版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
浙江省2022年高中数学7月学业水平合格性考试仿真模拟试卷05
一、单选题(本大题共18小题,每小题3分,共54分。每小题列出的四个备选项中只有一
个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)
1.已知集合4=任卜=18(2"-—)},B={x||x-2|<1J,则4"刃=()
A.(0©B.(1©
C.(13)D.10司
【答案】B
【解析】
【分析】
由定义域得到不等式,解不等式求出4,解绝对值不等式求出况从而求出交集.
【详解】
由对数函数真数大于0得至解得:0<x<2,所以4=(00,
由|第一2|<1,解得:1cH<3,所以B=(L3),
故笈=(12)
故选:B
2.函数r(X)=Jto辱(4r-5)的定义域为()
A.Q.+m)b-Q-Dc-(力之)D-
【答案】B
【解析】
【分析】
根据具体函数的定义域的求法,得到f1驾处一,些°,解不等式组即可求出结果.
I4r-5>0
【详解】
由题意可得解得三VHS立故函数rC0=/ta©_(4r-5)的定义域为
I4x-5>042N1
故选:B.
3.设i为虚数单位,复数Z满足(1+i)z=(_1+i)2,贝卜.Z为()
A.eB.2C.3D.4
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则可得Zhl-i,即得.
【详解】
V(l+i)z=(-l+整
故选:B.
4.如图,已知等腰直角三角形△0Z'",0'4'=40是一个平面图形的直观图,斜边=2.
则这个平面图形的面积是()
A.3B.1C.V5D.2^2
【答案】D
【解析】
【分析】
由直观图可确定平面图形是以2和土后为直角边的直角三角形,由此可求得结果.
【详解】
vtfrf=2.CiA=A^zAOB1=45*二
由此可知平面图形是如下图所示的RtAtMB,
2
A
其中tMJLCW,09=O'==2,04=20/=2夜,
■■S&OAB=如OH=2x2短=20
故选:D.
5.设\yeR,向量胃=工=(1.»1)W=(2.-42),且胃_1_三反・2,则|JC+M=
()
A.1B.2C.3D.4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量平行和垂直的坐标表示求出y和x即可.
【详解】
a±c=>a-c=0=>2r—4+2=0=>r=l>
芸〃2=>:==—2«
.,.|X+T|=1.
故选:A.
6.已知函数y=2萩(oXJ),则此函数是()
A.偶函数且在J8,+8)上单调递减B.偶函数且在J8,+CO)上单调递增
C.奇函数且在(-8,4-00)上单调递减D.奇函数且在(-°°,+°°)上单调递增
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性的定义和基函数的单调性可得选项.
【详解】
解:令y=f㈤uZax3,则函数y=f(幼nNai3的定义域为人且
3
f(-x)=2«寸=-2a^
所以函数y=f[功是奇函数,
又因为M),所以函数y=f(©=2口/在(-8,+CO)上单调递增,
故选:D.
7.己知复数z满足|z+l-i|=l(i为虚数单位),则国的最大值为()
A.2B.V5+1C.b+1D.1
【答案】B
【解析】
【分析】
设复数z=M+yi,%yeR,根据已知,将国转化为圆曰+1),+(y-1尸=1匕/到坐标
原点距离最值,求解即可.
【详解】
解:令2=±+犷,x,yeR.则|z+l-i|=博+1+①一l)i|=L
即口+1>+(y—1尸=1,表示点(.y)与点(一11)距离为1的点集,
此时,闰=|x-yi|=+口表示圆(H+1)?+(y—l)a=1
上点到原点距离,所以闰的最大值,即为圆上点到原点的距离的最大值,
而圆心到原点距离为V5,且半径为1,
所以圆上点到原点的距离的最大值为V5+1.
故选:B.
8.已知ic>Oj>O,满足d+2xy—2=0,贝亚H+7的最小值是()
A.乎B.北C.苧D.V3
【答案】B
【解析】
【分析】
由1+2寸-2=0,得到y=H,化简2H+y=2H+W=*GH+:)'结合基本不等式,
即可求解.
