人教版高中数学必修二填空题训练100题含答案

人教版高中数学必修二填空题专题训练100题含答案

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和8,系统A和系统8在任意时刻发

I13

生故障的概率分别为上和〃.若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为G，则〃=

756

2.已知向量Z=（2,M，B=（3,6）,若囚+B卜恒-可，则实数〃，的值为.

3.某校举行篮球比赛，甲、乙两班各出5名运动员（3男2女）进行比赛，为增加趣

味性，下半场从两班各抽取两人交换队伍后进行比赛，则下半场从乙班抽取一名运动员

为女生的概率是.

4.为做好“新冠肺炎''防疫防控工作，西青区学校坚持落实每日体温检测制度，以下为

某校某班级六名同学某日上午的体温记录：36.3,36.1,36.4,35.9,36.2,36.6（单位：

七），则该组数据的第70百分位数.

5.复数2=言（i为虚数单位），则复数z的虚部为.

6.已知向量。=（，%3）,方=（2,-1）,若向量a〃5，则实数"，为.

7.4（1,3）,8（2,2）,C（45+/l）是平面直角坐标系中的三个点，若衣〃而，则2=

8.某歌手电视大奖赛中，七位评委对某选手打出如下分数：7.9,81,8.4,8.5,8.5,8.7,9.9,

则其50百分位数为.

9.复数z满足|z+i|=l,且z+W=2,贝Uz=.

10.某校举行演讲比赛，五位评委对甲、乙两位选手的评分如下：

甲8.17.98.07.98.1

乙7.98.08.18.57.5

记五位评委对甲、乙两位选手评分数据的方差分别为不，暧，则：靡5；（填“>”，

“=”或

11.正方体的棱长是2,则此正方体的体对角线长是

12.若z=（l-i）（z-i）,则z的虚部为.

13.如图是将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩（成绩均为整数）整理

后画出的频率分布直方图，则此班的优秀率（120分及以上为优秀）为.

14.如图所示,o是线段4&闭外一点，若4,A4,…4以中，相邻两点间的距离相等,

O4）=4,042021=及。+…+O&021=（用工，表示）

一一__1UU

15.设q,6时，可为两个不共线的向量，若。=—句―2/与b=2q—3e2共线，则实数

4等于.

16.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术''日"置积尺数，以十六乘之，九而一，

所得开立方除之，即立圆径意思是：球的体积V乘以16,除以9,再开立方，即为球

的直径d,由此我们可以推测当时圆周率的近似值大小为.

17.在下列现象中，随机现象是.（选填序号）

①汽车排放尾气会污染环境；

②实数。、6都不为0,则/+/=（）；

③任取一个正方体的4个顶点，这4个顶点不共面；

④将一枚硬币连掷三次，结果出现三次正面；

⑤函数y=logoX（0<a<l）在定义域内为严格增函数；

⑥三个小球全部放入两个盒子中，其中一个盒子里有三个球.

18.已知向量Z与加夹角为60,|d|=8,向量公在向量5方向上的投影为.

19.期中考试后，班主任想了解全班学生的成绩情况.已知班级中共40名学生，期中

考试考了语文、数学、英语、物理、化学、历史、政治、生物、地理共9门学科.在这

个调查中，总体的容量是.

20.平面a外的两条直线“、b,且a〃a,则。〃6是6〃1的条件（填充分

必要性）.

试卷第2页，共10页

21.已知正方形488的边长为1,贝ij|通+反+配+而=.

22.已知/，根是两条不同的直线，名夕是两个不同的平面，写出以心机,名力之间的部分

位置关系为条件（/_La除外），/_La为结论的一个真命题：.

24.若cos。+（1+sin6），是纯虚数，则。=.

25.已知一个圆锥的底面半径为1,侧面展开图是圆心角为120。的扇形，则圆锥的侧面

积等于.

26.已知同=无，凶=1,2与B的夹角为90。，则|£+耳=

27.若上包=。+砥。为为实数，i为虚数单位），则a+6=______.

l-i

28.将复数z=8卜ing+icos?）化为代数形式为.

29.如图，右,〃两个开关串联再与开关4并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概

率都是0.5,计算在这段时间内线路正常工作的概率为一.

