2024年初二下册数学期末考试专项复习正方形（提高）知识讲解

2024年初二下册数学期末考试专项复习正方形（提高）【学习目标】1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．【要点梳理】要点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.要点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：【典型例题】类型一、正方形的性质 1、如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE＝CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M．求证：AM⊥DF．【思路点拨】根据DE＝CF，可得出OE＝OF，继而证明△AOE≌△DOF，得出∠OAE＝∠ODF，然后利用等角代换可得出∠DME＝90°，即得出了结论．【答案与解析】证明：∵ABCD是正方形，∴OD＝OC，又∵DE＝CF，∴OD－DE＝OC－CF，即OE＝OF，在Rt△AOE和Rt△DOF中，，∴△AOE≌△DOF，∴∠OAE＝∠ODF，∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，∴∠ODF＋∠DEM＝90°，即可得AM⊥DF．【总结升华】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是通过全等的证明得出∠OAE＝∠ODF，利用等角代换解题．举一反三：【变式1】如图四边形ABCD是正方形，点E、K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE＝BK＝AG．以线段DE、DG为边作DEFG．(1)求证：DE＝DG，且DE⊥DG．(2)连接KF，猜想四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝DA，∠DCE＝∠DAG＝90°．又∵CE＝AG，∴△DCE≌△DAG，∴∠EDC＝∠GDA，DE＝DG．又∵∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠ADE＋∠GDA＝90°，∴DE⊥DG．(2)四边形CEFK为平行四边形．证明：设CK，DE相交于M点，∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴AB∥CD，AB＝CD，EF＝DG，EF∥DG；∵BK＝AG，∴KG＝AB＝CD．∴四边形CKGD为平行四边形．∴CK＝DG＝EF，CK∥DG∥EF∴四边形CEFK为平行四边形．【高清课堂417083正方形例9】【变式2】如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是_______．【答案】2；提示：阴影部分面积等于正方形面积的一半.类型二、正方形的判定 2、（2016•普宁市模拟）如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分別在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2．（1）已知DG=6，求AE的长；（2）已知DG=2，求证：四边形EFGH为正方形．【思路点拨】（1）先根据矩形的性质，利用勾股定理列出表达式：HG2=DH2+DG2，HE2=AH2+AE2，再根据菱形的性质，得到等式DH2+DG2=AH2+AE2，最后计算AE的长；（2）先根据已知条件，用HL判定Rt△DHG≌Rt△AEH，得到菱形的一组邻边相等，进而判定该菱形为正方形．【答案与解析】解：（1）∵AD=6，AH=2∴DH=AD﹣AH=4∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠D=90°∴在Rt△DHG中，HG2=DH2+DG2在Rt△AEH中，HE2=AH2+AE2∵四边形EFGH是菱形∴HG=HE∴DH2+DG2=AH2+AE2即42+62=22+AE2∴AE==4（2）∵AH=2，DG=2∴AH=DG∵四边形EFGH是菱形∴HG=HE在Rt△DHG和Rt△AEH中∴Rt△DHG≌Rt△AEH（HL）∴∠DHG=∠AEH∵∠AEH+∠AHE=90°∴∠DHG+∠AHE=90°∴∠GHE=90°∵四边形EFGH是菱形∴四边形EFGH是正方形【总结升华】本题主要考查了矩形、菱形的性质以及正方形的判定，解决问题的关键是掌握：矩形的四个角都是直角，菱形的四条边都线段，有一组邻边相等的菱形是正方形．