考点40抛物线-高考全攻略之2019年高考数学（理）考点一遍过含解析

考点40抛物线

考辆摩攵

(1)了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

(2)掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.

二知识整合

一、抛物线的定义和标准方程

1.抛物线的定义

平面内与一个定点厂和一条定直线7(2不经过点n距离相等的点的轨迹叫做抛物线.

点尸叫做抛物线的焦点，直线/叫做抛物线的准线.抛物线关于过焦点厂与准线垂直的直线对称，这条

直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴.

注意：直线/不经过点凡若/经过尸点，则轨迹为过定点尸且垂直于定直线/的一条直线.

2.抛物线的标准方程

(1)顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为y2=2px(〃>0)；

(2)顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为丁=—2px(〃>0)；

(3)顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为/=2刀(〃>0)；

(4)顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为/=—2〃y(〃>0).

注意：抛物线标准方程中参数。的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以0的值永远大于0,当

抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现°<0的错误.

二、抛物线的几何性质

1.抛物线的几何性质

标准方程y2=2px(p>0)y1=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)

图形IV-

Trh十

范围x>0,yeRx<0,yGRy>0,xeRy<0,xGR

对称性关于X轴对称关于X轴对称关于y轴对称关于y轴对称

几

焦点呜,0)尸(《0)F%)m-y)

何

性

准线方程x=—TT

质2

顶点坐标原点(0,0)

离心率e-\

2.抛物线的焦半径

抛物线上任意一点P(x0,%)与抛物线焦点厂的连线段，叫做抛物线的焦半径.

根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表:

抛物线方程V=2px(p>0)y2=-2px(〃>0)x2=2〃y(p>0)x2=—2py(p>0)

焦半径公式|P3+/IPB专X。IP尸得+为IM号为

3.抛物线的焦点弦

抛物线的焦点弦即过焦点厂的直线与抛物线所成的相交弦.

焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标,

再利用两点间的距离公式得到，设4?为焦点弦，A(X，y),B(x2,y2),则

抛物线方程y2=2px(p>0)y2=-2/?%(/?>0)x2=2py(p>0)x2=—2〃y(p>0)

焦点弦公式|AB|=p+（X]+々）\AB\=p-（xt+x2）\AB\=p+（y}+y2）\AB\=p-(y]+y2)

其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于46两点的线段/反称为抛物线的通径.

对于抛物线y2=2px（p>0）,由A（日，p）,B（g,-p）,可得|AB|=2p,故抛物线的通径长为2P.

4.必记结论

直线力夕过抛物线y2=2px（p>0）的焦点，交抛物线于力（小，力），夕（尼，必）两点，如图：

/1、2P

（1）y\y2=­p,x\X2=~^.

（2）\AB\=x\+x2-Vp,t+x2川=P，即当汨=生时，弦长最短为2R

112

（3）诉[+]^可为定值3

（4）弦长协=肃]（。为的倾斜角）.

（5）以47为直径的圆与准线相切.

（6）焦点厂对48在准线上射影的张角为90°.

考向一抛物线的定义和标准方程

1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M一个定点尸（抛物线的焦点），一条定直线/（抛

物线的准线），一个定值1（抛物线的离心率）.

2.抛物线的离心率。=1,体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半

径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即

附=卜码或附=3+勺使问题简化.

典例引领

典例1平面内动点P到点尸(0,2)的距离和到直线/：y=-2的距离相等，则动点P的轨迹方程为是

【答案】d=8y

【解析】由题意知，该点轨迹是以尸(0,2)为焦点，y=-2为准线的抛物线，其中〃=4,所以方程为

x2=8^.

【名师点睛】本题主要考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程，属于中档题.

典例2抛物线V=2px(p>0)上的动点Q到其焦点的距离的最小值为1，则p=

A.—B.1

2

C.2D.4

【答案】c

【解析】抛物线/=2RP>0)上的动点。到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值，

很明显满足最小值的点为抛物线的顶点，据此可知：j=L..P=2.