4
【详解】
由1+2"—2=0,可得y=
因为可得上±>0且父>0,解得0<±<6,
lx
M2r+y=2x+—=^^=-(3r+-)>-x2,3r4=W,
/2*2x2*
当且仅当3H=m时,即工=逸时,等号成立,
,3
所以2K+T的最小值为诧.
故选:B.
9.已知gin售一a)=—那么ccs2a+V5sdn2(r=()
A.-B.--C.--D.-
9999
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角函数的诱导公式,求得®1&_3=1,化简原式=20»[2g—:)1,结合余弦的
倍角公式,即可求解.
【详解】
因为sin(*—a)=—彳,可得sin(a_:)=',
又由cus2a+^rin2a!=2GcDs2ir+¥sin2a)=2<»s(2a—^)=2cus[2(a—5)]
2236
=2x[l-2srf(ff-^]=2(l-2x1)=^
故选:A.
10.△加£:的三个内角4,0,C所对的边分别为a,£c,且年1,庐45°,其面积为2,则
△ABC的外接圆的直径为()
A.4^B.5y[2C.4D.5
【答案】B
5
【解析】
【分析】
先由三角形面积公式求得「=4M,由余弦定理求得b=5,利用正弦定理求外接圆直径.
【详解】
,SAAW—-=1x1xcx^=2,
・'.c=4M,又严=a?+c2—ZocrosB,
*'-6a=l1+(4V2)a-2xlx4^Xy=2S>可得b=5.
设△•£:的外接圆半径为乩则/L=2A,
•.・*白=5①
故选:B.
11.若函数r(x)=H+ocusr(a>0),则下列图象不可能是(
【答案】B
【解析】
【分析】
分别在。=1,0>1和0〈&〈1的情况下,借助余弦函数图象、rskr(—吸的正负
可确定图象.
【详解】
当a=l时,r0c)=msr+i,与选项C相符;
6
当8>1时,=M+a»sjr=4-a>0;=a^+acus(—■)=a-*—a<0-hi
选项D相符;
当0Va<l时,r5)=M-aVO;=a2*+OCDSUK=c?r+a>0,与A相符;
二f(z)图象不可能是B中图象.
故选:B.
12.如图,在四面体ABCD中,E、F分别是AH、CD的中点,过EF的平面a分别交棱ZM、BC
于G、H(不同于4、B、C、D),HQ分别是棱HC、G匕的动点,则下列命题错误的是
()
A.存在平面a和点P,使得用P〃平面a
B.存在平面a和点Q,使得AQ〃平面a
C.对任意的平面a,线段EF平分线段GH
D.对任意的平面吗线段GH平分线段EF
【答案】D
【解析】
【分析】
利用线面平行的判定定理可判断AB选项;取函的中点0,GH的中点为微,设粉=尢击,
CH=i£B利用空空间向量的线性运算可得事询=说,可判断C选项;利用反证法结合
C选项可判断D选项.
【详解】
对于A选项,当1AP//EE时,因为”更平面a,EK仁平面a,此时面aA对;
7
对于B选项,当即时,因为艇9平面《FGu平面a此时即〃平面a,B对;
对于C选项,取4c的中点。,G追的中点为融,设灰=屯,丽=,闻,
则有函=函+熊=成+:加=砺+:您一画=二西+画,
同理可得前=:促+西=:(-&(+画,OM=l(OG+ag).
OG=QA+AG=QA+iM=QA+2HOF
Off=OC+HI=OC+}iCH=OC+2(iOE=2fiOE-aA
所以丽+丽=2诟+2闻M所以,OG=-OH+2iOF+2ii0E>
因为U、F、G、H四点共面,则2Z+2p-l=l,所以,1+^=1,
所以,2OM=OG+OH=2iOF+2pOE^则施=凝+画=加+(1
所以,OM-OE=1(OF-OE),可得询=诟,
即施、E,F三点共线,即GH的中点在ET匕即线段EF平分线段GH,C对;
对于D选项,若线段GH平分线段EF,又因为线段EF平分线段础,则四边形EGFH为平行四
边形,
事实上,四边形EGFH不一定为平行四边形,故假设不成立,D错.
