10．A【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形中位线定理，延长，交于点，证明，点是中点，再得出是的中位线，即可求解，掌握相关知识定理是解题的关键．【详解】解：延长，交于点，如图：在和中，，∴，又∵，∴，，∴点是中点，又∵点是的中点，∴是的中位线，∵，∴，∴，故选：A．11．【详解】根据二次根式的化简的性质可知：===.故答案为：考点：二次根式的化简12．15【分析】本题考查了二次根式的性质，整理，再结合“是正整数”以及“是整数”，进行作答．【详解】解：依题意，得，∵是正整数，且是整数，∴整数可取的最小值为15，故答案为：15．13．##20度【分析】本题考查勾股定理的逆定理．注意掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据题意直接利用勾股定理的逆定理进行判断即可得出答案．【详解】解：∵在中，，，的对边分别是a，b，c，且，∴．∴a、c是两直角边，b是斜边，∴．∴；故答案为：．14．12【分析】本题主要考查了勾股定理和平行四边形的性质，先利用勾股定理求出，再利用平行四边形面积计算公式求解即可．【详解】解：∵，，，∴，∵四边形是平行四边形，∴平行四边形的面积为，故答案为：12．15．3【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先将变形为，再将的值代入，即得答案．【详解】，，，，．故答案为：3．16．##度【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质，三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质；在上取点，使得，得出，根据菱形的性质则，进而证明，得出，进而根据，即可求解．【详解】解：如图所示，在上取点，使得，∵，，∴∵，∴，∴又∵四边形是菱形，∴，∴∵∴，又∵，∴∴∴故答案为：．17．(1)(2)【分析】（1）根据二次根式的性质化简各数，然后相加减即可求解；（2）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式，即可求解．【详解】（1）解：（2）解：【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．18．见详解【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．根据矩形的性质得到，再证明四边形是平行四边形，则得到，继而．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴．19．(1)(2)【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值：（1）先求出，，再由进行计算求解即可；（2）先求出，，再由进行计算求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，，∴；（2）解：∵，∴，，∴20．（1）；（2）见解析；（3）答案不唯一，例如，等【分析】（1）把直接代入，，即可求解；（2）利用勾股定理的逆定理即可证明结论；（3）根据勾股数解答即可．【详解】（1）把代入，，得：，，，这组勾股数为；（2）表示大于1的整数，，，都是正整数，且是最大边，，是一组勾股数；（3），等，它们是勾股数，但柏拉图给出的勾股数公式不能够造出．【点睛】本题考查了勾股数以及勾股定理的逆定理，弄清题意，理解勾股数的意义是解题的关键．21．（1）135°；（2）．【分析】（1）根据勾股定理，可以求得AC的长，然后根据勾股定理的逆定理可以得到△DAC的形状，从而可以求得∠DAB的度数；（2）作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，然后根据勾股定理即可得到DE和AE的长，再根据勾股定理，即可得到BD的长．【详解】解：（1）连接AC，∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∴∵AD＝，CD＝，∴AD2+AC2＝（）2+（2）2＝2+8＝10＝（）2＝CD2，∴△DAC是直角三角形，∠DAC＝90°，∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°+45°＝135°，即∠DAB的度数是135°；（2）作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，∵∠DAB＝135°，∴∠DAE＝45°，∵DE⊥AE，AD＝，∴DE=AE，∴∴DE＝AE＝1，∵AB＝2，∴BE＝3，∴即BD的长是．【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.22．(1)(2)见解析(3)或【分析】（1）根据的坐标，求得，进而即可得出的坐标；（2）连接交于点，过点作直线，直线即为所求；（3）根据菱形的性质求得菱形的面积，进而可得或，进而得出或，根据三角形的面积公式，结合图形，即可求解．【详解】（1）解：∵，，，∴，，∴，∵四边形是菱形，∴∴；（2）解：如图所示，连接交于点，过点作直线，直线即为所求；（3）解：∵，，∴菱形的面积为，∵，∴，∵线段将菱形的面积分为两部分，∴或则或，∴或∵∴或，∴或【点睛】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．23．（1）；（2），理由见解析；（3）【分析】（1）延长到点，使，连接．根据等角的补角相等得出，利用证明，再根据全等三角形的性质得出，，根据角的和差易证为等边三角形，然后根据等边三角形的性质得出，最后根据线段的和差及等量代换即可得证；（2）延长到点E，使，连接，根据等角的补角相等得出，利用证明，再根据全等三角形的性质得出，，然后