注册公用设备工程师基础考试(一)

目录

一、高等数学.....................................................................4

1.1空间解析几何.................................................................4

1.1.1向量代数..............................................................4

1.1.2空间直线及其方程......................................................8

1.1.3平面及其方程.........................................................10

1.1.4柱面..................................................................12

1.1.5锥面..................................................................13

1.1.6旋转曲面..............................................................14

1.1.7二次曲面..............................................................15

1.1.8空间曲线.............................................................18

☆高等数学习题（空间解析几何）.............................................18

1.2微分学......................................................................30

1.2.1极限................................................................30

1.2.2连续.................................................................35

☆高等数学习题（极限、连续）.................................................35

1.2.3导数.................................................................37

☆高等数学习题（导数及其应用）............................................40

1.2.4微分.................................................................45

1.2.5偏导数与全微分.......................................................46

1.2.6导数与微分的应用.....................................................46

☆高等数学习题（导数、微分）..............................................47

1.3积分学.....................................................................55

1.3.1不定积分.............................................................55

1.3.2定积分...............................................................57

1.3.3广义积分.............................................................58

1.3.4二重积分............................................................58

☆高等数学习题（定积分的概念与性质）......................................59

☆高等数学习题（微积分的基本公式）........................................61

☆高等数学习题（定积分的换元法与分部积分法）..............................64

☆高等数学习题（反常积分）.................................................68

☆高等数学习题（定积分）...................................................70

☆高等数学习题（不定积分）.................................................74

1.4无穷级数...................................................................76

1.4.1级数的概念..........................................................76

1.4.2级数的基本性质......................................................77

1.4.3正项级数.............................................................77

1.4.4任意项级数..........................................................79

1.4.4幕级数...............................................................79

☆高等数学习题（无穷级数）.................................................80

1.5常微分方程.................................................................82

1.5.1微分方程的基本概念.................................................82

1.5.2一阶微分方程........................................................83

1.5.3二阶常系数线性微分方程..............................................88

1.6概率与数理统计.............................................................90

1.6.1随机事件与概率.....................................................90

1.6.2概率的定义及其运算..................................................91

1.6.3频率与概率..........................................................93

1.6.4条件概率.............................................................94

1.6.5离散型随机变量及其概率分布..........................................94

1.8线性代数....................................................................96

1.8.1行列式..............................................................96

二、普通物理....................................................................97

2.1热学.......................................................................97

2.1.1气体状态参量.........................................................97

2.1.2平衡态...............................................................98

2.1.3理想气体的状态方程...................................................98

2.1.4克拉珀龙方程.........................................................99

2.1.5能量按自由度均分原理.................................................99

2.1.6理想气体的内能......................................................100

2.1.7气体分子平均碰撞次数和平均自由程...................................101

2.1.8麦克斯韦速率分布定律................................................102

2.1.9热力学第一定律......................................................103

2.1.10热容量..............................................................105

2.1.11第一定律对于热力学过程的应用......................................106

2.1.12循环过程...........................................................109

2.1.13热力学第二定律.....................................................112

2.1.14卡诺定理............................................................112

☆大学物理习题（热学）....................................................113

2.2波动学.....................................................................115

2.2.1机械波的产生和传播..................................................115

2.2.2平面简谐波函数.......................................................116

2.2.3波的能量.............................................................120

2.2.4波的叠加驻波.......................................................122

2.2.5声波.................................................................127

☆大学物理习题（波动学）..................................................130

2.3光学.......................................................................151

2.3.1相干光的获得........................................................151

2.3.2杨氏双缝干涉........................................................152

2.3.3薄膜干涉.............................................................155

2.3.4迈克耳逊干涉仪......................................................157

2.3.5惠更斯一菲涅耳原理..................................................159

2.3.6光学仪器分辨本领....................................................161

2.3.7x射线衍射...........................................................162

2.3.8自然光与偏振光......................................................162

2.3.9双折射现象..........................................................164

☆☆大学物理习题（光学）.................................................164

一、高等数学

1.1空间解析几何

1.1.1向量代数

1.空间两点间的距离：

1).设Mi(x”外,zi),M2(X2,y2,z?)为空间上的两个点,则空间两点距离:

J(8F)2+(%-%『+以-ZJ.

2).设M(x,y,z)为空间上的一个点，0(0,0,0)为原点，则空间上M到原点的距离:

\MO^d=y/x2+y2+z2.