在解题时注意，求直角三角形的边长时，一般都需要考虑运用勾股定理进行求解．举一反三：【变式】（2015春•上城区期末）如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连结CF．（1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形；（2）若DG=6，求△FCG的面积．【答案】（1）证明：∵四边形EFGH为菱形，∴HG=EH，∵AH=2，DG=2，∴DG=AH，在Rt△DHG和△AEH中，，∴Rt△DHG≌△AEH，∴∠DHG=∠AEH，∵∠AEH+∠AHG=90°，∴∠DHG+∠AHG=90°，∴∠GHE=90°，∵四边形EFGH为菱形，∴四边形EFGH为正方形；（2）解：作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠AEG=∠QGE，即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE，∵四边形EFGH为菱形，∴HE=GF，HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠QGF，在△AEH和△QGF中，∴△AEH≌△QGF，∴AH=QF=2，∵DG=6，CD=8，∴CG=2，∴△FCG的面积=CG•FQ=×2×2=2．类型三、正方形综合应用3、E、F分别是正方形ABCD的边AD和CD上的点，若∠EBF＝45°．(1)求证：AE＋CF＝EF．(2)若E点、F点分别是边DA、CD的延长线上的点，结论（1）仍成立吗？若成立，请证明，若不成立，写出正确结论并加以证明．【答案与解析】证明：（1）延长DC，使CH＝AE，连接BH，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠BCH＝90°，又AB＝BC，CH＝AE，∴Rt△BAE≌Rt△BCH，∴∠1＝∠2，BE＝BH．又∵∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠4＝45°，∴∠1＋∠3＝45°，∠2＋∠3＝45°，在△EBF和△HBF中，∴△EBF≌△HBF，∴EF＝FH＝FC＋CH＝AE＋CF．即AE＋CF＝EF．(2)如图所示：不成立，正确结论：EF＝CF－AE．证明：在CF上截取CH＝AE，连接BH．∵四边形ABCD是正方形，∴在Rt△EAB和Rt△HCB中，∴Rt△EAB≌Rt△HCB，∴BE＝BH，∠EBA＝∠HBC．∵∠HBC＋∠ABH＝90°，∴∠EBA＋∠ABH＝90°．又∵∠EBF＝45°，∴∠HBF＝45°，即∠EBF＝∠HBF．在△EBF和△HBF中∴△EBF≌△HBF，∴EF＝FH＝CF－CH＝CF－AE，即EF＝CF－AE．【总结升华】本题主要考察正方形的性质，全等三角形的性质和判定，关键在于用“截长补短”的方法正确地作出辅助线.4、如图①所示，已知A、B为直线上两点，点C为直线上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作⊥于点，过点E作⊥于点．（1）如图②，当点E恰好在直线上时（此时与E重合），试说明＝AB；（2）在图①中，当D、E两点都在直线的上方时，试探求三条线段、、AB之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，当点E在直线的下方时，请直接写出三条线段、、AB之间的数量关系．（不需要证明）【答案与解析】（1）证明：∵四边形CADF、CBEG是正方形，∴AD＝CA，∠DAC＝∠ABC＝90°，∴∠＋∠CAB＝90°，∵⊥AB，∴∠DD1A＝∠ABC＝90°，∴∠＋∠＝90°，∴∠＝∠CAB，在△和△CAB中，，∴△≌△CAB（AAS），∴＝AB；（2）解：AB＝＋．证明：过点C作CH⊥AB于H，∵⊥AB，∴∠＝∠CHA＝90°，∴∠＋∠＝90°，∵四边形CADF是正方形，∴AD＝CA，∠DAC＝90°，∴∠＋∠CAH＝90°，∴∠＝∠CAH，在△和△CAH中，，∴△≌△CAH（AAS），∴＝AH；同理：＝BH，∴AB＝AH＋BH＝＋；（3）解：AB＝－．证明：过点C作CH⊥AB于H，∵⊥AB，∴∠＝∠CHA＝90°，∴∠＋∠＝90°，∵四边形CADF是正方形，∴AD＝CA，∠DAC＝90°，∴∠＋∠CAH＝90°，∴∠＝∠CAH，在△和△CAH中，，∴△≌△CAH（AAS），∴＝AH；同理：＝BH，∴AB＝AH－BH＝－．