广东省深圳市实验学校（中学部）2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(含解析)

2023－2024学年实验学校（中学部）八下期中数学试卷一、选择题（共10小题）1．以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

2．若，则下列不等式中正确的是（

）A． B． C． D．3．将下列多项式分解因式，结果中不含因式的是（

）A． B．C． D．4．若分式中的a，b的值同时扩大到原来的10倍，由此分式的值（

）A．是原来的10倍 B．是原来的20倍C．是原来的 D．不变5．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB1C1，若点B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C1的大小为(

)

A．70° B．80° C．84° D．86°6．若，则的值为（

）A． B． C． D．7．如图，平行四边形ABCD的周长为16cm，相交于点交于点则△ABE的周长为（

）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm8．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且9．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BC，M在∠CAD的平分线上，且AM⊥DM，点N为CD的中点，连接MN，若AD＝12，MN＝2．则AB的长为（）A．12 B．20 C．24 D．3010．如图，在平行四边形ABCD中，分别以AB､AD为边向外作等边△ABE､△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A､E之间，连接CE､CF､EF，则以下四个结论：①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．一定正确的有（

）个A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题（共5小题）11．若分式的值为零，则x的值为．12．多边形每一个内角都等于，则此多边形是边形．13．若关于x的分式方程有增根，则m的值为14．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，，且轴．将沿轴向上平移，使点对应点落在对角线上，则平移后点的对应点的坐标为．15．如图，在中，，，．将绕点C按顺时针方向旋转后得，直线、相交于点F．取的中点G，连接，则长的最大值为cm．三、解答题（共9小题）16．（1）因式分解：；（2）解不等式组，并把它的解集在如图的数轴上表示出来．（3）化简：．17．计算：(1)解分式方程：；(2)先化简，再求值：，其中，18．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣2，3)，B(﹣3，2)，C(﹣1，1)（1）将△ABC向右平移7个单位，试作出平移后的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，观察可知△A1B1C1与△A2B2C2关于直线l对称，请写出直线l与x轴的交点D的坐标；（3）在x轴上找一点P，使PB＋PC最短，则Р点坐标为．19．阅读材料：形如的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用．（一）用配方法因式分解：．解：原式（二）用配方法求代数式的最小值．解：原式∵，∴，∴的最小值为．(1)若代数式是完全平方式，则常数k的值为______；(2)因式分解：______；(3)用配方法求代数式的最小值；拓展应用：(4)若实数a，b满足，则的最小值为______．20．如图所示，在中，点，分别为，的中点，点在线段上，连接，点，分别为，的中点．(1)求证：四边形为平行四边形；(2)若，，，求的长．21．为丰富同学们阳光大课间活动，育才学校现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳数量和用500元购买的毽子数量相同．(1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元．(2)恰逢店庆活动，体育用品店对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，请求出学校花钱最少的购买方案及最少花费．22．如图，在平面直角坐标系中，过点和的直线与直线相交于点C，直线与x轴相交于点D，点E在线段AB上，连接DE，的面积为．(1)求直线AB的解析式；(2)求点E的坐标；(3)点M是直线CD上的动点，点N在y轴上，是否存在点M、N，使得以点B、E、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案与解析

