中考数学考点解析系列等腰三角形+等腰三角形

专题42等腰三角形

聚焦考点☆温习理解

一、等腰三角形

1、等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的性质定理及推论：

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）

推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底

边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

（2）等腰三角形的其他性质：

①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a,底边长为b,则

2

1QQO_/X

④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为/A,底角为NB、ZC,则/A=180°-2ZB,ZB=ZC=----------

2

2、等腰三角形的判定

等腰三角形的判定定理及推论：

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理

常用于证明同一个三角形中的边相等。

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形

推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

二.等边三角形

1.定义

三条边都相等的三角形是等边三角形.

2.性质：

等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

3.判定

三个角都相等的三角形是等边三角形；

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

三.线段垂直平分线

1.定义

垂直一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.

2.性质

线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等

3.判定

到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

名师点睛☆典例分类

考点典例一、等腰三角形的性质

【例1】（2015.陕西省，第6题，3分）如图，在AABC中，ZA=36°,AB=AC,BD是AABC的角平分线，若

在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有（）

A.2个B.3个,C.4个D.5个

【答案】D

【解析】

试题分析：在AABC中，ZA=36°,AB=AC,求得/ABC=NC=72°,且AABC是等腰三角形.

因为BD是AABC的角平分线所以NABD=NDBC=36°所以AABD是等腰三角形.

在aBDC中有三角形的内角和求出NBDC=72°所以aBDC是等腰三角形.所以BD=BC=BE

所以4BDE是等腰三角形.所以/BDE=72°,所以/ADE=36°,所以4ADE是等腰三角形.共5个.

故选D.

考点：角平分线的定义，三角形内角和、外角和，平角的定义.

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键.

【举一反三】

（2014•眉山）如图，比中，N用70°,N比30°,将△胸绕点｛顺时针旋转后，得到且U

在边比上，则/占的度数为（）

A.30°B.40°C.46°D.60°

【答案】C.

【解析】

试题分析：：将A。。绕点/顺时针旋转后，得到A®C,

：.AC=AC,

/.ZOZCy=67°,

：.AAC5=180°-67°=113。,

\'ZAC,C=ZACB'=67°,

：.AB,CB=Z_dC‘5-Z-4C?B'=1130-67°=46°.

故选C.

考点：1.旋转的性质2.等腰三角形的性.质.

考点典例二、等腰三.角形的多解问题

【例2】【答案】D

【解析】

试题分析：由等腰三角形的两边长分别是5和6,可以分情况讨论其边长为5,5,6或者5,6,6,均满足

三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的条件，所以此等腰三角形的周长为5+5+6=16或

5+6+6=17.

故选项D正确.

考点：三角形三边关系；分情况讨论的数学思想

【点睛】题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是

腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.

【举一反三】

（2015•湖北荆门，5题，3分）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4,则该等腰三角形的周长为（）

A.8或10B.8C.10D.6或12

【答案】C.

【解析】

试题分析：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4,.•・2+2=4,.•.不能组成三角形，

②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4,能组成三角形，周长=2+4+4=10,

综上所述，它的周长是10.故选C.

考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形三边关系；3.分类讨论.

考点典例三、等边三角形的性质与判定

【例3】如图，直线a〃b,△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把AABC沿BC方向

平移BC的一半得到aA'B'C'（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；

请问在第100个图形中等边三角形的个数是

【答案】400.

【解析】

试题分析：先证出阴影的三角形是等边三角形，又观察图可得，第n个图形中大等边三角形有2n个，小等

边三角形有2n个，据此求出第100个图形中等边三角形的个数.

试题解析：如图①

VAABC是等边三角形,

/.AB=BC=AC,

VA,Bz〃AB,BB（=B'C=-BC,

2

/.B,O=-AB,CO=-A.C,

22

.♦.△B'OC是等边三角形，同理阴影的三角形都是等边三角形.

又观察图可得，第1个图形中大等边三角形有2个，小等边三角形有2个，

第2个图形中大等边三角形有4个，小等边三角形有4个，

第3个图形中大等边三角形有6个，小等边三角形有6个，…

依次可得第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个.

故第100个图形中等边三角形的个数是：2X100+2X100=400.