【总结升华】此题考查了正方形的性质与全等三角形的判定与性质．注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．举一反三：【变式】在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图①，易证EG＝CG，且EG⊥CG．(1)将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图②，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想．(2)将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图③，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想，并加以证明．【答案】解：(1)EG＝CG，且EG⊥CG．(2)EG＝CG，且EG⊥CG．证明：延长FE交DC延长线于M，连MG，如图③，∵∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°，∴四边形BEMC是矩形．∴BE＝CM，∠EMC＝90°，又∵BE＝EF，∴EF＝CM．∵∠EMC＝90°，FG＝DG，∴MG＝FD＝FG．∵BC＝EM，BC＝CD，∴EM＝CD．∵EF＝CM，∴FM＝DM，∴∠F＝45°．又FG＝DG，∠CMG＝∠EMD＝45°，∴∠F＝∠GMC，∴△GFE≌△GMC，∴EG＝CG，∠FGE＝∠MGC，∵MG⊥DF，∴∠FGE＋∠EGM＝90°，∴∠MGC＋∠EGM＝90°即∠EGC＝90°，∴EG⊥CG．【巩固练习】一.选择题1.如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE＝5，折痕为PQ，则PQ的长为()A.12B.13C.14 D.152.（2015•南湖区一模）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变．当∠B=90°时（如图甲），测得对角线BD的长为．当∠B=60°时（如图乙），则对角线BD的长为（）A.B.C.2 D.3.如图，点，是正方形的两个顶点，以它的对角线为一边作正方形，以正方形的对角线为一边作正方形，再以正方形的对角线为一边作正方形，…，依次进行下去，则点的坐标是（）A．B．C．D．4.（2016春•嘉祥县期中）如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是（）A．30 B．34 C．36 D．405.如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（）A．3B．2C．4D．86.正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，且G为BC的三等分点，R为EF中点，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（）A．10B．12C．14D．16二.填空题7．延长正方形ABCD的BC边至点E，使CE＝AC，连结AE，交CD于F，那么∠AFC的度数为______，若BC＝4，则△ACE的面积等于______．8．在正方形ABCD中，E为BC上一点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F、G，如果，那么EF＋EG的长为______．9．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且BC＝8，CA＝6，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于______．10.如图所示，直线经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DE⊥于点E、BF⊥于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为_____.11.点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，连接BE，则∠CBE＝_____°12.（2015•潮南区一模）如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以AE为边作第三个正方形AEGM，…已知正方形ABCD的面积S1=1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…Sn（n为正整数），那么第8个正方形面积S8=．