1．B【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．【详解】解：选项A、C、D不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以它们不是中心对称图形，选项B能找到这样的一个点，使这个图形绕这一点旋转后与原来的图形重合，所以它是中心对称图形．故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．2．D【分析】本题考查不等式的性质，根据条件，运用不等式的性质逐项验证即可得到答案，熟记不等式的三个性质是解决问题的关键．【详解】解：A、由于，则，故错误，不符合题意；B、由于，则，故错误，不符合题意；C、由于，则，故错误，不符合题意；D、由于，则，故正确，符合题意；故选：D．3．B【分析】直接利用平方差公式以及完全平方公式和十字相乘法分解因式，进而得出答案．【详解】解：A、，含，故此选项不合题意；B、，不含，故此选项符合题意；C、，含，故此选项不合题意；D、，含，故此选项不合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了公式法以及十字相乘法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．4．D【分析】根据分式的性质即可求解．【详解】解：故分式的值不变故选：D【点睛】将分式的分子、分母同时扩大相同的倍数，分式的值不变．掌握该性质是解题关键．5．B【分析】由旋转的性质可知∠B＝∠AB1C1，AB＝AB1，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠B＝∠BB1A＝∠AB1C1＝40°，从而可求得∠BB1C1＝80°.【详解】由旋转的性质可知：∠B＝∠AB1C1，AB＝AB1，∠BAB1＝100°.∵AB＝AB1，∠BAB1＝100°，∴∠B＝∠BB1A＝40°.∴∠AB1C1＝40°.∴∠BB1C1＝∠BB1A+∠AB1C1＝40°+40°＝80°.故选B.【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，由旋转的性质得到△ABB1为等腰三角形是解题的关键.6．D【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的加减运算法则化简，再由得出，代入计算即可得出答案．【详解】故选D．7．C【分析】根据平行四边形的性质和已知条件可得OE垂直平分BD，然后根据线段垂直平分线的性质可知BE＝DE，再结合平行四边形的性质即可求出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AB=CD，AD=BC，∵EO⊥BD，∴EO为BD的垂直平分线，∴BE＝DE，∵平行四边形ABCD的周长为16cm，∴AB+AD＝×16＝8cm．∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+DE＝AB+AD＝8cm．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，属于常考题型，熟练掌握平行四边形和线段垂直平分线的性质是解题的关键．8．B【分析】先解分式方程，使方程的解大于零，再使分式方程有意义即可．【详解】解：，∵分式方程的解为正数，即，∴，又∵使分式方程有意义，，∴，∴，综上：且，故选：B．【点睛】本题考查了分式方程，解出分式方程使其解大于零且分式方程有意义是解题的关键．9．B【分析】延长DM交AC于E，利用ASA证明△ADM≌△AEM可得AE=AD=12，DM=EM，即可证明MN是△CDE的中位线，可求解CE的长，进而可求解AC的长，再结合平行四边形的性质利用勾股定理可求解．【详解】解：延长DM交AC于E，∵AM平分∠CAD，AM⊥DM，∠DAM=∠EAM，∠AMD=∠AME=90°，在△ADM和△AEM中，，∴△ADM≌△AEM（ASA），∴DM=EM，AE=AD=12，∴M点是DE的中点，∵N是CD的中点，∴MN是△CDE的中位线，∵MN=2，∴CE=2MN=4，∴AC=AE+CE=12+4=16，在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，AC⊥BC，∴AC⊥AD，∴∠CAD=90°，．故选B．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形的中位线，勾股定理，求解AC的长是解题的关键．10．B【分析】根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项．【详解】解：在▱ABCD中，∠ADC=∠ABC，AD=BC，CD=AB，∵△ABE、△ADF都是等边三角形，∴AD=DF，AB=EB，∠ADF=∠ABE=60°，∴DF=BC，CD=BC，∴∠CDF=360°-∠ADC-60°=300°-∠ADC，∠EBC=360°-∠ABC-60°=300°-∠ABC，∴∠CDF=∠EBC，在△CDF和△EBC中，DF=BC，∠CDF=∠EBC，CD=EB，∴△CDF≌△EBC（SAS），故①正确；在▱ABCD中，∠DAB=180°-∠ADC，∴∠EAF=∠DAB+∠DAF+∠BAE=180°-∠ADC+60°+60°=300°-∠ADC，∴∠CDF=∠EAF，故②正确；同理可证△CDF≌△EAF，∴EF=CF，∵△CDF≌△EBC，∴CE=CF，∴EC=CF=EF，∴△ECF是等边三角形，故③正确；当CG⊥AE时，∵△ABE是等边三角形，∴∠ABG=30°，∴∠ABC=180°-30°=150°，∵∠ABC=150°无法求出，故④错误；综上所述，正确的结论有①②③．