30.如图所示是一个样本容量为100的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其

25%分位数为.

频率

组距

101520数据

31.若4（11）,8（2,-4）,。（％-9）三点共线，则x的值是.

32.已知复数z/,Z2满足|z/|二l,|Z2|=5,则|z/・Z2|的最小值是.

33.已知向量4=（百」）石=（0,—1）,1=伏,百）,^（a-2b）lc,则「等于

34.向量a=（2,3）,坂=（x,5）,且白〃方，则％=.

35.已知平面向量a=（l,H）,五=（2,3）,c=（l,l）.若〃与G共线，则£在"上的投影

向量的坐标为.

36.托勒密(Ptolemy)是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其

名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已

知凸四边形48CZ)的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC8。是其两条对角线，AB=AD,

ABAD=120.AC=6,则四边形ABCD的面积为.

37.△A8C中，。为8c的中点，AB=AAD+pAC,则几一〃=.

38.已知向量2=(2,-1),5=(6,x),且训5，贝!1诲一5川.

39.己知一个圆锥的底面半径与高均为2,且在这个圆锥中有一个内接圆柱.当此圆柱的

侧面积最大时，此圆柱的体积等于.

40.己知在中，点。满足应5=』8。，点E在线段AO(不含端点A,。)上移动，

4

若布=2而+〃衣，贝吟=.

41.已知向量。=(-2,?1),5=(1,3),3=(3,2),若9+掂)佗,则2=.

42.在三角形ABC中，点E,尸满足Z£=gA*,CF=2FA，若/=*而+y*,则x+y

43.己知叫=忖+q,则£与石的夹角大小为.

44.如图，要测量底部不能到达的某铁塔A8的高度，在塔的同一侧选择C,。两观测

点，且在C,。两点测得塔顶的仰角分别为45。,3()。.在水平面上测得48=120。，C,

。两地相距600m,则铁塔AB的高度是m.

45.两个相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放入棱长为1的正方体内，使正四

棱锥的底面A8CZ)与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的

几何体体积的可能值有个.

试卷第4页，共10页

46.给出下列命题：①若a,beR,S.a=b,则a-6+（a+b）i是纯虚数；②4，z2为复

数，z；+z；=O,则4=4=0；③若z2＜（）,则z一定是纯虚数；④虚数的平方根仍是虚

数，其中正确的是.（填序号）

47.已知一组正数不々,看的方差/=；（弁+¥+考-12）,则数据王+2,9+2,毛+2的平

均数为________

48.在AABC中，B=-,BC=2,的面积为4,则边AC为____________.

4

49.已知i是虚数单位，若-2+i是关于x的方程/+〃氏+〃=-1的一个根，则实数〃=

50.总体由编号为01,02,03,49,50的50个个体组成，利用随机数表（如图，

选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的

第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第5个个体的编号为

78166572080263140702436969

3874

32049423495580203635486997

2801

51.已知球的半径为R,43为球面上两点，若AB之间的球面距离是等，则这两点

间的距离等于

52.已知氏夕是空间两个不同的平面，丸〃是空间两条不同的直线，给出的下列说法:

①若相/3,且就/〃，则a/〃？；

②若〃?//a,«///7,且M_L〃，则aJ■夕；

③若，〃_La,〃_L尸，且机〃”，则a///?；

④若"?_La,«±/?,且mJ_”，则。_1_/?.

其中正确的说法为（填序号）

53.已知向量i=B=(6,y),且则5在a上的投影是

54.在河水的流速大小为2m/s情况下，当航程最短时，一艘小船以实际航速10m/s的速

度大小驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为m/s.

55.已知圆柱的上、下底面的中心分别为。1、。2,过直线。。2的平面截该圆柱所得的

截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为.

56.若半径为:但的球的体积与某正方体的体积相等，则该正方体的表面积为

57.正方体ABCQ-ABCA的棱长为a,E是棱。A的中点，则异面直线AB与CE的

距离为.

58.已知2=(1,2)3=(3,1),若向量2与B共线，则/=.

59.如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长度都是2,则它的外接球的体积是

60.下列四个命题中，正确的是.(填序号)

①棱柱的两底面是全等的正多边形；②有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；③有两个侧

面是矩形的棱柱是直棱柱；④四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱.