三.解答题13．（2015•西城区二模）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为（1，），则点C的坐标？14.（2016•崂山区一模）已知：如图，E是正方形ABCD的对角线BD上的点，连接AE、CE．（1）求证：AE=CE；（2）若将△ABE沿AB对折后得到△ABF；当点E在BD的何处时，四边形AFBE是正方形？请证明你的结论．15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连结DP交AC于点Q．(1)试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；(2)当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；(3)若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．【答案与解析】一.选择题1.【答案】B；【解析】过P作PF⊥BC于F，可证△PFQ≌△ADE，则PQ＝.2.【答案】B；【解析】解：如图甲，∵AB=BC=CD=DA，∠B=90°，∴四边形ABCD是正方形，连接BD，则AB2+AD2=BD2，∴AB=AD=1，如图乙，∠B=60°，连接BD，∴△ABD为等腰三角形，∠ABD=30°，∴AB=AD=1，∴BD=故选B．3.【答案】A；【解析】，，.4.【答案】B；【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，∵AE=BF=CG=DH，∴AH=BE=CF=DG．在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，∴四边形EFGH是菱形，∵∠BEF+∠BFE=90°，∴∠BEF+∠AEH=90°，∴∠HEF=90°，∴四边形EFGH是正方形，∵AB=BC=CD=DA=8，AE=BF=CG=DH=5，∴EH=FE=GF=GH==，∴四边形EFGH的面积是：×=34，故选B．5.【答案】C；【解析】如图，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，利用互余关系可得∠A＝∠FCD，又∠AED＝∠F＝90°，AD＝DC，利用AAS可以判断△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，＝＝16，DE＝4．6.【答案】D；【解析】连DB，GE，FK，则DB∥GE∥FK，再根据G为BC的三等分点，R为EF中点，正方形BEFG的边长为4可求出，，再由即可求出答案．二.填空题7．【答案】112.5°，8；【解析】∠AEC＝∠CEA＝°，∠AFC＝90°＋22.5°＝112.5°，面积等于.8．【答案】5；【解析】AC＝BD＝，EF＋EG＝BD＝5.9．【答案】2；【解析】OD＝OE＝OF，可知四边形ODCE是正方形，设CD＝CE＝，BD＝BF＝，AE＝AF＝，所以，，，解得，即O点到三边的距离.10.【答案】7；【解析】因为ABCD是正方形，所以AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，则有∠ABF＝∠DAE，又因为DE⊥、BF⊥，根据AAS易证△AFB≌△AED，所以AF＝DE＝4，BF＝AE＝3，所以EF＝7．11.【答案】45；【解析】过E点作EF⊥AB的延长线于F，易证△ADP≌△FPE；BF＝EF，所以∠CBE＝∠EBF＝45°.12.【答案】128；【解析】根据题意可得：第n个正方形的边长是第（n﹣1）个的倍；故面积是第（n﹣1）个的2倍，已知第一个面积为1；则那么第8个正方形面积S8=27=128．故答案为128．三.解答题13.【解析】解：作AD⊥轴于D，作CE⊥x轴于E，如图所示：则∠ADO=∠OEC=90°，∴∠1+∠2=90°，∵点A的坐标为（1，），∴OD=1，AD=，∵四边形OABC是正方形，∴∠AOC=90°，OC=AO，∴∠1+∠3=90°，∴∠3=∠2，在△OCE和△AOD中，，∴△OCE≌△AOD（AAS），∴OE=AD=，CE=OD=1，∴点C的坐标为（﹣，1）.14.【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠BAD=∠ABC=90°，∠ABE=∠CBE=45°，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE=CE．