河北省廊坊市三河付辛庄中学2022-2023学年高二数学文摸底试卷含解析

河北省廊坊市三河付辛庄中学2022-2023学年高二数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的一个零点所在的区间是(

)A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)参考答案：C【分析】根据函数零点的判定定理进行判断即可【详解】是连续的减函数，又可得f（2）f（3）＜0，∴函数f（x）的其中一个零点所在的区间是(2,3)故选：C【点睛】本题考查了函数零点的判定定理，若函数单调，只需端点的函数值异号即可判断零点所在区间，是一道基础题．2.在直角△ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D为AC中点（左图），将∠ABD沿BD折起，使得AB⊥CD（右图），则二面角A﹣BD﹣C的余弦值为（）A．B． C． D．参考答案：A【考点】二面角的平面角及求法．【分析】由（1）的证明可得∠A′EF为二面角A﹣BD﹣C的平面角．过A作AO⊥面BCD，垂足为O．由于面AEF⊥面BCD，所以O在FE上，连BO交CD延长线于M，从而当AB⊥CD时，由三垂线定理的逆定理得BM⊥CM，由此可求得cos∠AEO=，利用互补得出二面角A﹣BD﹣C的余弦值为．【解答】解：过A作AE⊥BD，在原图延长角BC与F，过A作AO⊥面BCD，垂足为O．由于面AEF⊥面BCD，所以O在FE上，连BO交CD延长线于M，∵在△ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D为AC中点，AB=，BD=AC，∴△ABD为等边三角形，∴BD⊥AE，BD⊥EF，∴∠AEF为二面角A﹣BD﹣C的平面角，过A作AO⊥面BCD，垂足为O，∵面AEF⊥面BCD，∴O在EF上，理解BO交CD延长线于M，当AB⊥CD时，由三垂线定理的逆定理可知：MB⊥CM，∴O为翻折之前的三角形ABD的中心，∴OE=AE，cos∠AEO=，∴cos∠AEF=，故选：A3.已知关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是（

）A．[0,1] B．[0,1) C．(0,1) D．(0,1]参考答案：B时，符合题意，时，关于的不等式的解集为，只需，综上可知实数的取值范围是，选B.

4.设函数，则f(x)的值域是（）A. B.[0,+∞)C. D.参考答案：D【分析】分段函数用解析式分段讨论，最后合在一起就是值域.【详解】等价于即或，此时此时取值范围是.而等价于即，此时此时的取值范围是.所以的值域是，故选D.【点睛】此题考查了分段函数的性质，属于中档题.5.若，则f（x）=（）A．f（x）=x2+2B．f（x）=x2﹣2C．f（x）=（x+1）2D．f（x）=（x﹣1）2参考答案：A【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值．【分析】直接利用配方法求解即可．【解答】解：=．∴f（x）=x2+2．故选：A．6.两条平行线4x+3y-1=0与8x+6y+3=0之间的距离是（

）

A．1

B.

C.

D．参考答案：D7.已知实数x、y满足x2+y2=1，则(1－xy)(1+xy)(

)A.有最小值，也有最大值1

B.有最小值，也有最大值1C.有最小值，但无最大值

D.有最大值1，但无最小值参考答案：B8.设F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=﹣上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则C的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】由△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，得|PF1|=|F1F2|且∠PF1F2=120°，设交x轴于点M，可得|PF1|=2|F1M|，由此建立关于a、c的等式，解之即可求得椭圆E的离心率．【解答】解：设交x轴于点M，∵△F1PF2是底角为30°的等腰三角形∴∠PF1F2=120°，|PF1|=|F2F1|，且|PF1|=2|F1M|．∵P为直线上一点，∴2（﹣c+）=2c，解之得3a=4c∴椭圆E的离心率为e==故选：C【点评】本题给出与椭圆有关的等腰三角形，在已知三角形形状的情况下求椭圆的离心率．着重考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．9.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率是，则此双曲线的离心率等于（）A． B． C．2 D．参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意得=，利用e=，可得结论．【解答】解：由题意得=，∴e===2，故选C．【点评】本题考查双曲线的离心率的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．10.已知复数z=i（1+2i），则复数z的虚部为（）A．2 B．3 C．﹣1 D．1参考答案：D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的概念即可得到结论【解答】解：z=i（1+2i）=﹣2+i，则z的虚部为1，故选：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，在中，，若为的外心，则

参考答案：略12.若函数f（x）=x3+bx（x∈R）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线与直线y=﹣x+2a平行，则实数b的值

．参考答案：﹣4【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，得到f′（1），由函数f（x）=x3+bx（x∈R）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线与直线y=﹣x+2a平行即可求得b值．【解答】解：由f（x）=x3+bx，得f′（x）=3x2+b，∴f′（1）=3+b，∵函数f（x）=x3+bx（x∈R）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线与直线y=﹣x+2a平行，∴3+b=﹣1，解得b=﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．13.函数的最小值为