故选:D.
13.已知abeft,设函数,式工)=cosZi,f2(r)=a—bcosx,若当Sfz(H)对
xwVn1恒成立时,it—m的最大值为手,则()
8
A.a>^2—1B.C.b>2-^2D.&<2-^
【答案】A
【解析】
【分析】
设t=g,结合余弦函数图象性质分析要使m-in的最大值为已时t的取法,再结合韦达定
2
理求ab取值范围.
【详解】
设t=CDsr,r€[nun],因为跟一m的最大值为主>虞=工,所以*E[m»同时,t=cost必取
到最值,
当取一m=苧寸,根据余弦函数对称性得皿宁=1=>亨=2fcK“Z,此时
m-hctr-m—x_3r3hr^5
cosm=cusr(-^——-^-x)=cos(2Jtw——x)=CDS-=——
m+nn-m3K3K谊
CDSn=CDS(—=—+—=—)=CDS(2fatt+丁)=CDS—=——
22.442
或者CDS亨=一10宁=ic+2fcwJteZ,此时
COSHI=CDS(-^———^-}=CD5(2faH-1C——)=•CDS-=y
m+nn—m3K3K⑰
a)sn=cosf---+---)=CDS(2K+IC+—)=—cos—=—
z2442
由fiOO02cos^z—l<fl—hcosr=>2cus2r+hcusx—(1+a)<0*
设t=cosr,时Zd+irt—(1+a)三。对应解为打工t工匕,
由上分析可知
当0=一号,b>1或k<-1,*=争寸,满足题一m的最大值为£,
所以3£_孝,即_手玄_字所以口皂低_1
9
14.设abeR,ab^O,函数f0)=*一阮+1,若,(国)+f(©2Z恒成立,则
()
A.a>0,fr>0B.a>0,fr<0
C.a<0>fr>0D.a<0<fr<0
【答案】B
【解析】
【分析】
首先表示出+f(r),依题意可得仪|xp+。)-i(|x|+x)>0恒成立,再对“分类讨论,
即可判断;
【详解】
解:因为f(x)=ar3—frx+1,所以㈤=&.|3一第x|+1+皿产―版+1,因为
恒成立,
B|1a|r|3—ijx|+1+OK3-inc+l之2恒成立,
所以a(|x|3+x3)-i(|x|+x)>。恒成立,
B|Jfl(|x|a+r3)>如x|+冷恒成立,即4㈤+x)(|x|a-x|r|+xa)>b(|r|+号恒成立,
当*=0时显然恒成立,
当<>0时,僮|+<>0,则ax2至万恒成立,因为abeA且afr#0,所以a>0,b<0
当xV0时,|X|+M=O,显然恒成立,
综上可得a>0,£r<0
故选:B
15.已知点P在毗就所在平面内,zMC=9(F.Q/>为锐角,且由|=2.押•版=2,
混•崩=1,当四+江+Q|取得最小值时,tanZCAP=()
A.更B.更C.更D.V2
432
【答案】C
【解析】
【分析】
10
设miP-a利用数量积的定义可得国I=士网|=士进而可得廊+版+N|
里,利用基本不等式即得.
4a^aac?a4
【详解】
设心P=a,则皿P=9(F-a
由段|=2.丽•版=2,4PAB=1.
.•.画园cusa-Z画画sina-1.即国=三网=三
因为廊+而+»(=廊『+函,+|明,+2怒於+2前Q+2而Q
七产+10=注+?
aEraIshraaera
_r|OK^a5K2a.4549
气工工+彳=彳
当且仅当离=之’%M=理时,阿+麻+N悭得最小值:
.,.当画+前十期取得最小值时,tanzaP=理
故选:C.