61.已知向量方，方满足|雨=应，出1=2,且(万+5)1.万，则a与5的夹角为.

62.在AA8C中，角AB,C的对边分别为a,4c,满足。2=(“+c)2_12,B=y,则4

ABC的面积是.

63.已知向量a=(l,2),弓=(2,2+1),若£〃石，贝ij/l=.

64.已知平面向量比=(2,2后)，比与而夹角为60°,|庆+万|=2",则I万1=.

65.在“IBC中，内角A、B、C所对的边分别为“、b、c,且c=2(acos8-bcosA),

66.向量&=(3,-4),则公的单位向量是.

67.已知两个单位向量/了的夹角为60,^=ta+(\-t)b＞若H=0,贝"=

68.下列命题中：(1)a(be)=(ab)c；(2)若=c区则£=G;(3)|fl|=a；(4)

试卷第6页，共10页

(£出)2=7不；(5)若keR,则h6=0.其中正确的是

69.已知点G为A4?C的重心，且AGJ.BG,若一「二+」不=」二，则〃=

tanAtanBtanC

70.在AABC中，内角4、B、C的对边分别为a、b、c,若。=acosC+^c,则角4为

2

71.在AABC中，三边a、Rc所对的三个内角分别为A、B、C,若a=3"=2",B=2A,

则边长c=.

72.设。为△ABC的内心，AS=AC=5,BC=8,=R),则加+〃=

73.设。、/为两个不同平面，直线mua,贝『七/啰”是“加〃夕，的条件.

74.设xwR,向量〃=(x,l),5=(1,—2),且〃5,则卜+2同=.

75.已知A(7,1)、B(l,4),直线y=；ax与线段AB交于C,且M=2而，则实数a

等于________

76.在四棱锥S-4J8中，平面SABJ■平面SAZ),侧面SAB是边长为2G的等边三角形，

底面ABC。是矩形，且8c=4,则该四棱锥外接球的表面积等于.

77.如图，平面，平面a,04ua,OA=AB,ZO4B=120°.平面a内一点尸满

足PALPB,记直线OP与平面OAB所成角为0,则tan。的最大值是.

TT

78.如图，直径钻=4的半圆，。为圆心，点C在半圆弧上，ZADC=y,线段AC上

有动点尸，则丽・丽的最小值为.

79.设复数z满足恸=1,且使得关于x的方程〃2+2支+3=()有实根，则这样的复数z

的和为.

80.已知向量4=（cosasin。），向量5=（1,-2a），则阿川的最大值是.

81.三棱锥P-ABC的四个顶点都在半径为4的球面上，且三条侧棱两两互相垂直，则

该三棱锥侧面积的最大值为.

82.在IBC中，/C=90：,标=2丽，记NACD=a,/A8C=/,则tan（a+⑶的最

大值为.

83.长方体ABCD-44CQ的8个顶点在同一个球面上，且AB=2,AD=>/3,M=4,

则球的表面积为.

84.如图，。是A4?C的重心，AB=d，AC=b>。是边8c上一点，且丽=3反，

0/5=痴+成，贝1」2+〃=.

85.已知等边三角形ABC的边长为6,分别为A仇AC的中点，将AAMN沿MN折

起至△AMN,在四棱锥4-MVC8中，下列说法正确的序号是.

①直线MN〃平面A,BC

②当四棱锥A'-MNC8体积最大时，二面角A-MN-3为直二面角

③在折起过程中存在某位置使BN，平面ANC

④当四棱A-MNC8体积最大时，它的各顶点都在球。的球面上，则球。的表面积为

39%

86.四边形ABCZ）是等腰梯形，AB//DC,AB=3,8=6,ZADC=60°,梯形ABCD

的四个顶点在半径为2G的球面上，若S是球面上一点，则四棱锥S-ABCD体积的最大

值为.

87.如图，在正方体ABCD-A/8/。。/中，M,N分别是BC/,C。/的中点，则下列判断

中错误的是.（填序号）

试卷第8页，共10页

①MN与CG垂直；

②MN与AC垂直；

③MN与8。平行；

④MN与A/Bi平行.

88.课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的

城市的个数分别为4、12、8.若用分层抽样的方法抽取6个城市，则乙组中应抽取的

城市数为.