故答案为：400.

考点：等边三角形的判定与性质；平移的性质.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质及平移的性质，解题的关键是据图找出规律.

【举一反三】

（2015•湖北荆门，12题，3分）如图，点力，B,C在一条直线上，AA8D,△以方均为等边三角形，连接熊

和CD,四分别交CD,劭于点M,P,切交跖于点Q,连接PQ,BM,下面结论：①AAB恒ADBC；②N"〃=60°：

③△即为等边三角形；④，如平分比其中结论正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D.

【解析】

试题分析：'：A.4BD.△5CE为等边三角形，二空=。5,Z45P=ZC3£=60°,BE=BC,：.zL.4BE=ADBC,

ZPBO=6Q°,在ZU5E和AS8C中，,:AB=DB,乙*BE="BC,BE=BC,：.&4B喀刈BC(SAS'),：.

①正确；

'：X4BE^J\DBC,"BAE=4DC>'：ZBDC+ZBCD=180°-60°-60°=60°，，/DMA=/BAE+/

BCD=ZBDC+ZBCD=60°，二②正确；

在2L45P和AZJBQ中，'：ZB.4P=ZBDO,.4B=DB,Z-i5P=Z4Z>50=60°,：.A.4BP^ADBO(AS.4),：.

3P=B。，••.△5P。为等边三角形，，③正确；

•.•/DM4=60°,二乙WMO120°,二/二,/。+/93匕1$。°四点共圆=旄，

/.ZB.WP=Z5W,即MB平分4MC,...④正确；

综上所述：正确的结论有4个，故选D.

考点：1.全等三角形的判定与性质；2.等边三角形的判定与性质.

考点典例四、线段垂直平分线的性质运用

【例3】（2015遂宁）如图，在△46。中，止4cm,线段46的垂直平分线交4c于点儿的周长是7须,

则州的长为（）

【答案】C.

【解析】

试题分析：:即是线段9的垂直平分线，，册"；•••△8CV的周长是1cm,：.B附NC+BO"cm）,：.A2NOBO7

（。加，,:腑NBAC,：.AC+BC=1（cm）,又•：AC=4cm,：.BC=7-4=3（cm）.故选C.

考点：线段垂直平分线的性质.

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟记性质是解题的关键.

【举一反三】

（2015•湖北黄冈，6题，3分）如图，在中，/企业N,/斤30°,边AS的垂直平分线DE交AB于

点E,交BC于点D,CD=3,则BC的长为（）

A.6B.673C.9D.373

【答案】C.

【解析】

试题分析：是.必的垂直平分线，正=4=3Q°,,.,.NG4D=30°,

...40为NB4c的角平分线，•.•/。=90°,DELAB,：.DE=CD=3,\'ZB=309,：.BD=2DE=6,：.BC=9,

故选C.

考点：1.含30度角的直角三角形；2.线段垂直平分线的性质.

课时作业☆能力提升

一、选择题

1.（2014•江苏省盐城市）若等腰三角形的顶角为40°,则它的底角度数为（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】D.

【解析】

试题分析：因为等腰三角形的两个底角相等，

又因为顶角是40°,

1800-40°

所以其底角为=70。.

2

故选D.

考点：等腰三角形的性质.

2.（2015眉山）如图，在位△/a'中，/斤90°,ZJ=30°,庞垂直平.分斜边4C,交力8于〃£是垂足，连

援CD.若BD=I,则然的长是（）

A.273B.2C.4gD.4

【答案】A.

【解析】

试题分析：在无△刘。中，♦.25=90°,41=3。°,...4!C3=60°,垂直平分斜边AC,.•.4D=CD,

.,.^4CD=ZA=309,：.ZDCB=6Q9-30°=30°,在RtADBC中，ZB=90°,NDC5=30°,BD=1,：.

CD=2BD=2,由勾股定理得：BLJ2：-F=6,在曳&±BC中，NB=90°,zS4=30°,BC=^>,：.

AC=2BC=2y（3,故选A.

考点：1.含30度角的直角三角形；2.线段垂直平分线的性质；3.勾股定理.