本题选择C选项.

【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意结合

抛物线的定义确定点的位置，然后求解〃的值即可.

变式拓展

1.已知F是抛物线y2=4x的焦点，是该抛物线上两点，|例耳+|Nq=6,则MN的中点到准线的

距离为

3

A.-B.2

2

C.3D.4

考向二求抛物线的标准方程

1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关健是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经

确定的前提下，由于标准方程只有一个参数P,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.

2.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：

若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.

典例引领

典例3若点A,8在抛物线上2Px(p>0)上,0是坐标原点,若正三角形的6的面积为4遍则该抛物线的方程

是

A."=xB.

3

C.D.y-^-x

3

【答案】A

【解析冲艮据对称性.可知Mix轴,由于正三角形OAB的面积是4、@故吟故用T正三角形OAB

的高为2#,故可设点/的坐标为(20Z：代入抛物线方程得I、■，解得尸孝，故所求抛物线的方程为产

雪.

3

典例4求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求出对应抛物线的准线方程.

(1)过点(—3,2)；

(2)焦点在直线x-2y—4=0上.

【解析】(D设所求抛物线的方程为丁=-2/或/=2水p>0).

2Q

二.过点(一3,2),「.4二一2P父(-3)或9=2px2,=三或p=二.

34

4.01Q

故所求抛物线的方程为丁=一］%或/=］如对应的准线方程分别是4=»=-孑

(2)令％=0得y=-2；令y=0得%=4,.・.抛物线的焦点为(4>0)或(0,-2).

当焦点为(40)时，与=4,「.p=8,此时抛物线的方程为/=i6x；

当焦点为(0，-2)时，§=2,.•.p=4,此时抛物线的方程为

故所求抛物线的方程为丁=16x或，=Ty,对应的准线方程分别是乂=>4,y=2.

变式拓展

2.顶点在原点，且过点(T,4)的抛物线的标准方程是

A.y2--^xB.x2-4y

C.=-Axx2=4yD.)2=4%或/=与旷

考向三抛物线的简单几何性质及其应用

确定及应用抛物线性质的关键与技巧：

(1)关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程.

(2)技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.

典例引领

典例5已知等腰三角形“彻中，0PLMP,〃为抛物线尸=2以(或0)的顶点，点材在抛物线的对称轴上，点

户在抛物线上，则点。与抛物线的焦点厂之间的距离是

A.2^2pB.—p

2

C.2PD.V2p

【答案】B

2

【解析】由题意得=%.-.xp=2冲.=2〃,因此点尸与抛物线的焦点下之间的距离为

x+—―—―,选B.

p「22

【名师点睛】（1）凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理.（2）解答本

题的关键是画出图形，利用抛物线的简单几何性质转化求解即可.

变式拓展

3.已知抛物线C:x2=2〃y（〃>0）的焦点为F,抛物线C的准线与y轴交于点A,点M0,%）在抛物线

C上，|MF|=半，则tan/必M=

25

2

45

54

考向四焦点弦问题

与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解.解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式

是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p与交点横（纵）坐标的和还是与交点横（纵）坐标的差，这

是正确解题的关键.

典例引领

典例6过抛物线六4x的焦点作直线交抛物线于点力（为,%），8（如④，若［加=7,求四的中点"到抛物

线准线的距离.

【解析】抛物线的焦点为旗1,0»隹线方程为x=-l.

由抛物线的定义知=MF|+|B曰=%+与+如+与=%+孙+以即乙+必+2=7得乙+3=5.

于是弦数的中点〃的横坐标为I.

因此点〃到抛物线准线的距离为♦+1=（•

典例1已知过抛物线/=2px（p>0）的焦点,斜率为2小的直线交抛物线于4（打力），B（x2,%）（不<在）两点,且

/W=9.

（1）求该抛物线的方程；

(2)。为坐标原点，。为抛物线上一点，若沆=血+，血，求A的值.