89.已知A,B,C,3是同一球面上的四个点，中，ZR4C=120°,AB=AC,

4。_L平面ABC,AD=6,AB=2后，则该球的表面积为.

90.如图，%_L。。所在平面，AB是。。的直径，C是。。上一点，AEA.PC,AF1PB,

给出下列结论：®A£±BC；②E/UPB；③A/UBC；④平面PBC,其中正确结论

的序号是.

P

C

91.半径为2的球的内接几何体的三视图如图，则其体积为

11

正视图侧视图

92.在A45C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足asinB=QbcosA.若

。=4,则AABC周长的最大值为.

93.已知复数z为纯虚数，若（2-i）z=a+i（其中i为虚数单位），则实数。的值为

试卷第10页，共10页

参考答案:

1

1.-

【解析】

【分析】

利用独立事件同时发生的概率求解.

【详解】

由题意得:（1-p）+gp=称，解得P=J.

7756o

故答案为：-

8

2.-1

【解析】

【分析】

对卜£+斤=|3£-6两边平方，化简再结数量积的运算可得答案

【详解】

解：由粒+闸=忸叫，得97+635+片=9/-67",

得7B=o,

因为a=（2,〃z）,石=（3,6）,

所以6+6/”=0,得wi=-l,

故答案为：-1

3.-##0.4

5

【解析】

【分析】

根据古典概型的计算公式即可求解.

【详解】

解：乙班共5名运动员，其中2名女生，故抽取一名女生的概率P=（.

,2

故答案为：—

4.36.4

【解析】

答案第1页，共45页

【分析】

根据第70百分位数定义计算可得.

【详解】

解：将六名同学某日上午的体温从小到大排列为：

35.9,36.1,36.2,36.3,36.4,36.6,

因为70%x6=4.2,

所以该组数据的第70百分位数为36.4.

故答案为：36.4.

3

5.-##1.5

2

【解析】

【分析】

根据复数的除法运算化简z,再由虚部的定义求复数z的虚部.

【详解】

「位2+i_(2+i)(l+i)l+3i13.

1-i(l-i)(l+i)222

3

所以复数z的虚部为5,

..一3

故答案为：~■

6.-6

【解析】

【分析】

根据平面向量共线向量的坐标表示，列关于，”的方程，解出即可.

【详解】

Qa=（机,3）,,且“〃〃，则有m=6,解得帆=-6.

故答案为：-6.

【点睛】

考查向量坐标的概念，平行向量的坐标关系，解题的关键就是根据共线向量的坐标表示列方

程求解，考查运算求解能力，属于基础题.

7.--##-0.5

2

答案第2页，共45页

【解析】

【分析】

直接根据向量平行的性质求解即可.

【详解】

=—1),AC—2+A),^4C//AB>2+X=1—九2=-g.

故答案为：

2

8.8.5

【解析】

【分析】

由题意，数据按照从小到大的顺序排列，分析得50百分位数即为这组数据的中位数，所以

找第4个数据8.5.

【详解】

由题意可知，共有7个数据并且己经按照从小到大的顺序排列，其50百分位数即为这组数据

的中位数，所以其50百分位数是第4个数据为8.5.

故答案为：8.5

9.1-i.

【解析】

【分析】

设复数z=a+友，则z+W=2a=2,即可求得。值，又z+i=l+S+l)i,代入求模公式，即

可求得b值，即可得答案.

【详解】

解：设复数Z=Q+A,则z+z=〃+初+々-4=2a=2，解得〃=1,

又z+i=a+S+l)i=l+S+l)i,且|z+i|二l,

所以Jl+(b+l)2=1,解得b=T,

所以z=l-i.

故答案为：1区

10.<

【解析】

答案第3页，共45页

【分析】

计算出端,53由此确定正确答案.

【详解】

8.1+7.9+80+7.9+8.1

甲的得分平均值为------------------------------------=oQ.On,

5

耶=1（0.12x4）=一

7.9+8.0+8.1+8.5+7.5

乙的得分平均值为----------------------=o.O,

5

=1(0.12X2+0.52X2)=^

所以蜀＜s3

故答案为：＜

11.2石

【解析】

【分析】

根据正方体体对角线的计算公式，计算出体对角线.