故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，综合性强，解题的关键是考查学生综合运用数学知识的能力．11．1【分析】本题考查分式的值为零的条件．根据“分式的值为零，需同时具备两个条件分子为0，分母不为0”列式计算即可求解．【详解】解：因为分式的值为零，所以，解得：．故答案为：1．12．十二【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，正n边形的每个内角都等于，多边形的外角和都是．先计算出每个外角，再根据多边形的外角和都是进行计算即可．【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于，∴多边形的每一个外角都等于，∴边数．故答案为：十二．13．2【分析】先确定该方程的增根是，再将该方程化为整式方程后将增根代入进行求解．【详解】解：解，得，即是该方程的增根，，两边同时乘以，得，将代入，得，解得，故答案为：2．【点睛】此题考查了分式方程增根问题的解决能力，关键是能准确理解增根产生的原因，并进行正确地求解．14．【分析】根据题意，由点的平移及平行四边形性质得到，，再由待定系数法确定直线的函数关系式，设出，代值解方程求出向上平移的单位长度，结合点的平移即可得到答案．【详解】解：在平面直角坐标系中，的顶点，，且轴，，轴，，，设直线：，将代入得，直线：，设将沿轴向上平移个单位长度，使点对应点落在对角线上，则在直线：上，，解得，即点向上平移2个单位长度得到对应点，，，故选：．【点睛】本题考查点的平移，涉及图形与坐标、平行四边形性质、点的平移法则、待定系数法确定函数表达式、一次函数性质等知识，熟练掌握点的平移法则及平行四边形性质是解决问题的关键．15．9【分析】本题考查了旋转的性质、四边形内角和以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，结合题意添加合适的辅助线是解题的关键．根据旋转的性质得，，，，设，则，根据四边形内角和可得，取的中点H，连接、，则，，从而得出，即可得出答案．【详解】解：取的中点H，连接、，如图：∵是由绕C点旋转得到，∴，，，设，则在四边形中，在中，，，，在中，，∵是中位线，而，∴当F、H、G在一条直线上时，最大，最大值为，故答案为：9．16．（1）（2），数轴见解析（3）【分析】（1）利用平方差公式直接因式分解即可得到答案；（2）根据解一元一次不等式组的方法直接求解即可得到答案，再结合不等式解集在数轴上的表示方法表示出来即可画出数轴；（3）先对分式分子分母因式分解，再利用分式混合运算法则化简即可得到答案．【详解】解：（1）；（2），由①得：；由②得：；∴不等式组的解集为：；在数轴上表示不等式组解集为：；（3）解：．【点睛】本题考查运算综合，涉及平方差公式因式分解、解一元一次不等式及一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组解集、分式加减乘除混合运算等知识，熟练掌握因式分解、接不等式组及分式化简方法是解决问题的关键．17．(1)(2)，2【分析】本题考查的是解分式方程，分式的化简求值，掌握相关运算法则和解法是解题关键．（1）依次去分母、去括号、移项、合并同类项，检验后即可得到答案；（2）先将除法转化为乘法，再结合乘法公式约分化简，然后将、的值代入计算求解即可．【详解】（1）解：，去分母，得：，去括号，得：，移项，得：，合并同类项，得：，经检验，是原方程的解，原方程的解为；（2）解：，当，时，原式．18．（1）图见解析，；（2）图见解析，（3）图见解析，．【分析】（1）借助网格即可作出平移后的图形，根据A1的位置写出它的坐标即可；（2）借助网格作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，可得直线l是B1B2的垂直平分线，由此可得直线l的横坐标和交点D的坐标；（3）利用轴对称的性质作作点B关于x轴对称点，连接交x轴于P，点P即为所求，再利用待定系数法求出对应直线的解析式以及函数与x轴的交点坐标即可．【详解】解：（1）△A1B1C1如图所示，故答案为：；（2）△A2B2C2如图所示，△A1B1C1与△A2B2C2关于直线l对称，直线l把B1B2垂直平分，故它的横坐标为，即D的坐标为：，故答案为：；（3）作点B关于x轴对称点，连接交x轴于P，点P即为所求，设直线的表达式为：，将和C(﹣1，1)代入得，解得，所以，当y=0时，，故．【点睛】本题考查坐标与图形变化—轴对称和平移，待定系数法求函数解析式，一次函数与坐标轴交点问题．借助网格分析是解题关键．19．(1)25(2)(3)4(4)3【分析】（1）利用完全平方公式即可得；（2）利用配方法把配凑成，由此即可得；（3）将配凑成，利用完全平方公式求解即可得；（4）根据配方可得，从而可得，由此即可得．【详解】（1）解：∵代数式是完全平方式，，，，故答案为：25．（2）解：，故答案为：．（3）解：，，，的最小值为4．（4）解：，，，，的最小值为3．【点睛】本题考查了完全平方公式、利用配方法因式分解，熟练掌握配方法是解题关键．20．(1)证明见解析(2)【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．（1）由三角形中位线定理得，，，，则，，再由平行四边形的判定即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得，再由勾股定理求出的长，再根据为中点即可求答案．【详解】（1）证明：点、分别为、的中点，点、分别为、的中点，是的中位线，是的中位线，，，，，，，四边形为平行四边形；（2）解：四边形为平行四边形，，，，，为中点，即线段的长度为．21．(1)跳绳的单价为8元，毽子的单价为5元(2)购买450个跳绳，150个毽子时，总费用最少为3405元【分析】（1）设毽子的单价为元，根据用800元购买的跳绳数量和用500元购买的毽子数量相同列出方程，解之即可；（2