【解析】(1)直线四的方程是尸2立仁介与炉=2/联立从而有4曲5取■产0

所以Xl+X2=孚一

4

由抛物线的定义相加IF+X23手斤以Z

从而抛物线的方程是炉=取.

(2)因为p=4,

所以M-S/a+pM),可简化为x2-5x+4=0,

从而xi=1IX2=4^I=^2)/2J*I=4V25

从而^(1,-272)^(4,472).

设％"),则沆=@凶)=(1:2烟+及4,4在)=(以+1,4\%-2\2)一

又另期心

所以［2谊(2M)F=8(44+1)即(21-1产41+1，解得A=0或A=2.

变式拓展

4.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线/与抛物线交于AB两点，以A8为直径的圆的方程为

(x-3『+(y-2『=16,则〃=

A.1B.2

C.3D.4

考向五抛物线中的最值问题

1.抛物线中经常根据定义把点到焦点的距离和点到准线的距离进行互相转化，从而求解.

2.有关抛物线上一点材到抛物线焦点厂和到己知点E(£在抛物线内)的距离之和的最小值问题，可依

据抛物线的图形，过点£作准线/的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点尸和到已知点£的距离之和

是最小值.

典例引领

典例8如图，己知点Q(2#,0)及抛物线y=亍上的动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是

A.2B.3

C.4D.2M

【答案】A

【解析】如图,作PB1x轴于A点,并与准线相交于B点.抛物线炉=4y的焦点为F@I)J隹线为y=由抛

物线的几何意义可得1尸身=|PF],所以

y+附卜I尸用+P(2I=|PB\+IPQ\-1=\PF\+\PQ\-1>|FQ|-1=VT+8-1=2.故选A.

典例9已知抛物线的方程为V=8%/是焦点，点4(-2,4),在此抛物线上求一点已使|加+|用|的值最小.

【解析】•••(-2)z<8X4,.•.点)(-2,4)在抛物线在=8y的内部.

如图所示,设抛物线的准线为1,过点户作PQL1于点Q,过点A作ABV1于点B,连接AQ.

由抛物线的定义可知,阀+网l=EQI+四归M0归阳?I当且仅当pg乂三点共线时，阀+咫取得最小值1^阳|一

...不妨设阳+口|的值最小时点P的坐标为（2瑜代入抛物线方程炉畤得止;.

二使附呷|的值最小的抛物线上的点P的坐标为（2；）.

变式拓展

5.已知抛物线V=4x,过焦点尸作直线与抛物线交于点A,B,设IAfi=m，IB司=〃，则加+〃的

最小值为

A.2B.3

C.73D.4

声点冲关充

1

1.抛物线>9的准线方程是

4

A.y=TB.y=l

C.x=—1D.x—\

2.已知加,〃£R，则“根〃<0”是“抛物线如2+肛;二o的焦点在y轴正半轴上，，的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.以x轴为对称轴,通径长为8,顶点为坐标原点的抛物线方程是

A.y-^xB.y=-8x

C.y=8x^y=~8xD.V=8y或必=-8y

4.已知抛物线/=4x上一点材与该抛物线的焦点U的距离|加1=4,则点〃的横坐标尸

A.0B.3

C.2D.4

5.已知点以-3,2）是坐标平面内一定点，若抛物线的焦点为£点。是该抛物线上的一动点，则

〃胞'-/〃/的最小值是

7

A.-B.3

2

D.2

6.设厂为抛物线C：：/=4x的焦点，M为抛物线。上的一点，。为原点，若△OF"为等腰三角形,

则△OEM的周长为

A.4B.2布+1

C.君+2或4D.行+1或4

7.尸是抛物线f=2x的焦点，以尸为端点的射线与抛物线相交于点A,与抛物线的准线相交于点8,

若E6=4E4，则=

3

A.1B.一

2

9

C.2D.-

4

8.曲线y=2f上两点A(%,y)、3(%2，%)关于直线丁=%+相对称，且玉-X2=-5,则0的值为

3

A.—B.2

2

9.已知抛物线/=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的两个动点A,6始终满足/月陷60°,过弦4?的中点〃作