Egl.设曲(2,1,2),M2(-l,2,3)为空间上的两点，求两点间的距离。(而)

Eg2.设0(0,0,0),M2(-l,2,3)为空间上的两点，求两点间的距离。(后)

2.向量的概念：

向量：既有大小又有方向的量。

向量的模：向量的大小。

单位向量：模长为1的向量，?表示方法。

零向量：模长为0的向量。

自由向量：不考虑起点位置的向量。

相等向量：大小相同且方向相同的向量。

负向量：大小相同但方向相反的向量。

向径：空间直角坐标系中任一点M与原点构成的向量。

3.向量的加减法：

1).向量的加法(平行四边形法则或三角形法则)：5+h=c^7

2).向量的加法符合下列运算规律：

交换律：a+b-b+a.

结合律：a+(-a)=0.a+h+c=(a+b)+c=a+(h+c).

3).向量的减法(平行四边形法则或三角形法则)：a-b=a+(-b)

Egl.向量Aa+Cf)+BC+DA=o(0)

4.向量与数的乘法：

1).设人是一个数，向量方与人的乘积几行规定为：

当人>0时，|笳

当X=0H'j,Aa=6

当入<0时，|花|=|；1|・|万|

2).数与向量的乘积符合下列运算规律：

结合律：几(〃。)=〃(%))=(4/))

分配率：Z(a+b)^Aa+Ab(A+p)a^Aa+pa

定理：设向量日片0,那向量B平行于。的充分必要条件是：存在唯一的实数九使3=茄.

设，。表示与非零向量3同方向的单位向量，按照向量与数的乘积的规定，

a=\a\a°^>—=a°.

|«|

上式表明：一一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量。

5.空间两向量的夹角的概念：

1)五。0,Bw6,向量)与向量日的夹角：

(P=(a,h)=(b,a)(0<(p<7i)

特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与“之间任意取值。

6.空间向量：

1).按基本单位向量的坐标分解式：

"胫2=(看-再)『+(力-%)7+0一%"

在三个坐标轴上的分向量：aj,ayj,a.k,

2).向量的坐标：ax,aY,a.,

3).向量的坐标表达式:a={ax,ay,a:}

MtM2={x2-x},y2-y},z2-z,)

特殊的，OM={x,y,z}

4).向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式：

a={ax,%,a:},b={bx,by,bz},

a+b={ax+bx,ay+by,a:+bz}=(ax+bx)i+(av+by)j+(az+b:)k;

a-h={ax-bx,ay-by,az-bz}=(%-bx)i+{ay-by)j+(a:-h:)k;

法={Aax,Aay,Aaz}=(也)『+(然,,)，+(九/二)后

5).向量的模与方向余弦的坐标表示式

定义：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角。

与X轴：与丫轴：OW/JW肛与Z轴：04/4加

则：a,=\a\cosyaY=|a\cosPax=|a\cosa

方向余弦通常用来表示向量的方向。

向量模长的坐标表示式：

I11=击：+。；+22

向量方向余弦的坐标表示式：

当Qa：片0时：

ax°aa.

cosa-/,cosp=/,cosy=1〜

折+a：+a：《a：+a：+a：+a：+a；

方向余弦的特征：

cos2a+cos2§+cos2/=1

特殊地：单位向量的方向余弦为：a°--={cosa,cos/?,cos/)

l«l

7.向量之间的数量积：

1).运动公式:%=|R||6|COS。

类似地，两向量之间的数量积：

a-b^a\\b\cosO,其中。为两向量之间的夹角。

a-a=\a\2

aA.b<==>ab=0

2).数量枳运算定律：

交换律：ab=ha-,

分配率：（a+byc=a-c+b-c-,

若入、口为常数，则:

（茄）石=①（花）=3B）,（然）•（应）=Aju（ab）.

3).数量积的坐标表示:

设空间直角坐标系：a-axi+aj+a.k,b-bxi+bj+b:k,贝ll：

a-b-axbx+avbv+a.b.

4).两向量夹角余弦的坐标表示式:

-—•ci,b

ah=\a\\b\cosff=>cos0=------,

IaIIb|

则：COS”,a也+a,b+ab

g+a：+a「+b：+b；

由此可知两向量垂直的充要条件为:

aA-b==>axbx+a也,+a2b2=0

8.向量之间的向量积:

1).两向量之间的向量积：

c=axb©=|引司sin。

其中。为两向量之间的夹角，/垂直于两向量。

5x5=6.(•/6=0nsin6=0)

a//b^^axb=Q.(5^6,

2).向量积运算规律：

交换律：axb=-bxa.