.参考答案：略14.已知甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是、、，则三人都达标的概率是

．参考答案：15.已知各项都为正项的等比数列的任何一项都等于它后面相邻两项的和，则该数列的公比

参考答案：16.若正实数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值是

▲

．参考答案：8当y=2x取得等号，所以的最小值是8

17.已知函数f（x）=有且仅有三个极值点，则a的取值范围是

．参考答案：（0，）【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】需要分类讨论，当a=0时，当a＜0时，当a＞0时三种情况，其中当a＞0，若x＞0，则f（x）=xlnx﹣ax2，求导，构造函数g（x）=lnx+1﹣2ax，求出函数g（x）的最大值，要让（x）=xlnx﹣ax2有2个极值点，须让g（x）=f'（x）有两个零点，即只须让g（x）max＞0，解得即可．【解答】解：①当a=0时，f（x）=，此时f（x）在（﹣∞，0）上不存在极值点，在（0，+∞）上有且只有一个极值点，显然不成立，②当a＜0时，若x＜0，则f（x）=x2+ax，对称轴，在（﹣∞，0）上不存在极值点，若x＞0，则f（x）=xlnx﹣ax2，f'（x）=lnx+1﹣2ax，令g（x）=lnx+1﹣2ax，（x＞0），则，即g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g（x）有且仅有1个零，即f'（x）有且仅有一个零点，即f（x）只有一个极值点，显然不成立，③当a＞0时若x＜0，则f（x）=x2+ax，对称轴x=﹣＜0，在（﹣∞，0）存在1个极值点若x＞0，则f（x）=xlnx﹣ax2，∴f′（x）=lnx+1﹣2ax，令g（x）=lnx+1﹣2ax，（x＞0），则g′（x）=﹣2a=﹣由g'（x）＞0可得，由g′（x）＜0可得x＞，∴g（x）在上单调递增，在（，0）上单调递减，则，要让（x）=xlnx﹣ax2有2个极值点，须让g（x）=f'（x）有两个零点，即只须让g（x）max＞0，即g（x）max=﹣ln2a＞0，解得得综上所述a的取值范围为（0，）．故答案为：．【点评】本题考查了分段函数的问题，以及导数和函数的单调性最值的关系，培养了学生的分类讨论思想化归思想，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）已知，求实数的取值范围.参考答案：19.已知经过点A（－4，0）的动直线l与抛物线G：相交于B、C，当直线l的斜率是时，．（Ⅰ）求抛物线G的方程；（Ⅱ）设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．参考答案：解：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，由已知k1＝时，l方程为y＝(x＋4)即x＝2y－4．

由得2y2－(8＋p)y＋8＝0∴又∵∴y2＝4y1

由p＞0得：y1＝1，y2＝4，p＝2，即抛物线方程为：x2＝4y．

(2)设l：y＝k(x＋4)，BC中点坐标为(x0，y0)

由得：x2－4kx－16k＝0①∴x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k．

∴BC的中垂线方程为y?2k2?4k＝?(x?2k)

∴BC的中垂线在y轴上的截距为：b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2

对于方程①由△＝16k2＋64k＞0得：k＞0或k＜－4．

∴b∈(2，＋∞)

略20.如果x是实数，且x＞﹣1，x≠0，n为大于1的自然数，用数学归纳法证明：（1+x）n＞1+nx．参考答案：【考点】RG：数学归纳法．【分析】利用数学归纳法证明：（1）当n=2时，证明不等式成立；（2）假设n=k（k≥2，k∈N*）时命题成立，用上归纳假设，去证明则当n=k+1时，不等式也成立即可．【解答】证明：（1）当n=2时，∵x≠0，∴（1+x）2=1+2x+x2＞1+2x，不等式成立；（2）假设n=k（k≥2）时，不等式成立，即（1+x）k＞1+kx当n=k+1时，左边=（1+x）k+1=（1+x）k（1+x）＞（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x，∴当n=k+1时，不等式成立由（1）（2）可知，不等式成立．21.（13分）根据政府的要求，某建筑公司拟用1080万购一块空地，计划在该空地上建造一栋每层1500米的高层经济适用房，经测算，如果将适用房建为x（x∈N*）层，则每平方的平均建筑费用为800+50x（单位：元）．（1）写出拟建适用房每平方米的平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；（2）改适用房应建造多少层时，可使适用房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？（（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）参考答案：【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；不等式．【分析】（1）由已知得，楼房每平方米的平均综合费为每平方米的平均建筑费用为800+50x与平均购地费用的和，由已知中某单位用1080万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋x层，每层1500平方米的楼房，我们易得楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；（2）由（1）中的楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式，要求楼房每平方米的平均综合费用最小值，先利用基本不等式，检验等号成立的条件，即可求最小值．【解答】解（1）依题意得y=（800+50x）+=800+50x+（x∈N*）；（2）由y=800+50x+≥800+1200=2000，当且仅当50x=，即x=12时取得等号，故该公寓应建造12层时，可使公寓每平方米的平均综合费用最少，最小值为2000元．【点评】函数的实际应用题，我们要经过审题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际