抛物线的准线的垂线期;垂足为N,则上〜的取值范围为

\AB

A.(0,乌B.[巫,+8)

33

C.[1,+8)D.(0,1]

丫2

10.若抛物线/=2px(p>0)的焦点与双曲线L-7=l的右顶点重合，则片

4

11.已知点4(1,%),3(9,必)是抛物线：/=2〃式〃>0)上的两点，必>y>0,点F是它的焦点，若

|BF|=5|AF|,则弁+%的值为.

12.已知等腰梯形ABCD的顶点都在抛物线丁=2px(p>0)上，且AB//CD,

AB=2,CD=4,NADC=60°,则点A到抛物线的焦点的距离是

13.已知抛物线C:「=ax(a>0)的焦点为F,点1(0,1),射线均与抛物线C相交于点火与其准线相交于点N,

若|掰：|削=1：3,则实数a的值为.

14.已知抛物线/=2px(p>0)的焦点为K准线方程是》=-I

(1)求此抛物线的方程；

⑵设点M在此抛物线上，且|MF|=3,若。为坐标原点，求△OBW的面积.

15.己知北川是焦点为尸的抛物线丁=2px(p>0)上两个不同的点,线段协'的中点A的横坐标为4-5.

⑴求|炳+|即|的值;

(2)若尸2,直线MN与x轴交于点B,求点8的横坐标的取值范围.

16.设A,8是抛物线/=2px(p>0)上的两点,且满足的_1如(。为坐标原点).

求证：(1)46两点的横坐标之积、纵坐标之积都为定值;

(2)直线4?经过一个定点.

17.已知抛物线C的顶点在原点，焦点在y轴上，且抛物线上有一点尸（小,5）到焦点的距离为6.

（1）求该抛物线。的方程；

（2）已知抛物线上一点“（4"）,过点M作抛物线的两条弦和ME,且ADJAE，判断直线OE

是否过定点，并说明理由.

直通高考此

S?

2

1.（2018新课标I理）设抛物线C：/=4x的焦点为F,过点（-2,0）且斜率为1的直线与。交于M,N

两点，则FMFN二

A.5B.6

C.7D.8

2.（2016新课标全国I理科）以抛物线。的顶点为圆心的圆交。于4B两点,交。的准线于〃£两点.

已知|47|二4血，\DEU2旧,则C的焦点到准线的距离为

A.2B.4

C.6D.8

3.（2017新课标全国I理科）已知尸为抛物线Gy2=4x的焦点，过/作两条互相垂直的直线九k,

直线人与。交于力、夕两点，直线4与。交于〃、£两点，则I力引+：龙|的最小值为

A.16B.14

C.12D.10

4.（2016浙江理科）若抛物线/=4”上的点M到焦点的距离为10,则"至ijy轴的距离是.

5.（2017新课标全国II理科）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是。上一点，的延长线交旷

轴于点N.若“为RV的中点，则|EV|=.

6.（2018新课标HI理）已知点知（-1,1）和抛物线Gy2=4x,过C的焦点且斜率为火的直线与C交于A,

B两点.若NAMB=90°,则&=.

113913

7.（2017浙江）如图，已知抛物线，点力（一不二），8（不工），抛物线上的点尸（x,y）（—.过

点6作直线4。的垂线，垂足为Q.

（1）求直线/!一斜率的取值范围;

（2）求IPAHPQI的最大值.

8.（2016新课标全国IH理科）已知抛物线C：、2=2%的焦点为尸，平行于x轴的两条直线L分别

交C于A,B两点，交C的准线于P,。两点.

（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARFQ.

（2）若APOF的面积是△ABE的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.

9.(2018新课标n理)设抛物线C：y2=4x的焦点为尸，过尸且斜率为Z(k>0)的直线/与C交于A,B两

点，"|=8.