分配率：(a+b)xc-axe+bxc.

若人为常数，贝iJ：(Aa)xb^ax(Ab)=Z(axb).

3).向量积的坐标表示：

设万-axi+ayj+a.k,b-bxi+bvj+b.k,贝ij：

axb=(axi+avj+a.k)x(6tz+bvj+b.k)

=(a也一牝4)f+(a:bx-axb:)J+{axby-aybx)k

4).向量积三阶行列式表示：

ijk

axb=axava一则：不〃3<=n&=%=&

么一二b,b,b：

注：l，xB।表示以a与分为邻边的平行四边形面积。

1.1.2空间直线及其方程

1.空间直线的一般方程：

1).定义：空间直线可看成两平面的交线。

Ax+By+Cz+D=0

2).空间直线的一般方程式:x{xx

A2X+B2y+C2z+3=°

2.空间直线的对称式方程与参数方程:

1).方向向量定义：如果一非零向量平行于一-条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向

量。

2)•设方向向量S={加，%p},MoOo/o/o),M(x,y,z),Mo、M为直线L上的两点，则:

►

M^M={x-x^y-y^z-z^}

则：=区=匕区==1

mnp

令：XfJf-Z-Z。二f

mnp

x=xQ+mt

则直线的参数方程式：\y=y.+nt

z=z^+pt

3).定义：方向向量的余弦称为直线的方向余弦。

4).直线的两点式方程：41_=EZL=-L

0一国y2-ytZ2-Z|

3.两直线的夹角：

1).定义：两直线的方向向量的夹角。(锐角)

2).直线L、以对称式方程如下：

x—xx_y-y{_z—Z]x—x2_y—y2_z—z2

叫«1P\'m2«2Pz'

则两直线夹角余弦值：

(2/~2~~T~~~2I~2~~~2~~2

7网+%+〃]•4加2+〃2+〃2

3).两直线的位置关系：

L]±L2<==>m]m2+nAn2+p}p2=0,

L、HL,仁=丛=以=互，

机2〃2Pl

4.直线与平面的夹角:

1).定义：直线和它在平面上的投影直线的夹角W称为直线与平面的夹角。

0<

直线对称方程式:

L.x—x。％_z-z°

mnp

方向向量:s={m,n,p},

平面方程式：n：Zx+gy+Cz+O=0,垂直于平面的向量万={4B,C},

冗兀

则：3,万)=万+9(s,n)=--(p

|Am+Bn+Cp\

直线与平面的夹角关系:sin°=

JA。+B?+C2ym2+〃2+22

2).直线与平面的位置关系:

^4_5_C

Ainun

mnp

L〃nu=Am+Bn+Cp=0.

1.1.3平面及其方程

1.平面的点法式方程：

1).定义：如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量。

法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量。

2).平面的点法式方程表达式：

已知法线向量：n={A,B,C},

平面上任意两点：M0(x0,y0,z0),M(x,y,z)则必有:

MM^Si=0=>MM0_Ln

•••M0M={x-xo,y-yo,z-zo}

•••^(x-xo)+5(^-^o)+C(z-zo)=O

平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面

称为方程的图形。

2.平面的一般方程：

1).由平面的点法式方程”(X—X。)+8(y—%)+C(z-z0)=0得：

=>Ax+By+Cz~(Axn+By0+Cz0)=0

平面的一般方程：Ax+By+Cz+D^Q

法向量：n^{A,B,C].

2).平面一般方程的几种特殊情况：

。=0,平面通过坐标原点；

4=0,0=0,平面通过*轴；

/=0,。。0,平面平行于*轴；

类似的，B=0,C=0时;按以上情况类推。

4=8=0,平面平行于xoy坐标面。

类似的,B=C=O,A=C=O时,按以上情况类推。

3.两平面的夹角：

1).定义：两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角。(通常取锐角)

2).两平面的夹角公式：

平面口］:Aix+B}y+Cxz+D］-0,

X+

平面口2：^2^iy+C2z+D2-0,

法向量：万］万

={4,8”G},2={A2,B2,C2},

两法向量夹角余弦值，既为两平面夹角余弦值:

coso—_____144+用当+CCI______

y/A'+B^+C,2-yjA^+B^+C^

3).两平面的位置特征:

rijj_n2<==>44++GC,=o；

n.//n,="=G

A2B2C2

4.点到平面的距离：

平面方程：4r+8y+Cz+Z)=0

平面外一点：P(x0,y。，z0),则：

d_//+By。+Cz。+D

‘^A'+B'+C2

1.1.4柱面

1.定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面。

柱面举例

这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。

2.柱面方程:

D.柱面方程：F(x,y,z)=0

推理过程:

4(x,y,z)=0

设柱面的准线为:(1)

F2(x,y,z)=0

母线的方向数为X,Y,Z。如果凹,zj为准线上一点，则过点他的母线方程为:

X-X]_y一必一Z-Z|

X~Y~ZL

且有耳(再,必,4)=0,居(石,必,zJ=0(3),得：F{x,y,z)=0

这就是以(1)为准线，母线的方向数为X,Y,Z的柱面的方程。

2).柱面方程的特征：

F(x,y)=0在空间直接坐标系中表示母线平行于Z轴的柱面，其准线为坐标系xoy面上的曲

线。其它类推。

22

方+亍=1,椭圆柱面：母线平行于X轴。

鼻-4=1双曲柱面：母线平行于Z轴。

ab-

x2=2pz抛物柱面：母线平行于丫轴。

1.1.5锥面

1.定义：在空间，通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面称为锥面，这些直

线都称为锥面的母线，定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线。

2.锥面方程：

锥面方程：E(x,y,z)=O

推理过程：

F.(x,y,z)=0

设锥面的准线为：\八,(1)

F2(x,y,z)=O

顶点为A(x0,y0,zo),如果〃|(玉,乂,zj为准线上任一点，则锥面过点Mi的母线为：

x-Xo_yf_zz。

西一演必一乂)z「z°

且有大(芭,必,Z1)=0,玛(西,必,马)=0(3),得:

F(x,y,z)=0

这就是以(D为准线，以A为顶点的锥面方程。

卜2-I

Eg.求顶点在原点，准线为/b2的锥面的方程。

z—c

,222

答案.—+x__—=Q

a2b2c2

3.齐次方程：

设人为实数，对于函数f(x,y,z),如果有：f(tx,ty,tz)=t'f(x,y,z)

则称f(x,y,z)为人的齐次函数，f(x,y,z)=0称为齐次方程。

定理：一个关于x,y,z的齐次方程总表示顶点在坐标原点的锥面。

方程x2+y2-z2=0圆锥面

方程x2+y2+z2=0原点(虚锥面)

1.1.6旋转曲面

1.定义：以一条平面曲线C绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，这

条定直线叫旋转曲面的轴。曲线C称为放置曲面的母线

2.旋转曲面方程：

旋转曲面方程：F(x,y,z)=0

推理过程：

F.(x,y,z)=0

设旋转曲面的母线为：:八(1)

怩(x/,z)=0

心上也=匕为==.(2)

XYZ

其中夕“(Xo/o,z。)为轴L上••定点，X,Y,Z为旋转轴L的方向数。

设M(花,乂,4)为母线C上的任意点，则M,的纬圆总可以看成是过此且垂直于旋转轴L的

平面与以P。为中心，PM|为半径的球面的交线。

所以，过此的纬圆的方程为：

X(x—Xo)+y(y-yo)+Z(z-Zo)=O(3)

V

2222

(x-x0)+(y-y0)+(z-z0)=(七一/月+(必一比/+{z}-z0)

当点此跑遍整个母线C时，就得到所有的纬圆，这些纬圆就生成旋转曲面。

又由于妣在母线上，所以又有：

C：户…,4)=0(4)

居a,乂,4)=o

从(3)(4)的四个等式中消去参数Xi,y”z„得到一个三元方程：F(x,y,z)=0

这就是以C为母线，L为旋转轴的旋转曲面的方程。

3.常见曲面方程：

->2

a.双曲线分别绕x轴和z轴旋转:

a~c~

Y2y2+22

x轴：J—匕多=1,单叶双曲面。

a~c

222

Y+VZ

z轴：——；-------7=1,双叶双曲面。

ac

(22

2L+£_=i

b.椭圆^2-分别绕y轴和z轴旋转:

x=0

y2/2

y轴：彳+上「=1,长形旋转椭圆面。

ac

V2+V22

Z轴：上号」+一Z=1,短形旋转椭圆面。

ac

C.抛物线<y~2pz绕Z轴旋转：

x=0

x2+y2=2pz,旋转抛物面。

1.1.7二次曲面

1.定义：三元二次方程ax?+by?+cz?+dxy+exz++gx+hy+iz+j=0所表示的曲面称

之为二次曲面。相应地平面被称为一次曲面。

讨论二次曲面性状的平面截痕法：用坐标面和平行于坐标血的平面与曲面相截，考察其交线

(即截痕)的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。

2.常见的几种二次曲面：

222

1).椭球面：­+—r=l

abc

a,用平面z=0去截割，得椭圆:

z=0

b.用平面z=k去截割(要求|k|<c),得椭圆:

号+片-1匕

762c2

z=k

当|k|Vc时:|k|越大，椭圆越小；

当|k|=c时，椭圆退缩成点。

类似地，依次用平面x=0,平面y=0截割，得椭圆:

y2X2+二=1

+0，/C2

x=0v=0

特别：当a=b=c时，方程x?+y2+z2=a2,表示球心在原点o,半径为a的球面。

2).双曲面

222

单叶双曲面：5+仁一一=1

ab~c

a.用坐标面xoy(z=0)与曲面相截，截得中心在原点O(0,0,0)的椭圆。

,/+*1

z=0

与平面Z=Z］交线为椭圆。

222

。匕=1+工

/h2C2

Z=Z]

当力变动时，这种椭圆的中心都在z轴上。

b.用坐标面xoz(y=0)与曲面相截，截得中心在原点的双曲线。

一Z’T

a2c2

y=0

实轴与X轴相合，虚轴与Z轴相合。

与平面y=乂(乂。土b)的交线为双曲线。

二_二=1』

a1c2b2

双曲线的中心都在y轴上。

必2<b2,实轴与x轴平行，虚轴与z轴平行。

必2>〃,实轴与z轴平行，虚轴与x轴平行。

乂=6,截痕为一对相交于点(0,b,0)的直线。

XZ[XZ

—I—=0-----=0

<ac-yac,

y=b[y=Z?

%=-6,截痕为一对相交于点(0,-b,0)的直线。

ac

c.用坐标面yoz(x=0),x=xi与曲面相截均可得双曲线。

平面x=土。的截痕是两对相交直线。

单叶双曲面图形：(

双叶双曲面：nfjK#

3).抛物面

22

椭圆抛物面：工+乙=Z(p、q同号)

2P2q

用截痕法讨论：设p>0.q>0

a.用坐标面xoy(z=0)与曲面相截,截得一点,即坐标原0(0,0,0),原点也叫椭圆抛物

面的顶点。

与平面z=zl,zl>0的交线为椭圆。

X2y2

----+--=1

〈2pZ]Zqz、

.Z=2|

当zl变动时，这种椭圆的中心都在z轴上。

p<0,</<0

与平面z=zl,zl〈O不相交。

b.用坐标面xoz(y=0)与曲面相截，截得:

U=必

它的轴平行z轴，顶点:°-4

c.其它截面类推。

1.1.8空间曲线

1.空间曲线的一般方程：

I).空间曲线c可看作空间两曲面的交线。

2).空间曲线的一般方程：

F(x,y,z)=0X

G(x,y,z)=0

☆高等数学习题(空间解析几何)

1.已知|〃|二1,161=4,|c|=5,并且向量a+B+c=0.计算axg+Bxc+cXa.

解：因为|2|=1,历|=4,|c|=5,并且£+，+[=0

所以〃与B同向，且Q+B与。反向

因此〃xB=O,hxc=0,cxa=0

所以axb+bxc+cXQ=O

2.已知•坂|=3,\axb\=4,求|Z|.向.

解：IQ•坂HQI•IBIcos6=3

|axb|=|a|.⑻sin。=4

⑴2+⑵2得(内.向『=25

所以加=5

3.设力户=-27+37+52作用在点工(3,6,1),求力斤对点8(,1,7,-2)的力矩的大小。

解：因为〃(3,6,1),5(1,7,-2)

所以标=(-2,1-3)

力矩M=^XR=(-27+7-3，X(-27+37+5可

=14i+16J-

所以，力矩的大小为

\M\=7142+162+(-4)2=6V13

4.已知向量1与％1,5,-2)共线，且满足展5=3,求向量工的坐标。

解：设I的坐标为(x,y,z),又2=(1,5,-2)

则。•x=x+5歹-2z=3(1)