（2）解：点E在BD的中点时，四边形AFBE是正方形；理由如下：由折叠的性质得：∠F=∠AEB，AF=AE，BF=BE，∵∠BAD=90°，E是BD的中点，∴AE=BD=BE=DE，∵AE=CE，∴AE=BE=CE=DE=AF=BF，∴四边形AFBE是菱形，E是正方形ABCD对角线的交点，∴AE⊥BD，∴∠AEB=90°，∴四边形AFBE是正方形．15．【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝45°，AQ＝AQ∴△ADQ≌△ABQ（SAS）；(2)AD×QE＝＝∴QE＝∵点Q在正方形对角线AC上∴Q点的坐标为∴过点D(0，4)，两点的函数关系式为：，当＝0时，＝2，即P运动到AB中点时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；(3)若△ADQ是等腰三角形，则有QD＝QA或DA＝DQ或AQ＝AD①当点P运动到与点B重合时，由四边形ABCD是正方形知QD＝QA此时△ADQ是等腰三角形；②当点P与点C重合时，点Q与点C也重合，此时DA＝DQ，△ADQ是等腰三角形；③如图，设点P在BC边上运动到CP＝时，有AD＝AQ∵AD∥BC∴∠ADQ＝∠CPQ．又∵∠AQD＝∠CQP，∠ADQ＝∠AQD，∴∠CQP＝∠CPQ．∴CQ＝CP＝．∵AC＝，AQ＝AD＝4．∴＝CQ＝AC－AQ＝－4．即当CP＝－4时，△ADQ是等腰三角形．直方图——巩固练习【巩固练习】一、选择题1.为了绘出一批数据的频数分布直方图，首先计算出这批数据的变动范围是指数据的().A．最大值B．最小值C．最大值与最小值的差D．个数2．在频数分布直方图中，各小矩形的面积等于().A．相应各组的频数B．组数C．相应各组的频率D．组距3．（2015春•和平区期末）已知一组数据的最大值为46，最小值为27，在绘制频数分布直方图时，取组距为3，则这组数据应分成（）A．5组 B．6组 C．7组 D．8组4．某班50名学生期末考试数学成绩的频数分布直方图如图所示，对图中提供的信息做出如下判断：①成绩在50～60分段的人数与90～100分段的人数相等；②从左到右数，第4小组的频率是0.03；③成绩在80分以上的学生有20人；④及格率为90%．其中正确的判断有().A．4个B．3个C．2个D．1个5．在样本频数分布直方图中，有11个小长方形．若中间的小长方形的面积等于其他10个小长方形面积之和的，且样本容量为160个，则中间的一组的频数为().A．0.2B．32C．0.25D．406.某学校随机抽取了同龄的60名学生，对其身高进行测量，测量数据（均为整数）进行整理后绘成频率分布直方图（如下图），图中自左向右各小组数据的频率依次为：0.017，0.050，0.100，0.133，0.300，0.183，0.167，0.050．则身高在157.5以上的学生有（）A．18人B．24人C．39人D．42人7．有40个数据，其中最大值为35，最小值为15，若取组距为4，则应该分的组数是().A．4B．5C．6D．78．学校为了解七年级学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查了40名学生，将结果绘制成了如图所示的频数分布直方图，则参加绘画兴趣小组的频率是().A．0.1B．0.15C．0.25D．0.3二、填空题9．已知样本容量是40，在样本的频数分布直方图中各小矩形的高之比依次为3:2:4:1，则第二小组的频数为________，第四小组的频数为________．10．（2016春•沧州期末）一个样本含有下面10个数据：52，51，49，50，47，48，50，51，48，53，则最大的值是，最小的值是，如果组距为1.5，则应分成组．11．为了解各年龄段观众对某电视节目的收视率，小明调查了部分观众的收视情况，并分成A，B，C，D，E，F六组进行调查，其频率分布直方图如图所示，各长方形上方的数据表示该组的频率，若E组的频数为48，那么被调查的观众总人数为__________.12.某单位职工的年龄(取正整数)的频数分布直方图如图所示，根据图中提供的信息，进行填空．(1)该单位职工共有________人；(2)不小于38岁但小于44岁的职工人数占职工总人数的百分率是________．13.我市某中学七年级甲、乙、丙三个班中，每班的学生人数都为60名，某次数学考试的成绩统计如下：（每组分数含最小值，不含最大值）丙班数学成绩频数统计表根据以上图、表提供的信息，则80～90分这一组人数最多的是_________班.14．