16.己知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示,为了『解该地区中小学生
的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和估计抽取的高
中生近视人数分别为()
A.180,40B.180,20C.180,10D.100,10
【答案】B
【解析】
【分析】
利用总量乘以抽取比例即可得到样本容量;根据图表可知高中生近视率从而估计抽取的高
中生近视人数
11
【详解】
所有学生数为3000+4000+2000=9000,故样本容量为9000X2%=180,
根据图甲以及抽取百分比可知,样本中高中生人数为2000X2%=40,
根据图乙可知,抽取的高中生近视人数为40X50%=20,
故选:B.
17.古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过:“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形
式”.在中华传统文化里,建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美,如
清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》(如图)以连环诗的形式展现,20个字绕着茶壶成一圆环,
不论顺着读还是逆着读,皆成佳作.数学与生活也有许多奇妙的联系,如2020年02月02
日(20200202)被称为世界完全对称日(公历纪年日期中数字左右完全对称的日期).数学上
把20200202这样的对称数叫回文数,两位数的回文数共有9个(11Z2...99),则在三位数
的回文数中,出现奇数的概率为()
等藩
胪臂
承4.
.A
武
?3
FA
茶壶回文诗坤.
.伯
【清】黄伯杈[例读]
落0飞芳树.花艳择风流.
随红而淡数。喜香迷月薄。
薄月迷吞尊.欲淡而红的.
海凤鼻艳花。树芳飞雪薄。-
一
S
【答案】c
【解析】
【分析】
列出所有三位数的回文数即可求得结果.
【详解】
三位数的回文数有:
101111121131141151161171181191
202212222232242252262272282292
303313323333343353363373383393
404414424434444454464474484494
505515525535545555565575585595
12
606616626636646656666676686696
707717727737747757767777787797
808818828838848858868878888898
909919929939949959969979989999
共有90个,其中奇数有50个,故出现奇数的概率为三
g
故选:C
18.平面内不同的三点0,A,8满足口司=廊|=4,若
—山|+而一:前|的最小值为㈤,则口叫=()
A.遍B.mC.2^6D.4^3
【答案】C
【解析】
【分析】
设屁=MmS1),BD=-HA,=6(0<。</作D关于OB的对称点B],
如图根据向量的线性运算化简题中的等式版|+|西,利用点关于直线的对称性可得
瓯|=,眄,结合余弦定理可得出皿20,利用二倍角的余弦公式求出但乱最后根据
|09|=2坪|cos6即可求解.
【详解】
解:由题意得:
如图所示:
A
13
设配=m00(OMmv1),则点C在线段OB上运动
故一网=|配一面|=函
设丽=加
|(1-m)0O-^M|=|(m-1)00-BD\=|m0B-0B-BD\=\mOB-(0B+
BD)|=|OC-OD|=|DC|
A|m0B-0A|+|(1-m)B0=|4C|+|DC|.即Q葡+|觉|)』=四
作D关于-OU的对称点Z>r设〃ISO=0(0<。<J
|AC|+|DC|=|AC|+1亨|>丽I,即(|雨+|觉I)』=丽|=旧
在△•片中,网=西=4,画=|西=2网=1,画]=旧
由余弦定理可得:皿加=23%—1=黑m=-;,解得:但6=*
画=2画rose=2*4*乎=2僚
故选:C
二、填空题(本大题共4小题,每空3分,共15分)
19.设函数r(G=[G)-8x-0,贝Uf[T(l)I=_________,若r®>l,则实数a的取
(切KH>0
值范围是.
【答案】一7(―tn—2)U(10,+a»)
【解析】
【分析】
依据分段函数定义去求rtfC。]的值;分类讨论列关于a的不等式组去求a的取值范围
【详解】
rg)l=f(0)=©-8=-7
r®>i等价于①{髭;或②{/::>1
14
由①得a>10:由②得。<-2,则实数a的取值范围是(一<a-2)u(10.+a»)
故答案为:一7;(-cn-2)u(10.+o»)
20.2022年北京冬奥会闭幕式上,呈现了大雪花(火炬)被中国结紧紧包裹的画面,体现
了中国“世界大同,天下一家”的理念,数学中也有类似''包裹"的图形.如图,双圆四边
形即不仅有内切圆而且有外接圆的四边形,20世纪80年代末,国内许多学者对双圆四边形
进行了大量研究,如:边长分别为a,b,c,d的双圆四边形,则其内切圆半径丁=NH,
外接圆半径心=今.丝T三竺吧㈣.现有边长均为1的双圆四边形,则
R—T=.