(1)求/的方程；

(2)求过点A,8且与C的准线相切的圆的方程.

10.(2018北京理)已知抛物线Gy2=2px经过点p(1,2).过点0(0,1)的直线/与抛物线C有两个

不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线加交y轴于N.

(1)求直线/的斜率的取值范围；

(2)设。为原点，QM=AQO,QN=juQO.求证：?+一为定值.

X〃

1.【答案】c

【解析】由题意，尸是抛物线/=4x的焦点，所以F(LO),准线方程为x=—l,

设,yJ,N(叱，为)，所以MFI+INFM^+I+XJ+IMG,解得毛+叱=4,

所以线段MN的中点的横坐标为2,所以线段MN的中点到该抛物线的准线的距离为2+1=3.

故选C.

【名师点睛】本题主要考查了抛物线的定义、标准方程的应用，其中熟记抛物线的定义、标准方程，把

抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离是解答的关键，着重考查了转化思想的应用，属于基础

题.根据抛物线的方程求出准线方程，再利用抛物线的定义，列出方程求出M,N的中点的横坐标，再

求出线段MN的中点到抛物线的准线的距离.

2.【答案】C

【解析】♦.•抛物线的顶点在原点，且过点(-4,4),

.••设抛物线的标准方程为f=2〃y(p>0)或(p>0),

将点(-4,4)的坐标代入抛物线的标准方程，=2切(p>0)得：16=8p,「.9=2,

...此时抛物线的标准方程为，=4y；

将点(-4,4)的坐标代入抛物线的标准方程丁=_2声(p>0),同理可得p=2,

此时抛物线的标准方程为/=-4x.

综上可知，顶点在原点，且过点(-4,4)的抛物线的标准方程是丁=-4%或，=4).

故选C.

【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程，得到所求抛物线标准方程的类型是关键，考查待定系数法，

属于中档题.依题意，设抛物线的标准方程为f=2刀（p>0）或丁=_20（p>0）,将点（T,4）

的坐标代入抛物线的标准方程，求得〃即可.注意，本题也可用排除法，因为抛物线经过点（T,4）,且

该点在第三象限，所以抛物线的开口朝上或朝左，观察各选项知选项C符合题意.

3.【答案】C

【解析】由抛物线的定义知阿=%+解得%=2”，

又点M（1,%）在抛物线。上，代入V=2/〃解得%=1,p=[.

团14

过点"作抛物线的准线的垂线，设垂足为七则tanNEAM=tanNAME=~L==_.

\ME\55

4

故选C.

【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于基础题.先利用抛物线的定义和已知条件求出

%=再过点M作抛物线的准线的垂线，设垂足为E,最后解直角三角形4必得tanZFAM的值.

4.【答案】B

【解析】设过抛物线y2=2px（">0）的焦点的直线/与抛物线交于A（x，yJ,3（七,必）两点，则

|阴=%+%+0，又因为以"为直径的圆的方程为（一3）2+（3；-2）2=16,所以

|AB|=Xy4-Xj+p=6+p=8,解得p=2.故选B.

【名师点睛】涉及过抛物线的焦点的弦的长度问题，往往要借助抛物线的定义转化为抛物线上的点到准

线的距离，比联立方程利用弦长公式进行求解减少了计算量.

5.【答案】D

【解析】由题意知，抛物线丁=板的焦点坐标为a0）,准线方程为x=T,

当斜率先存在时,设直线AB的方程为y=仪X-1）,联立抛物线方程，可得//一（常+4卜+廿=0,

设4（天,必）,5（女,〉2），贝ij%+项=2+乃>2:不丐=1,

依据抛物线定义得出掰=xl+l,n=x1+l^m+n=xl+x1+2>4}

当斜率上不存在时，易得您+”=4.

则?《+"的最小值是4,故选D.