某校为了了解某个年级的学习情况，在这个年级抽取了50名学生，对某学科进行测试，将所得成绩(成绩均为整数)整理后，列出表格：分组50～59分60～69分70～79分80～89分90～99分频率0.040.040.160.340.42(1)本次测试90分以上的人数有________人；(包括90分)(2)本次测试这50名学生成绩的及格率是________；(60分以上为及格，包括60分)(3)这个年级此学科的学习情况如何？请在下列三个选项中，选一个填在题后的横线上________．A．好B．一般C．不好三、解答题15．为了了解中学生的体能状况，某校抽取了50名学生进行1分钟跳绳测试，将所得数据整理后，分成5组绘成了频数分布直方图，如图(图中数据含最低值不含最高值)．其中前4个小组的频率依次为0.04，0.12，0.4，0.28．(1)第4组的频数是多少？(2)第5组的频率是多少？(3)哪一组的频数最大？(4)请补全频数分布直方图．16．为检查某工厂所产8万台电扇的质量，抽查了其中40台，这40台电扇的无故障连续使用时限如下：(单位：h)248256232243188278286292308312274296288302295208314290281298228287217329283327272264307257268278266289312198204254244278(1)以组距20h列出样本的频数分布表，并画出频数分布直方图.(2)估计8万台电扇中有多少台无故障连续使用时限会不少于288h？(3)样本的平均无故障连续使用时限是多少？(4)如果电扇的无故障正常(非连续)使用时限是无故障连续使用时限的8倍，那么这些电扇的正常使用寿命为多少小时？(精确到1h)17．（2016•临沂）为了解某校九年级学生的身高情况，随机抽取部分学生的身高进行调查，利用所得数据绘成如图统计图表：频数分布表身高分组频数百分比x＜155510%155≤x＜160a20%160≤x＜1651530%165≤x＜17014bx≥170612%总计100%（1）填空：a=，b=；（2）补全频数分布直方图；（3）该校九年级共有600名学生，估计身高不低于165cm的学生大约有多少人？【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；【解析】频数直方图是按照数据从小到大的顺序排列，包括所有的数据，即数据的变化范围是指数据的最大值和最小值的差．2.【答案】A；【解析】频数直方图中纵坐标表示的是频数，则小长方形的高为频数，小长方形的面积＝．3.【答案】C；【解析】解：∵数据的最大值为46，最小值为27，∴这组数据的差是46﹣27=19，∵组距为3，∴这组数据应分成19÷3=6，则分成7组．故选C．4.【答案】B；【解析】正确的是①③④．5.【答案】B；【解析】根据在频数直方图中，某一组相应的小长方形的面积与直方图中所有小矩形面积的比值即这小组的频率，求得中间一个长方形对应的频率后，再由频数、频率、总数的关系求解．6.【答案】D；【解析】解：根据题意身高157.5以上的频率为：1-（0.017+0.050+0.100+0.133）=0.7，因抽取了60名学生，则身高在157.5以上的学生有：60×0.7=42；故答案为D．7.【答案】B；【解析】.8.【答案】D；【解析】根据频率＝计算.二、填空题9．【答案】8，4；【解析】频数分布直方图中，各个长方形的高之比依次为3：2：4：1，则指各组频数之比为3：2：4：1，据此即可求出第二小组的频数第四小组的频数.10.【答案】53，47，5；【解析】解：分析数据可得：最大的值是53，最小的值是47，则它们的差为53﹣47=6；如果组距为1.5，由于=4；但由于要包含两个端点，故可分为5组．故本题答案为：53，47，5．11.【答案】200；【解析】解：∵E组的频率为：1-0.04-0.08-0.16-0.36-0.12=0.24，又∵E组的频数为48，∴被调查的观众总人数为：48÷0.24=200．故答案为200．12.【答案】(1)50(2)58％；【解析】正确读图是解题的关键．13.【答案】甲；【解析】解：甲班：60-3-7-12-18=20（人）乙班：60×（1-35%-10%-5%-20%）=18（人）．丙班：17（人）．所以最多的是甲班．14.【答案】(1)21；(2)96％；(3)A.【解析】（1）0.42×50＝21．（2）1－0.04－0.96＝96％．（3）理由是优秀率和及格率都很高．三、解答题15.【解析】解：(1)第4组的频数是0.28×50＝14．(2)第5组频率为1-0.04-0.12-0.4-0.28＝0.16．