又x与。共线，则xxa=0

ij%

yz二xyxy

xyz=i—/+k

-5-21-215

15-2

=(-2y-5z)i+(z+2x)j+(^5x—y)k=0

所以J(_2y_5z)+(z+2x)+(5X_J『=0

即29x2+5y2+26z2+20yz+4xz-10盯=0⑵

又x与a共线，x与a夹角为0或万

八,xa3

cos0=1=------/=/:—

222222

yJx+y+Z.杆+5+(-2)旧+/+2-V30

3

整理得x2+y2+z2=—(3)

10

联立⑴、⑵、⑶解出向量［的坐标为(卡,，-g)

证明：如图所示，因为平行四边形/BCD的对角线习题三.5图

互相平分，则有

BM=ND,CN=MA

由矢量合成的三角形法则有BA=BM+MA

CD^CM+MD^MA+BMBM+MA

所以B4=CD

即BA平行且等于CD

四边形/BCD是平行四边形

6.已知点Z(3,8,7),8(—1,2,—3)求线段Z8的中垂面的方程。

解：因为/(3,8,7),5(-1,2,-3)

Z8中垂面上的点到/、8的距离相等，设动点坐标为M(x,y,z),则山|朋Z|=|M邳得

J(X_3)2+(y-8)2+(z-7)2=而+1)2+8-2)2+(z+3)2

化简得2x+3y+5z-27=0

这就是线段的中垂面的方程。

7.向量Z,h,"具有相同的模，且两两所成的角相等，若Z,B的坐标分别为

(1,1,0)和(0,1,1),求向量H的坐标。

解：|£|=|司=|同=〃且它们两两所成的角相等，设为。

则有1x0+1x1+0x1=1

…八。•石.1

则COS0=————=—r

MH"r2

设向量C的坐标为(x,y,z)

则：

a-c=\'x-{-l-y-^0-z=x+y=\a\'\h\cos0=r-r-=\

b-c=0-x+l-y+l-z=y+z=\a\'\b\cos0=rr-=\

r

|c|=yjx2y2+z2=r=Vl2+12+02=V2

所以X2+J?+Z2=2

1

x=—

X=13

4

联立求出＜y=0或y--

,3

Z-1

1

z=—

3

所以向量"的坐标为(1,0,1)或信

8.已知点/(3,6,1),5(2,-4,1),C(0,—2,3),。(—2,0,—3),

(1)求以AC,NO为邻边组成的平行六面体的体积

(2)求三棱锥8C7)的体积。

(3)求A5C。的面积。

(4)求点/到平面8C。的距离。

解:因为2(3,04),5(2-4,1),C(0-2,3),£>(-2,0-3)

所以25=(-1,-10,0)

=(-3-8,2)

4。=(一5,-6,—4)

⑴(苑就，茄)是以它们为邻边的平行六面体的体积

-1-100

V=-3-82——3+100+0-(0-120+12)=176

-5-6-4

(2)由立体几何中知道，四面体Z8CD(三棱锥4-8C。)的体积

"V--1Vrz=—1xl-76=—88

rT663

(3)因为前=(一2,2,2),丽=(—4,4,一4)

__ijk

BCxBD=-222=-1616./+0左

-44-4

所以前x丽=)(一16)2+(-16)2=16五,这是平行四边形8CED的面积

因此SMCO=|xl6V2=872

(4)设点2到平面BCD的距离为“，由立体几何使得三棱锥/-8。的体积

9.求经过点2(3,2,1)和8(-1,2,-3)且与坐标平面xOz垂直的平面的方程.

解：与xoy平面垂直的平面平行于y轴，方程为

Ax+Cz+D-Q(1)

把点/(3,2,1)和点8(-1,2,-3)代入上式得

3A+C+。=0(2)

—A—3C4-Z)=0(3)

由(2),(3)得，A=---，C——

22

代入(1)得一2x+2z+o=o

22

消去。得所求的平面方程为：

x-2-z=0

10.求到两平面。：3%-丁+22-6=0和£/+++：=1距离相等的点的轨迹方程。

解；设动点为M(x/,z),由点到平面的距离公式得

\3z—y+2z—6\|—5x+2j^-10z+10|

#+(-l)2+227(-5)2+22+(-10)2

所以3x—y+2z—6—i《(~~5x+1y—1Oz+10)

11.已知原点到平面a的距离为120,且a在三个坐标轴上的截距之比为-2:6:5,求a

的方程.