【详解】

正方体的体对角线长为2x6=2#.

故答案为2g.

【点睛】

设正方体的边长为。，则其体对角线长为Ga.本小题主要考查正方体体对角线的计算，属

于基础题.

12.1

【解析】

【分析】

令z=a+为，。/eR,利用复数乘法及复数相等列方程组求出z,即可确定虚部.

【详解】

z=a+bi,a,bGR,则z=(l-i)[a+(b-l)i]=a+b-l+(b-a-1)i,

答案第4页，共45页

[ci+b—\—cifa=-1-

所以7I1,可得入I，故Z=T+i，即虚部为1.

\b-a-\=b[8=]

故答案为：1

13.30%

【解析】

【分析】

直接由频率分布直方图求解即可

【详解】

优秀率为10x(0.0225+0.005+0.0025)=0.3=30%.

故答案为：30%

14.ion(a+s)

【解析】

【分析】

设点A为线段44021的中点，则A也为线段A&O2O,440I9,A/M8'…'AoioAoil的中点，然后

根据向量加法平行四边形法则即可求解

【详解】

解:设A为线段44o2i的中点,则A也为线段4&)2。，4怎19,44。18产.，43。431的中点，

由向量加法的平行四边形法则可得两+0。=2砺=£+石，

020=2。4=a+b,

....

/oio+OAou=2OA=4+B，

所以+OAy+…+Q4207G+。&021=1011(。+b),

故答案为：1()1ig+B)

15.

2

【解析】

【分析】

根据£与石共线，设£=防，代入化简可得(2%+1露+(/1-3々舟=6,根据1与公不共线，列

答案第5页，共45页

方程组求解即可.

【详解】

Q；?与B共线，所以存在实数“，使得£=口，=-冢-41=左(23-34),

=>(2k4-l)e[+(2-3k)e^=0,

2k+l=0_2

,：ex与G不共线，丸-34=0=<

2=--

2

3

故答案为：-Q

6幺

8

【解析】

【分析】

由题设及球体的体积公式可得叱=/,即可推测当时圆周率的近似值大小.

27

【详解】

由题意，罂=心又v=„

:.—^d3,可得乃=寻.

278

故答案为：?27

O

17.③④⑥

【解析】

【分析】

根据给定条件，利用随机事件、不可能事件、必然事件的定义逐一判断各个命题作答.

【详解】

对于①，汽车排放的尾气一定会污染环境，①是必然事件；

对于②，因实数4、6都不为0,则/>0,从>0,/+层>0,②是不可能事件；

对于③，正方体的4个顶点可能在一个平面内，也可能不在同一平面内，③是随机事件；

对于④，一枚硬币连掷三次，出现的结果有3次反面、2次反面1次正面、1次反面2次正

面，3次正面，④是随机事件；

对于⑤，函数y=10g〃X(0<a<l)在定义域内为严格减函数，⑤是不可能事件;

答案第6页，共45页

对于⑥，三个小球全部放入两个盒子中，某个盒子中可能有0个球、1个球、2个球、3个

球，⑥是随机事件.

所以随机现象是③④⑥.

故答案为：③④⑥

18.4

【解析】

【分析】

直接利用向量Z在向量B方向上的投影公式求解.

【详解】

由题得向量3在向量各方向上的投影为|£|COS<£,5>=8XCOS60=4.

故答案为：4

【点睛】

本题主要考查向量£在向量B方向上的投影的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.

19.40

【解析】

【分析】

依据总体的容量的定义即可得到本次调查总体的容量.

【详解】

本次调查是为了了解全班学生的成绩情况，

因此总体是全班每一名学生的成绩情况，总体的容量为40

故答案为：40

20.充分不必要

【解析】

【分析】

由线面平行的判定定理分析即可.

【详解】

解：平面a外的两条直线a、b,

若a〃a且a//b,则根据直线与平面平行的判定定理可知b//«；

若a//a且b//a,则不一定有a//b.

答案第7页，共45页

故答案为：充分不必要.

21.2五

【解析】

【分析】

结合向量的线性运算的加法法则得出|通+反+元+码=2］明,

根据题意求出|配|即可.