3.（2015内江）如图，在中，AB=AC,BD平分NABC交AC于氤D,/£〃初交"的延长线于点反若

/斤35°,则/以。的度数为（）

A..40°B.45°C.60°D.70°

【答案】A.

【解析】

试题分析："：AE//BD,；./施庐/斤35°,,:BD平■62ABC,烟=70°,"：AB^AC,：.ZOZCBA=70Q,

/.ZJ546>180°-70°X2=40°.故选A.

考点：1.等腰三角形的性质；2.平行线的性质.

4.（2015广安）一个等腰三角形的两条边长分别是方程7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长

是（）

A.12B.9.C.13D.12或9

【答案】A.

【解析】

试题分析：：/一7%+10=0,.•.（x-2）（x-5）=0,玉=2,々=5，

①等腰三角形的三边是2,2,5,•••2+2<5,...不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；

②等腰三角形的三边是2,5,5,此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5=12；

即等腰三角形的周长是12.故选A.

考点：1.解一元二次方程;因式分解法；2.三角形三边关系；3.等腰三角形的性质.

5.（2015•湖北襄阳，7题）如图，在比中，/庐30°,比的垂直平分线交48于点发垂足为〃，B平分

ZACB.若除2,则花的长为（）

A.73B.1C.V2D.2

【答案】B.

【解析】

试题分析：；在中，4=30°,6c的垂直平分线交一45于E,5E=2,.•.5E=C£=2,.../B=/DCE=30°,

：底平分4C3,二4。=2/。56。°,Z.4CE=ZDCE=30o,二，=180°-ZB-AACB=9QQ,在

比中，；乙4=90°,Z.4CE=30°,C£=2,故选B.

2

考点：1.含30度角的直角三角形；2.角平分线的性质；3.线段垂直平分线的性质.

6.（2015泸州）在平面直角坐标系中，点1（J5,6）,8（3近，30）,动点C在x轴上，若以从

8、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点。的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B.

【解析】

试题分析：如图，所在的直线是y=x,...设16的中垂线所在的直线是y=—x+6,：点水0,夜）,

8（30,3及），."6的中点坐标是（2&,2&）,把尸2立，片2夜代入y=—x+。，解得左4血，

.•.48的中垂线所在的直线是〉=一》+4贬，二6（40，0）；

以点力为圆心，以4?的长为半径画弧，与x轴的交点为点。2、G；止J（3友-扬2+（3五一衣2=%

：3C>4,...以点8为圆心，以46的长为半径画弧，与x轴没有交点.综上，可得若以4、B、C三点为

顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为3.故选B.

考点：1.等腰三角形的判定；2.坐标与图形性质；3.分类讨论；4.综合题；5.压轴题.

二、填空题

7.（2015广元）一个等腰三角形两边的长分别为2他5cm.则它的周长为一cm.

【答案】12.

【解析】

试题分析：等腰三角形的两边长分别为2”!和"加，

当腰长是"，"时，则三角形的三边是“明5.，入加，%/%”>"明满足三角形的三边关系，三角形的

周长是12cmj

当腰长是26时，三角形的三边是2以“，力“，8”，2揖叶2“<”加，不满足三角形的三边关系.

故答案为：12.

考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形三边关系.

8.（2015眉山）如图，以△45C的三边为边分别作等边△4W、XABE、/\BCF,则下列结论：①△旗修

△"&②四边形4s叨为平行四边形；③当/氏/G/物心120”寸，四边形为是正方形.其中正确的结

论是（请写出正确结论的番号）.

【答案】①②.

【解析】

试题分析：■:丛ABE、△比?为等边三角形，:仅AE,BOCF^FB,NABB=NCBF=60°,:.NABE-NAB六

ZFBC-AABF,即/烟=2月5区在/XABC和丛EBF中，.：AB=EB,4CBA=NFBE,BC=BF,：.AABgAEBFaSAS）,

选项①正确；

:.E用AC,又•：AADC为等边三角形，：,CD=AAAC,：.E六AD,同理可彳导/尼加；...四边形45）叨是平行四边

形，选项②正确；

若AB=AC,ZBA（=120°,则有｛代/〃，/必ZM20°,此时力回叨为菱形，选项③错误，

故答案为：①②.