解：设截距的比例系数为〃，则该平面的截距式方程为

xyz.

——+—+——=1

—2k6k5k

化成一般式为-15x+5y+6z-30左=0

卜30人|

又因点0(0,0,0)到平面a的距离为120,则有=120

J(-15)2+5z+6?

求出左=±4，^幅

所以，所求平面方程为-15x+5y+6z±120j•=0

12.若点4（2,0,-1）在平面。上的投影为8（-2,5,1）,求平面a的方程。

解：依题意，设平面的法矢为〃=（4,-5,2）

代入平面的点法式方程为

4（x+2）­5&-5）_2（z-l）=0

整理得所求平面方程为4x-5y-2z+35=0

13.已知两平面。：加x+7y-6z-24=0与平面0:2%-3即+1匕-19=0相互垂直，求

m的值。

解：两平面的法矢分别为〃|=（加，-1,-6）,%=（2,一3加,11），由〃1〃2,得

2m-21/w—66=0

i、_66

求出m=---

19

14.已知四点4（0,0,0）,5（,2-5,3），C（0,l-2）,2）（2,0,7）,求三棱锥。一力中

ABC面上的高。

解：已知四点2（0,0,0）,8（2,-5,3）,。（0,1,-2）,。（2,0,7）,则

方=（一2,0-7）,55=（0,-5-4）,5C=（-2,1-9）

由l5^L|55L|5c|为邻边构成的平行六面体的体积为

-20-7

V=（DA,DB,DC）=-0-5-4

-21-9

=[-90+0+0-（-70+0+8）]=（-90+70-8）=28

由立体几何可知，三棱锥3c的体积为

1114

%京=/昨/28=三

oo5

设。到平面Z8C的高为“

则有VD-ABC=；H.SMBC

所以〃=3%-偌c

SABC

又方=（2,5,3）,就=（0,1,-2）

ijk

ABxAC2-53-li+4j+2k

01-2

222

所以，S^ABC=-|A5xJC|=-V7+4+2=-V69

2122

3XH

28_28769

因此，H=-~二

府一69

—A/69

2

15.已知点〃在z轴上且到平面a:4x—2y—7z+14=0的距离为7,求点/的坐标。

解：/在z轴上，故设N的坐标为（0,0,2）,由点到平面的距离公式，得

|-7z+14|

次+（一2『+（一7）

所以一72+14=±厢

则z=2±V69

那么4点的坐标为/（0,0,2±V69）

16.已知点.N在z轴上且到点3（0,-2,1）与到平面a:6x-2y+3z=9的距离相等，求

点N的坐标。

解：Z在z轴上，故设/的坐标为（0,0,z）,由两点的距离公式和点到平面的距离公式得

Jo2+（R+（1-Z）2=

A/62+（-2）+32

化简得40z2—74z+229=0

因为（_74『-4x40x229=—31164<0

方程无实数根，所以要满足题设条件的点不存在。

17.求经过点尸(1,一2,0)且与直线=1=匕1=3和2=二=£±1

1101—10

都平行的平面的方程。

解：两已知直线的方向矢分别为匕=(1,1,0),%=(1，-1，0)，平面与直线平行，则平面的法

矢a=(z,B,C)与直线垂直

由有Z+3+0=0(1)

由。_1_匕，有力-8—0=0(2)

联立(1),(2)求得力=0,8=0,只有CW0

又因为平面经过点尸(1,-2,0),代入平面一般方程得

0xl+0x(-2)+Cx0+Z)=0

所以。=0

故所求平面方程6=0,即z=0,也就是xoy平面。

18.求通过点P(l,0,-2),而与平面3x-y+2z-l=0平行且与直线工一=气-=,

相交的直线的方程。

解：设所求直线的方向矢为n=(加，〃，p),

直线与平面3x+2z-l=0平行，则丫_1.〃，有

3m-n+2p-0(1)

直线与上1=匕2=三相交，即共面

4-21

mnp

则有4-21=0

1-13-00+2

所以一7m-8"+12=0(2)

由(1),(2)得

取加=4,«=-50,p=-31,得求作的直线方程为

%—1_y_z+2

丁一与一-3]

19.求通过点工(0,0,0))与直线三』=专2=、3的平面的方程。

解:设通过点4(0,0,0)的平面方程为A(x-0)+B(y-0)+C(z—0)=0

即Ax+By+Cz=0(1)

x-3y+4z-4

又直线="=「一=—^在平面上，