【详解】

因为通+元=高标+反=而，

所以,月+觉+8（?+而卜］2园=2|明，

又正方体的边长为1,所以对角线|AC|=J而下=0,

即|罔=也,所以|通+反+0+码=2&.

故答案为：2近

22.^all/3,mL/3,lllm,则/J_a.（答案不唯一）

【解析】

【分析】

根据平面基本性质写出一个符合题设的真命题即可.

【详解】

若a//Q,〃加，则/_La.

故答案为:若则/_La.

23.1+i

答案第8页，共45页

【解析】

【分析】

根据复数的除法运算求解即可，然后求出共挽复数.

【详解】

z=v+l=l-i,所以三=l+i.

1

故答案为：1+i

7T

24.2k7r+—(keZ)

【解析】

根据复数为纯虚数的条件列式，结合特殊角的三角函数值，求得。的值.

【详解】

[cos0=0[cos6=0

由于复数为纯虚数，所以，.c八，即.C、，：，e=2k兀一也必.

[l+sin"0[sin2

故答案为：2k兀+1keZ)

2

【点睛】

本小题主要考查复数为纯虚数的条件，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.

25.3万

【解析】

【分析】

根据扇形的弧长公式及圆锥的侧面积公式即可求解.

【详解】

解：设圆锥的母线长为/,即侧面展开图的半径为/,

所以黑3=2乃xl，所以/=3,

所以圆锥的侧面积等于万xlx3=3".

故答案为：3n.

26.6

【解析】

根据F+B卜展开,代入数据即可.

【详解】

答案第9页，共45页

因为a与囚的夹角为90。，所以Q./?=（）.

因为同=&,欠=1,

所以卜+6卜,（七+5）=J同2+忖『

+2。•5=J2+1+0=6•

故答案为：73.

27.3

【解析】

【详解】

因为学=a+此所以3+〃=（a+初）（l—i）=a+b+（b—a）i.又因为。力都为实数，故由复

1—Z

a+Z?=3,。=0,

数的相等的充要条件得｛〃,解得｛八.所以a+6=3.

b-a=b,b=3

【点评】本题考查复数的相等即相关运算.本题若首先对左边的分母进行复数有理化，也可

以求解，但较繁琐一些.来年需注意复数的几何意义，基本概念（共辆复数），基本运算等的

考查.

28.4宕+4i

【解析】

【分析】

直接计算即可得答案.

【详解】

解：z=sfsin—+icos—>l=8—+—i=4A/3+4i.

I33J（22）

故答案为：45/3+4i

29.0.625##-

【解析】

【分析】

求出开关心,人均正常工作的概率及开关4正常工作的概率，由相互独立事件概率公式、对

立事件概率公式即可求出答案.

【详解】

由题意，开关心,〃在某段时间均正常工作的概率々=0.5x0.5=0.25,

答案第10页，共45页

开关4在某段时间正常工作的概率5=0$,

这段时间内线路正常工作的概率为：P=l-(l-ZJ)(l-^)=l-0.75x0.5=0.625.

故答案为：0.625.

30.10.5

【解析】

【分析】

根据频率可判断25%分位数在［10,15)内，列式即可求出.

【详解】

由图可知第一组的频率为0.04x5=0.2<0.25,

前两组的频率之和为0.04x5+0.1x5=0.7>0.25,

则可知其25%分位数在［10,15)内，设为x,

则0.1x(x_10)=0.25—0.2,解得x=10.5.

故答案为：10.5.

31.3

【解析】

【分析】

直接利用共线向量的坐标运算公式求解即可.

【详解】

由题意得荏=(1,-5),恁=(犬一1,一10),

：A,8,C三点共线，.•.通=2AC，

即解得H，

i［x=3

故答案为：3.

32.4

【解析】

【分析】

由题意画出图形，数形结合得答案.

【详解】

答案第11页，共45页

解:由IZ|1=1,%1=5,

可得4,4所对应点的轨迹分别为以原点为圆心，以1和5为半径的圆,

匕-z?|的几何意义为两圆上点的距离，由图可知，最小值为5-1=4.

故答案为:4.