考点：1.全等三角形的判定与性质；2.等边三角形的性质；3.平行四边形的判定；4.正方形的判定；5.综

合题.

9.（2015成都）如图，直线/〃〃，ZUSC为等腰直角三角形，ZBA（=90°,则Nl=度.

【答案】450.

【解析】

试题分析：为等腰直角三角形，陷45°,又；如〃〃，；.N1=N4陷45°.故答案为：45°.

考点：1.等腰三角形的性质；2.平行线的性质.

10.（2015成都）如图，在半径为5的。。中，弦力生8,0是弦力6所对的优弧上的动点，连接力只过点力

作4p的垂线交射线用于点C当△用8是等腰三角形时，线段灰的长为

c

p

【答案】8C=8或至或为5.

153

【解析】

试题分析：（1）当］庐"时，如图（1）,作第L46于点〃延长40交必于点G；•.［庐仍.\AP=A8,

•.30过圆心，：.AGLPB,：.PG=BG,AOAH=APAG,OHVAB,:"AOH=NBOH,AH=BH=4,,：ZA0B=2AP,

3PG24

:,/AOFU/P,\90A=5,腑4,・,.初3,,：/0A4/PAG,:.sin/OAFAsiMPAG,：.-=——,：.PG--,

585

乙AOH=2P,•*.cosZAO生cosNP,-------,PC—AP—,BC^PC-IPG^---------；

PCAO333515

（2）当为=如时，如图（2）,延长P0交46于点K,类似（1）可知0器3,小8,AAPOAAOK,：.

P&-.PA=\/AK2+PK2=4A/5,VZAPC=ZAOK,：.cosZAPOcosZAOK,...丝="，/.

PCAO

5207586

rC=—Ar------,..BOPC—PB^-----；

333

（3）当为=第时，如图（3）,；立BP,：."NBAP,':N丹Ne9Q°,NCAI升NBA片90°,：.ZC=ZCAB,

:.BOA夕8.

故答案为：8c=8或史或如5.

153

c

c

图（1）图（2）图（3〉

考点：1.等腰三角形的性质；2.解直角三角形；3.分类讨论：4.压轴题.

11.如图，在△ABC中，ZC=40°,CA=CB,则△ABC的外角/ABD=°.

【答案】110.

【解析】

试题分析：先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出NA,再根据三角形的外角等于与它不相邻

的两个内角的和，进行计算即可.

试题解析：•.'CA=CB,

.,.ZA=ZABC,

,/ZC=40o,

.,.ZA=7O°

.,.ZABD=ZA+ZC=HO°.

考点：等腰三角形的性质.

12.（2015甘孜州）边长为2的正三角形的面积是.

【答案】6

【解析】

试题分析：过/作AD，BC,・・F氏仍册2,BD-CD--BC-\,在RtXABD中，根据勾股定理得:

2

AKAB^-BD?=6则8片，比储氏g,故答案为：73.

2

考点：等边三角形的性质.

13.54.（2015乐山）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,DE垂直平分AB,已知NADE=40°,则/

DBC=°.

【解析】

试题分析：「DE垂直平分AB,；.AD=BD,ZAED=90°,ZA=ZABD,VZADE=40°,：.ZA=90°-40°=50°,

AZABD=ZA=50°,VAB=AC,AZABC=ZC=-（1800-ZA）=65°,ZDBC=ZABC-ZABD=65°-

2

50°=15°,故答案为：15.

考点：1.线段垂直平分线的性质；2.等腰三角形的性质.

14.（2015攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，矩形如比•中，A（10,0）,（7（0,4）,D

为OA的中点，尸为回边上一点.若为等腰三角形，则所有满足条件的点尸的坐标

为.

【答案】（2.5,4）或（3,4）或（2,4）或（8,4）.

【解析】

试题分析：：四边形。16c是矩形，，/在庐90°,妗4,除力=10,•..〃为》的中点，分5,

①当叱如时，点尸在切得垂直平分线上，.•.点尸的坐标为：（2.5,4）；

②当华如时，如图1所示：则华5,心正孑=3,...点一的坐标为：⑶4）；

③当旌加时，作阳1而于反则/必决90°,腔,52-42=3；

分两种情况：当£在〃的左侧时，如图2所示：附5-3=2,.•.点尸的坐标为：（2,4）；

当£■在〃的右侧时，如图3所示：。田5+3=8,...点尸的坐标为：（8,4）；

综上所述：点户的坐标为：（2.5,4）,或（3,4）,或（2,4）,或（8,4）；

故答案为：（2.5,4）或（3,4）或（2,4）或（8,4）.