(3)170～180这一组频数最大．（4）补全如图：16.【解析】解：(1)频数分布表如下：频数分布直方图如图：(2)因为这40台中不少于288h的有9+5+1＝15(台)，所以8万台电扇中不少于288h的有(万台)．(3)平均无故障连续使用时限为(h)．(4)电扇的正常寿命为271.3×8≈2170(h)．17.【解析】解：（1）由表格可得，调查的总人数为：5÷10%=50，∴a=50×20%=10，b=14÷50×100%=28%，故答案为：10，28%；（2）补全的频数分布直方图如下图所示，（3）600×（28%+12%）=600×40%=240（人）即该校九年级共有600名学生，身高不低于165cm的学生大约有240人．直方图——知识讲解【学习目标】1.理解组距、频数、频率、频数分布表的概念；2.会制作频数分布表，理解频数分布表的意义和作用；3.掌握画频数分布直方图的一般步骤，会画频数分布直方图，理解频数分布直方图的意义和作用.【要点梳理】要点一、组距、频数、频率与频数分布表1．组距：把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）．2.频数：在统计数据时，某个对象出现的次数或落在某个组别中的数据的个数称为频数．3.频率：频数与总次数的比值称为频率.4．频数分布表：把各个组别中相应的频数分布用表格的形式表示出来，所得表格就是频数分布表．频数分布表能清楚地反映一组数据的大小分布情况.将一批数据分组，一般数据越多，分的组也越多.当数据在100个以内时，按照数据的多少，常分成5～12组.在分组时，要灵活确定组距，使所分组数合适，一般组数为的整数部分+1．要点诠释：（1）频数之和等于样本容量，各频率之和等于1；（2）制作频数分布表的一般步骤：①计算最大值与最小值的差；②决定组距和组数；③确定分点；④列频数分布表.要点二、频数分布直方图1．频数分布直方图根据频数分布表，用横轴表示各分组数据、纵轴表示各组数据的频数，绘制条形统计图.这样的条形统计图，直观地呈现了频数的分布特征和变化规律，称为频数分布直方图.2．画频数分布直方图的步骤(1)计算最大值与最小值的差；(2)决定组距与组数；(3)列频数分布表；(4)画频数分布直方图．3.频数分布直方图与条形图的联系与区别（1）联系：它们都是用矩形来表示数据分布情况的；当矩形的宽度相等时，都是用矩形的高来表示数据分布情况的；频数分布直方图是特殊的条形统计图.（2）区别：①由于分组数据具有连续性，频数分布直方图中各“条形”之间通常是连续排列，中间没有间隙，而条形图中各“条形”是分开排列的，中间有一定的间隙；②条形统计图用横向指标表示考察对象的类别，用纵向指标表示不同对象的数量.频数分布直方图横向指标表示考察对象数据的变化范围，用纵向指标表示相应范围内数据的频数.要点诠释：（1）频数分布直方图简称直方图，它是条形统计图的一种．（2）注意直方图与条形图、扇形图、折线图在表示数据方面的优缺点.【典型例题】类型一、组距、组数、频数、频率1.(1)对某班50名学生的数学成绩进行统计，90～99分的人数有10名，这一分数段的频数为_________．(2)有60个数据，其中最小值为140，最大值为186，若取组距为5，则应该分的组数是________．【答案】(1)10；(2)10.【解析】解：(1)利用频数的定义进行解答；(2)利用组数的计算方法求解．【总结升华】组数的确定方法：设数据总数目为n，一般地，当n≤50时，则分为5～8组；当50≤n<100．则分为8～12组较为合适，组数等于的整数部分+1.举一反三：【变式】一组数据19，22，25，30，28，27，26，21，20，22，24，23，25，29，27，28，27，30，19，20，为了画频率分布直方图，先计算出最大值与最小值的差是，如果取组距为2，应分为组．【答案】11；6.解：∵最小的数是19，最大的数是30，∴最大值与最小值的差是30﹣19=11，∵11÷2=5.5，∴应分成6组．故答案为：11；6．2.我校八年级学生在生物实验中抽出50粒种籽进行研究，数据落在37～40之间的频率是0.2，则这50个数据在37～40之间的个数是（）A．1B．2C．10D．5【思路点拨】根据频率、频数的关系：频率=频数÷数据总和，可得频数=频率×数据总和．【答案】C.【解析】解：∵在生物实验中抽出50粒种籽进行研究，数据落在37～40之间的频率是0.2，∴这50个数据在37～40之间的个数=50×0.2=10．故选C．【总结升华】本题考查频率、频数、总数的关系：频率=频数÷数据总和．举一反三：【变式】有一个样本容量为20的样本，其数据如下：29，42，58，37，53，52，49，24，37，45，4