33.-3

【解析】

【分析】

首先求出的坐标，再根据向量垂直得到伍-25）^=0,即可求出参数的值;

【详解】

解：因为1=（石,1）万=（0,-1）1=（仁6）

所以a_涕=（百,112（0,T）=（百,3）,因为伍-25）_L1

所以（万一25）吃=6k+3百=0,解得％=—3

故答案为：-3

34心

3

【解析】

【分析】

利用向量共线求解即可.

【详解】

因为向量°=（2,3）,B=（X,5）,且£〃石,

所以2x5=3x,

答案第12页，共45页

解得x=T

故答案为：

35.(2,2)

【解析】

【分析】

先根据向量的坐标运算，表示出。-2力，根据共线求出4,然后可得公在"方向上的投影向

量的坐标.

【详解】

Va=(1,2),^=(2,3),/.«-2Z?=(-3,A-6),又丁。一2b与"共线，

/.-3=2-6,/.A=3,・・・Z=(I,3),

向量a在向量2方向上的投影为空=2&,

|c|V2

由于向量商在向量2方向上的投影向量与"共线，且|2|=应，

可得所求向量为¥”=2(1,1)=(2,2).

V2

故答案为：(2,2)

36.9.

【解析】

【分析】

在△A5D中设，利用余弦定理求得BD,再运用托勒密定理，求得BC+CD,再结合

圆的性质得到/A3£)=/AC£>=30。，然后利用三角形面积公式，由%边形Meo=S’ABO+S"co

求解.

【详解】

在△ABD中，设AB=a,由余弦定理得：BD2AB2+AD2-2AB-AD-cosZBAD=3a2，

所以=

由托勒密定理可得“(BC+C0=AC-也a,

即BC+C£>=64C,又=NACO=30,

答案第13页，共45页

所以四边形ABC。的面积S=J8C•ACsin30+■!■C£>•AC•sin30

22

=-(BC+CD)AC=—AC2=943.

44

故答案为：9G.

37.3

【解析】

____i_.___

。为BC的中点，由向量加法的几何含义有AO=/(AB+4C),即通=2而-恁结合题设

即可求得4、N,进而求

【详解】

△4BC中，。为BC的中点，则有A/j=g(A4+AO

-'-AB=2AD-AC,由A月=2AZ5+〃AC

可知：几=2,〃=-1

2.-/2=3

故答案为：3

【点睛】

本题考查了向量的几何应用，根据向量加法的几何应用，利用平行四边形法则得到向量间的

等量关系求得对应参数值，进而求目标代数式的值

38.2旧

【解析】

【详解】

由题得2x+6=0x=-3.•.”5=(-4,2).*-51=次+(-2)2=2石，故填2G

39.乃

【解析】

【分析】

先画出几何体的轴截面图，设圆柱的底面半径为「，则圆柱的侧面积为

S=2^r(2-r)=-2^(r2-2r)=-2^[(r-l)2-1],从而可求出r=l时,S取得最大值,进而可

求出圆柱的体积

【详解】

答案第14页，共45页

解：该几何体的轴截面如图所示，则。4=03=00=2,设圆柱的底面半径为，

则OD=ME=AM=r,OM=2—r,

所以圆柱的侧面积为s=2乃『(2-r)=-2"产-2r)=-24(r-if-1],

所以当r=l时，S取得最大值2万，

此时圆柱的体积为M="X12X1=T

故答案为：兀

【解析】

【分析】

AE=mAD（Q</«<1），利用向量的线性运算求得荏关于通，前的表达式，利用平面向量基

本定理中的分解唯一性得到尢〃关于"?的表达式，进而得到答案.

【详解】

如图，由题意得存在实数"?，使得荏=，〃而（0<加<1）.

所以荏=小仕而+之而]=竺通+网正,

[44J44

y."."AE=AAB+juAC,且通，正不共线，

m

2-

故由平面向量的分解的唯一性得

3m

答案第15页，共45页

所以4=3.

A,

故答案为：3.

41.-1

【解析】

利用向量的坐标运算表示出3+证，再根据向量共线定理得到方程，解得.

【详解】

解：由£=(-2,D，*=(1,3)，可得£+花=(-2+41+3/1).又"=(3,2),(a+Xb)Hc,所以

3(1+32)=2(-2+2),解得2=7.

故答案为：-1

【点睛】

本题考查向量的坐标运算，以及平面向量共线定理的应用，属于基础题.