图'图2图3

考点：1.矩形的性质；2.坐标与图形性质；3.等腰三角形的判定；4.勾股定理；5.分类讨论；6.综

合题；7.压轴题.

15.（2015攀枝花）如图，在边长为2的等边△49C中，〃为比1的中点，〃是4C边上一点，则册瓦1的最

小值为.

【答案】百.

【解析】

试题分析：作8关于“'的对称点"，连接班'、B'I）,交AC于E,此时出+砂9E+ED=B'〃，根据两

点之间线段最短可知"〃就是版劭的最小值，：8、B'关于然的对称，."GBB'互相垂直平分，

四边形是平行四边形，：三角形被7是边长为2,为回的中点，〃，磨."庐BD-CD-X,

BB'=2AD=2y/3,作"£L6C的延长线于C,：.B'G=AD=也，

在欣△夕能中，BG=dBB'2-B，G2=J(2A/5)2_(G)2=3,：.DG=BG-BD=3-1=2,

在股△夕%中，BD=yjDG2+B'G2=722+(^3)2=V7.故如劭的最小值为近.

考点：1.轴对称:最短路线问题；2.等边三角形的性质；3.最值问题；4.综合题.

三、解答题

16.（2015南充）（8分）如图，△4?。中，A&-AC,ADLBC,CELAB,AE=CE.

求证：（1）△/£侬△诩

（2）A0CD.

【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析.

【解析】

试题分析：⑴由.4D13C,CE1AB,易得乙中5=/5,利用全等三角形的判定得

（2）由全等三角形的性质得/尸=5C,由等腰三角形的性质"三线合一''得50=28,等量代换得出结论.

试题解析：⑴'."IBC,CELiB,：.ZBCE+ZCFD=90°,ZBCE+ZJB=90°,：.ZCFD=ZB,'：ZCFD=

乙4FE,：.ZAFE=/B,在ZUE尸与中，乙4FE=/B,AiEF=Z.CEB,AE=CE,：.A,4EF^ACEB

（A4S）j

（2）\'.4B=AC,AD1BC,：.BC=2CD,,:△=24CEB>:.AF=BC,：.AF=2CD.

考点：1.全等三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质.

17.（2015.陕西省，第19题，1分）（本题满分7分）如图，在AABC中，AB=AC,作ADLAB交BC的延长

线于点D,作AE〃BD、CE±AC,且AE、CE相交于点E,求证AD=CE.

【解析】

试题分析：先根据平行线的性质'等腰三角形的性质证明NEAC=NB,在证明AAB悭ACAE(ASA)即可.

试题解析：:AEZ/BD

/.ZEAC=ZACB

•/AB=AC

/.ZB=ZACB

.\ZEAC=ZB

又•.•NBAD=NACE=9O°

/.△ABD^ACAE

.-.AD=CE.

考点：平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定.

18.(2015.北京市，第20题，5分)如图，在A48C中，AB=AC,是勿边上的中线，/C于点后

求证：ACBE-ABAD.

【答案】见试题分析

【解析】

试题分析：根据等腰三角形的性质得出NABC=NC,根据等腰三角形三线合一得出ADLBC,又因为BELAC,

根据直角三角形的两锐角和为90°,等量代换即可得出结论.

试题解析：证：VAB=AC,

.,.ZABC=Z£,

又：AD是BD边上的中线，

/.AD1BC,

.,.ZBAD+ZABC=90°

.VBE±AC.,

...NCBE=/C=90°

ZCBE=ZBAD.

考点：等腰三角形的性质，三角形的内角和

19.（2015.山东淄博，第19题）如图,在△ABC中，AB=4cm,AC=6cm.

（1）作图：作BC边的垂直平分线分别交与AC,BC于点D,E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作

法）；

（2）在（1）的条件下，连结BD,求aABD的周长.