【答案】巴
2
【解析】
【分析】
直接由题目所给公式计算外接圆和内切圆半径即可求解.
【详解】
由题意知:a=b=c=d=l,故1=上^^=m=],
42
心=三丝必/吧蚂=二3包故我一p=小
16ahcd16222
故答案为:空三
2
21.已知正实数a,b,c,a+b=3,则兰+吧+2_的最小值为
【答案】2Vs-2##-2+2V6
【解析】
【分析】
15
利用a+b=3变形为3=誓,再将系+杉+总变形为
cxf-+-+-)+—,利用基本不等式整理为兰+主+=_工2仕+1)+二一2,进而再用
基本不等式求得答案.
【详解】
由正实数a,b,a+b=3,可得3=铝型,
3
>2^6-2,
当且仅当*c+l)=三时,BPC=--1时取等号,
cWL2
故答案为:2V6-2
22.已知矩形朋CD.AB=2.iBC=3,设£是边AD上的一点,且AE=2DE现将掂沿
着直线WE翻折至A/AE,设二面角4'一£©—9的大小为式0<6<1<),则sin6的最大值是
【答案]/#士屈
55
【解析】
【分析】
作4FJ.切£交理1S于点F,连接4'F,作4'KJ.4F交斯千点H,作RKJLCD,垂足为K,连接,通,
延长KH交儿?与G,则〃即为二面角/一G—4的平面角,求皿。=生的最大值即可
ar
得sin0的最大值.
【详解】
方法一:如图,
16
作4F1.晒交于点F,连接*F,作A'BJLXF交〃^二点H,作mJ.CD,垂足为K,连接*遍,
延长KH交AB与G.
又4'K,4F,AFCB斤F,."且1_平面和毗©,,第1,£0,
又HKJ.CD,HKC\H=R,.•0上平面4加,..0>,,7{,
•••即为二面角f—e—总的平面角,即有ZA,JKH=0
设6,
zA'Fjff=a,AF=AF=:BEr=2^2
•'-HF=y/2cDsa'幽=位'—记CDS«r4'爪=谊端ur
易知△/阿是等腰直角三角形,尸为跖中点,0F=调,
易知HG1AB,则RlAjfGKsRtAMf,
则=•蟾室=1一皿。
..・砥=3-(1-皿代2+0则有5=普=器
,£ina)(O<a<用与(一2期连线的斜率,
如图,斜率最大为直线和圆相切时,直线倾斜角为高则恙£当
17
则…限*"而”^^呼.
故答案为:旦.
S
方法二:在方法一的基础上,如图,延长斯、比交于点/,
易知△4原是等腰直角三角形,N刃后45°,HK//AD,则NA7层45°,则△胸/是等腰直角
三角形,:.HK/Fl=AI-AF=^2AD-AF^2^2
设〃l'm=S,由方法一知3或=翟=篝=1'«*5&邛.
•.•△4%■是等腰直角三角形,则易知点,的轨迹是以尸为圆心,4r为半径的半圆,
当/1与该圆相切时,&最大,
此时4'F=但产1=2短,的最大值为3伊,
:.皿00=缶邮£与..ang<r-5^--_包
故答案为:旦
三、解答题(本大题共3小题,共31分)
23.(10分)己知函数f(H)=sjnx(cosic—苧sinx).
(1)求区数y=f(x)在区间[。个]上的值域;
18
(2)若。七[0.司,且r©=-5求皿
【答案】⑴卜普
⑵一年
【解析】
【分析】
(1)根据二倍角公式和三角恒等变化,可得的解析式,再根据三角函数的性质,即可
求出结果;
(2)由(1)可得向伽+。=2,再根据角的范围,和正弦的二倍角公式可得rin0i+;)的
643
值,再根据诱导公式可得3〔?一2公=sin(2a+a,由此即可求出结果.