42.x+y=——

6

【解析】

【详解】

—.—.—.1—.1—.111

依题意有后尸=E4+A尸=+,所以尤=一；7，,=彳，所以九十,二一乙.

23236

c2兀

43.—

3

【解析】

【分析】

设2与万的夹角为。，利用MI=W=M+4即问'=(£+万『可得cose的值，结合夕的范围即可得

。的值.

【详解】

设2与1的夹角为巴

因为同=|£+可，所以，=卜+5『=(0+5)、

所以同2=|a|2+时+2同.(cose,

因为卜卜W，所以0=|5『+2w『-cose,可得cosd=-g,

因为04。＜兀，所以。=号27r，

答案第16页，共45页

故答案为：y.

44.600

【解析】

【分析】

设A8=x，则BC=AB=X,3Q=GX,在△BCD中，结合余弦定理可列关于x的方程，求出

后即可得到AB的长.

【详解】

设AB=xm,则8C=AB=x,BO=岳，

在△8C£>中，由余弦定理可得：3/=/+60()2—2x600xcosl20。，

Ax2-300x-180000=0.

解得x=600(m),(x=—300舍去).

故答案为：600.

45.无穷多

【解析】

【分析】

根据正方体与正四棱锥性质，正方形A8C。在正方体的过四条平行棱中点的截面的内，这个

截面是正方形，由正方形的内接正方形的面积值可得棱锥的体积值，由此可得结论.

【详解】

显然两个正四校锥的高均为g,考查放入正方体后，面ABC。所在的截面为正方形PQMN,

22222

如图，］^BQ=a,CQ=b,显然有。+匕=1,BC=a+b,SABCD=a+b,这样的(。,勿，

只要满足a+A=l,a>0,b>0,有无数对，即5ABs有无数个值，取值范围是：g，”,所

以该几何体的体积取值范围是：［，，11.

故答案为：无穷多.

答案第17页，共45页

46.③④##©③

【解析】

【分析】

根据纯虚数的定义和性质，结合特例法和反证法逐一判断即可.

【详解】

①：当。=6=0时，a-b+^a+b)i-0,显然不是纯虚数，本命题不正确；

②：当4=1,Zz=i时，显然z；+z；=0,但是Z|=z?=0不成立，本命题不正确；

③：设2=。+历(a,〃eR),由22<00"2-6+2°洌<0=>"=0且°2-/<(),

当。=0时，有-从<0，所以

当匕=0时，有Evo,显然不可能成立，因此z一定是纯虚数，所以本命题正确；

④：设z=a+万(a,beR,bwO),设z;=z,如果ZI=c(ceR),

则有c?=0+bi=>/=〃且6=0,这与6Ho相矛盾，所以假设不成立，故z1不是实数，是虚

数，因此本命题正确，

故答案为：③④

47.4

【解析】

【详解】

分析：根据方差的公式求得原数据的平均数后，求得新数据的平均数即可.

详解：由方差的计算公式可得：

1__

S2=—[(X1-X)2+(X2-x)2+(X3-x)2]

1__

--[X|2+X22+X32-2(X1+X2+X3),.r+3x2]

=g[X|2+X22+X32-6^2+3x2]

答案第18页，共45页

1.

=-[X|2+X22+X32]-X2

=7(XI2+X2+X32-12)

32

可得平均数输=2.

r」十皿3_八,,p,%+2+x,+2++23x2+6.

对于数据xi+2,X2+2,X3+2的平均数w是-----2―----;---=-------=4,

33

故答案为4.

点睛：(1)本题主要考查平均数和方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)解

答本题的关键是化简运算.

48.2亚

【解析】

【分析】

由AABC的面积为4及8=5，8c=2求出A8=4及，借助余弦定理求解边AC即可.

【详解】

因为AMC的面积为4,所以S=：8CABsinB=4,

1jr

所以5x2xABxsin.=4,所以AB=4夜，

由余弦定理得：AC=卜、(4及丫-2x2x4也X曰=2布.

故答案为：2石.

49.4

【解析】

【分析】

将-2+i代入f+px+〃=-l,求解即可.

【详解】

解：由题意知：—2+i是方程元2+川+〃=一1的一个根，