【答案】（1）作图见解析；（2）10cm.

【解析】

试题分析：（1）运用作垂直平分线的方法作图；（2）运用垂直平分线的性质得出BD=DC,利用aABD的周长

=AB+BD+AD=AB+AC即可求解.

（2）如图如

〈DE是BC边的垂直平分线，

ABD=DC,

VAB=4cm,AC=6cm.

,AABD的周长=AB+BD+AD=AB+AC=4+6=1Ocm.

考点：用尺规作线段垂直平分线的方法；线段垂直平分线的性质.

考点三四十：平行线的证明

聚焦考点☆温习理解

—命题

1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题.

2.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫真命题.

3.假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫假命题.

4.互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是另一个命题的结论，而第一个命题的结论是另一个

命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.

二、平行线的判定与性质

(1)平行线的性质

如果两直线平行，那么同位角相等；

如果两直线平行，那么内错角相等；

如果两直线平行，那么同旁内角互补.

(2)平行线的判定

同位角相等，两直线平行；

内错角相等，两直线平行；

同旁内角互补，两直线平行.

2.平行线的基本事实（即平行公理）

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

名师点睛☆典例分类

考点典例一、推理论证

【例1】小聪，小玲，小红三人参加“普法知识竞赛”，其中前5题是选择题，每题10分，每题有A、B两

个选项，且只有一个选项是正确的，三人的答案和得分如下表，试问：这五道题的正确答案（按1〜5题的

顺序排列）是__________________

选手答案题

12345得分

号

小聪BAABA40

小玲BABAA40

小红ABBBA30

【答案】BABBA

【解析】

试题分析：根据得分可得小聪和小玲都是只有一个错，小红有2个错误，苜先从三人答案相同的入手分析,

然后从小聪和小玲不同的题目入手即可分析.

试题解析：根据得分可得小聪和小玲都是只有一个错，小红有2个错误.

第5题，三人选项相同，若不是选A,则小聪和小玲的其它题目的答案一定相同，与已知矛盾，则第5题的

答案是A;

第3个第4题小聪和小玲都不同，则一定在这两题上其中一人有错误，则第1,2正确，则1的答案是：B,

2的答案是：A;

则小红的错题是1和2,则3和4正确，则3的答案是：B,4的答案是：B.

总之，正确答案（按1〜5题的顺序排列）是BABBA.

考点：推理与论证.

【点睛】解答推理问题，要先从已知条件出发，通过类比、分类讨论等方法找出矛盾点，得出结论，解题

时容易.出错的地方是不能根据得分推导小聪、小玲有可能做错的题目而导致结论错误.

【举一反三】

如图，淇淇和嘉嘉做数学游戏:

【答案】B.

【解析】

试题分析：先用抽到牌的点数x乘以2再加上6,然后再除以2,最后减去x,列出式子，再根据整式的加

减运算法则进行计算即可.

试题解析：根据题意得：

（xX2坨）4-2r=x+3r=3;

故选B.

考点：整式的加减.

考点典例二、命题的真假

【例2】（2015遂宁）下列命题：①对角线互相垂直的四边形是菱形;

②点。是△?1玩的重心，若中线4大6,则4R3；

③若直线y=Ax+b经过第一、二、四象限，则4<0,。>0；

④定义新运算：a*b=2a-b2,若（2x）*（x-3）=0,则产1或9；

⑤抛物线y=—2f+4x+3的顶点坐标是（1,1）.

其中是真命题的有（只填序号）

【答案】③④.

【解析】

试题分析：①对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，错误；

②点G是2U5C的重心，若中线.46,则/G=4,错误；

③若直线》=去+6经过第一、二、四象限，则Y。，6>0,正确；

④定义新运算：Gb=2a-『,若（2x）*（A-3）=0,则户1或9,正确；

⑤抛物线y=-2幺+4x+3的顶点坐标是（1,5）,错误；

故答案为：③④.

考点：命题与定理.

【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是理解菱形的判定、新定义运算及一次函数、二次函

数的性质.