(1)
解:f8=sii皿msx—号sinx)=gsin2H—史1—CDS2X)>
326
所以jsiii2r十咚cos2r_f=鼻2r+,)_',
266366
当*q4时,泮2"泮菖
故一\<srin(2*+^)<1
从而-f“⑴£号,
所以函数y=f㈤在区间,目上的值域为:卜符
(2)
解:「审=亨®411g+:)_^=-哈
所以sinQar+?)=:,
6■
因Eva+工v?,
6—G—6
若*a+gW,则sing+n>\矛盾!
19
故彳4a+工工H,0Ds[a+;)=—粤
从而向01+;)=—q
所以CDs(:—2噂=an(2a+=——
24.(10分)如图,在四棱锥P-4BCD中,4D//BC.ZADC=SOr.^ABC=6C,
AB=BC=2.PA=PB=^.PC=3.M姥PC中点、
(1)证明:ZMf〃平面PAB;
(2)求二面角P-AB-C的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;
⑵一在
3
【解析】
【分析】
(1)取Pli中点M连接KM⑷V,易证四边形IMMD为平行四边形,则Dlf/MV,根据线面
平行的判定即可证结论.
(2)取期中点Q,连接PQ.R,易证e_L/fi、PQA.AB,根据二面角的定义找到二面角平
面角,再应用余弦定理求其余弦值.
(1)
取P超中HN,连接KM4V,由己知有AD〃BC.4D=Lirc.
20
:-MW分别为PCPB中点,
二MN『用C.MN=:BC
=即四边形IfMID为平行四边形.
DM//41V.又DM/平面平面R1B,
二DM"平面PAB.
(2)
取4H中点Q,连接PQ.C1Q.
■■AB=BC=2.zABC=Gfr,
二攻=心,且CQTAB.
:P4=PU=V3.AB=2,
二PQ=V5,且PQJLAB-
二2晔为二面角P-iW-£的平面角,
RZ+Qd-PC®遍
coszPQC=
2PqQC3.
所以,二面角P-AB一弋的平面角的余弦值为一空.
25.(11分)已知a>0,设函数r(M)=2ariii2r+(a—l)(smx+cosr)+2a—1,父£[—g.o],
fl(x)=-2asdn2r+(l-a)smx,zelt
21
⑴当a=2时,求函数rc0的值域;
(2)记If(工)|的最大值为黑,
①求*I;
②求证:|«(x)|<2M
【答案】(1)[
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 2024年汽车维修工技能理论考试题库附参考答案(黄金题型)
- 2024年浙教版六年级下册数学期末测试卷及答案【典优】
- 2024奶茶店商铺租赁协议
- 2024年演出经纪人之演出经纪实务通关考试题库含答案(模拟题)
- 2024年演出经纪人之演出经纪实务通关试题库一套
- 2024年演出经纪人之演出经纪实务通关题库新版
- 2024天然气购销合同模板简单
- 2024年演出经纪人之演出经纪实务题库综合试卷附答案(夺分金卷)
- 2024年演出经纪人之演出经纪实务高分题库带答案(培优a卷)
- 2024年演出经纪人考试靶向题库及一套参考答案
- MOOC 音乐鉴赏-南京中医药大学 中国大学慕课答案
- MOOC 管理运筹学-江苏大学 中国大学慕课答案
- 放射性食管炎的护理课件
- 2023年新疆初中学业水平考试地理试卷真题(含答案)
- 中考数学试题(含答案)共12套
- 端午节放假通知海报Word模板
- 《2021国标建筑专业图集资料》96S821钢筋混凝土清水池附属构配件图集
- 湖南省中医院疼痛科疼痛评估量表
- 老中医李可讲述病与“阳气”系列“金匮肾气丸”可以常吃#特选借鉴
- 开荒保洁验收表格
- JJF 1744-2019 闪烁体探测器γ谱仪校准规范
评论
0/150
提交评论