【举一反三】

（2015达州）下列命题正确的是（）

A.矩形的对角线互相垂直

B.两边和一角对应相等的两.个三角形全等

C.分式方程=2+1=可化为一元一次力程工一2+（2x-l）=-1.5

2x-ll-2x

D.多项式/一16+3/因式分解为Q+4）Q—4）+3t

【答案】C.

t解析】

试题分析：A.矩形的对角线互相垂直是假命题，故本选项错误；

B.两边和一角对应相等的两个三角形全等是假命题，故本选项错误；

-215

C.分式方程-x--+1=—两边都乘以(2x-1),可化为一元一次力程x-2+(2x-1)=-1.5是真命题,

2x-ll-2x

故本选项正确；

D.多项式户-16+3;因式分解为(r+4)(r-4)+3r错误，故本选项错误.

故选C.

考点：命题与定理.

考点典例三、平行线的判定

【例3】如图，能判定EB〃AC的条件是()

A.ZC=ZABEB.ZA=ZEBDC.ZC=ZABCD.ZA=ZABE

rA

DARAC.

【答案】D.

【解析】

试题分析：在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行的两

直线是否由“三线八角”而产生的被截直线.

试题解析：A、NC=/ABE不能判断出EB〃AC,故A选项不符合题意；

B、NA=/EBD不能判断出EB〃AC,故B选项不符合题意；

C、NC=NABC只能判断出AB=AC,不能判断出EB〃AC,故C选项不符合题意；

D、ZA=ZABE,根据内错角相等，两直线平行，可以得出EB〃AC,故D选项符合题意.

故选：D.

考点：平行线的判定.

【点睛】正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内

错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行.

【举一反三】

1.如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是()

A.同位角相等，两直线平行

B.内错角相等，两直线平行

C.两直线平行，同位角相等

D.两直线平行，内错角相等

【答案】A.

【解析】

试题分析：由已知可知NDPF=NBAF,从而得出同位角相等，两直线平行.

试题解析：：NDPF=NBAF,

.•.AB〃PD（同位角相等，两直线平行）.

考点：作图一基本作图；平行线的判定.

2.（2015.河南省，第4题，3分）如图，直线a,b被直线e,d所截，若N1=N2,Z3=125°,则/4的

度数为（）.

A.55°B.60°C.70°D.75°

第4题

【答案】A.

【解析】

试题分析：：N1=N2,，a〃b,，N3的对顶角+N4=180°,N3的对顶角=N3=125°,，N4=180°-125°=55

°,故选A.

考点：平行线的性质与判定.

考点典例四、平行线的性质

【例3】（2015泸州）如图，AB//CI）,CB平■分NABD.若N会40°,则/〃的度数为（）

【答案】B.

【解析】

试题分析：ZC=40°,：.Z.-LBC=409,平分乙45「，...443D=80°,：.^D=1OQ°,故

选B.

考点：平行线的性质.

【点睛】利用平行线的性质求角的大小的方法有两种：一是先根据平行线的性质.求得与已知角互补或相等

的角，再利用互补或相等关系得到答案；二是先求得与已知角互补或相等的角，再利用平行线的性质求得

所求的角的大小.

【举一反三】

1.（2015•湖南株洲）如图，I//m,Zl=120°,ZA=55°,则NACB的大小是。

第11题图

【答案】65°

【解析】

试题分析：根据平行线的性质可得/DBC=N1=12O°,根据三角形外角可得.：ZA+ZACB=120°,从而得出

ZACB的度数.

考点：平行线的性质，三角形的外角

2.如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，如果N1=27°,那么N2

的度数为（）

【答案】C.

【解析】

试题分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出/3,再根据两直线平行，同位角相

等可得/2=/3.

试题解析：由三角形的外角性质，

N3=30°+Z1=3O°+27°=57°，

♦.•矩形的对边平行,

/.Z2=Z3=57°.

故选：C.

考点：平行线的性质.

课时作业☆能力提升

一、选择题

1.（2015•湖北衡阳，9题，3分）下列命题是真命题的是（）.

A.对角线互相平分.的四边形是平行四边形

B.对角线相等的四边形是矩形

C.对角线互相垂直的四边形是菱形

D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

【答案】A

【解析】

试题分析：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项A正确；

“对角线相等的四边形是矩形”，应为“对角线相等的平行四边形是矩形”，故选项B不正确；

“对角线互相垂直的四边形是菱形“，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，故选项C不正

确3

..对角线互相垂直平分的四边形是正方形”，应为.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形”

故选项D不正确.

考点：平行四边形的判定；特殊平行四边形的判定

2.（2015•湖北孝感）下列命题：

①平行四边形的对边相等：

②对角线相等的四边形是矩形；

③正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形；

④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.

其中真命题的个数是（）

A.1B.2C.3I）.4

【答案】C.

【解析】

试题分析：1是对的，平行四边的对边相等是平行四边形的性质，2对角线相等不一定是矩形，有可能是等

腰梯形，3是对的，正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，4也是对的.一条对角线平分一组对角的

平行四边形是菱形，可以通过全等证明对角线互相垂直。

故选：C.

考点：命题.

3.（2015.山东德州第8题，3分）下列命题中，真命题的个数是（）

①若，则一2VL<-1；

2x

②若-1WXW2,则14%2<4；

③凸多边形的外角和为360。；

④三角形中，若/小/后90°,则sM/=cos8.

A.4B.3C.2D.1

【答案】B.

【解析】

试题分析：若则-2<4<一1,所以①正确;

若-1SXS2,贝内WX2£4,所以②错误；

凸多边形的外角和为360。，所以③正确，

三角形中,若乙4+/5=90。，则所以④正确.

故选B.

考点：命题与定理.

4.(2015.山东临沂第2题，3分)如图，直线a〃b,Z1=60°,Z2=40°,则N3等于()

(第2题图)

(A)40°.(B)60°..(C)80°.(D)100°.

【答案】C

【解析】

试题分析：根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，可知Nl=N5=60°,Z2=Z4=40°,可求然后

根据平角的定义可求N3=180°-60°-40°=80°.

故选C

1

b_5

（第2题图）

考点：平行线的性质

5.（2015.山东东营第4题，3分）如图，将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上，Nl=20°,N2=40°,

则N3等于（）

B.30°C.20°

（第4题图）

【答案】C

【解析】

试题分析：由图可知N2=N1+N3,VZ1=2O°,Z2=40",AZ3=20°；

故选C.

考点：1.平行线的性质；2三角形外角的性质.

6.（2015•湖北荆门，6题，3分）如图，m//n,直线/分别交），〃于点4点8,ACLAB,交直线〃于

点G若/1=35°,则N2等于（）

B

A.35°B.45°C.55°D.65°

【答案】C.

【解析】

试题分析：如图,,：ACLAB,：.Z3+Zl=90°,：.Z3=90°-Zl=90°-35°=55°,•.•直线)〃〃，；.N3=

N2=55°,故选C.

考点：平行线的性质.

7.（2015.河北省，第8题，3分）如图，AB//EF,CDLEF,ZBAC=5O°,则（)

A.120°B.130°C.140°D.150°

【答案】C

【解析】

试题分析：如图，延长DC交直线AB于点M,

♦.♦AB〃EF,CD±EF,

AZAMC=90°,

AZACD=50°+90°=140°.

故选：C

考点:平行线的性质，三角形的外角性质

8.（20.15.陕西省，第4题，3分）如图,AB〃CD,直线EF分别交直线AB、CD于点E、F,若Nl=46°30',则

Z2的度数为（）

A.43°30'B.53°30'C.133°30zD.153°30'

【答案】C

【解析】

试题分析：根据平行线的性质：两直线平行同位角相等.可以求出NEFL=/1=46°30"

再根据补角的定义求出N2=180°-46°30,=133°30，

故选C.

考点：平行线的性质、补角的定义.

二、填空题

9.（2015绵阳）如图，AB//CD,.ACDE=U^,次1交/颇的平分线〃于点F,N/华130°,则N

2.

【答案】9.5°.

【解析】

试题分析：'：AB//CD,NCDE=119",：.Z^£9=180°-119°=61°,NDEB=119；TGF交乙DEB的平分钱

EF于点、F,X1190=59.5°,:.NGE六61°+59.5°=120.5°.VZ^fi^lSO0,：.N六ZAGF-

2

Z6X7^