【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题.与焦点、准线有关

的问题一般情况下都与抛物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的

转化：（1）将抛线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转

化为到准线的距离，使问题得到解决.

1.【答案】A

【解析】抛物线的标准方程为f=4y,焦点在）'轴上，...2。=4,即p=2,.4=1,则准线方

程为y=-1.故选A.

【名师点睛】本题主要考查了抛物线的基本性质，先将其转换为标准方程，然后求出准线方程，属于基

础题.

2.【答案】C

【解析】若“根〃<0"，则丁=一一y中的一一>0,所以“抛物线如2+肛,=0的焦点在y轴正半

mm

轴上”成立，是充分条件；反之，若“抛物线蛆〃y=0的焦点在y轴正半轴上”，则/=一一y中

m

n

的一一>0,即加〃<0,则“mn<0”成立，故是充分必要条件.

m

故答案为C.

【名师点睛】（1）本题主要考查充要条件的判断和抛物线的几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水

平和分析推理能力.（2）判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和

集合法来判断.

3.【答案】C

【解析】依题意设抛物线方程为/=±2后（0>0）,则2片8,所以抛物线方程为/=8x或*="8x.故选C.

4.【答案】B

【解析】抛物线/=4x,♦•."=2,由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距

离是相等的，画|=4,即有与+5=4,.・.XM=3.

故选B.

【名师点睛】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法，抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半

径.到焦点的距离常转化为到准线的距离求解.

5.【答案】C

【解析】抛物线的准线方程为产-工，当，4〃x轴时，/，典/-/0/取得最小值，此时

2

lMQl-lQFl=/2+3/-/2卷/=1.

6.【答案】D

【解析】①若MC>=MF,即点M在直线x上，解得M,所以△。同，的周长为

3

2x-+l=4

2

②若OM=OF,设M(%,为］,所以、+=/=],解得拉（括-

2,,所以

\MF\=j5-l,所以△。成/的周长为在—1+1+1=在+1.

故选D.

【名师点睛】本题考查抛物线的性质.由题意可知，满足要求的点有两个，所以进行分类讨论.本题的关

键就是求出M的坐标，求出周长，所以只需设出M的坐标，结合各自的等量关系，求坐标，得到周长.

7.【答案】D

,1.

I177-4-—I

【解析】由题意得尸七,0）,设点A的横坐标为机，则由抛物线的定义，可得23,则机=：,

2----=-4

14

所以E4=1,EB=3,所以=41MMeosO=；.故本题选D.

8.【答案】A

【解析】设直线3的方程为产r+瓦代入）=2/得太2+工_匕=0,,、凶=一,一：.

.A1,即总的方程为LX+L

设里的中点为yo）,则JCO=）?工J：，代入y计1,得yo=?.

2414

.51.3

又jld（-->一）在/女+覆|L9・・------.••褥=一.

44442

故答案为A

【名师点睛】这是属于圆锥曲线中的中点弦问题，可以联立，由根与系数的关系得到中点坐标，代入已

知直线.还有解决中点弦问题和对称问题，可以利用点差法，由两式作差直接得中点坐标和直线斜率的关

系.

9.【答案】D

【解析】过A,6分别作抛物线准线的垂线4Q,BP,垂足分别为Q,P,设[A昨a,[BFkb,则由抛物线的定义,

得〃0/=a,/外/=&所以/&V/当上.在△ABE中，由余弦定理得〃勿=a2+/»2a6cos60°=3+&-ab,所

a+b

|"N|_2_a+b_a+b_1

以何=俄+b?-ab=2g+后一曲=2屁时-3帅=/3ab，因为a+后2、语所

W1|H7V|

：3ab八,当且仅当a=6时等号成立，故上■甘的取值范围为（0,1].故选D.

10.【答案】4

【解析】由双曲线《-A1可得a2则双曲线的右顶点为⑵0）,则4=2,所以04

42

11.【答案】10

【解析】由抛物线的定义可得网=1+与幽=9+勺依据题设可得9+言=5+当op=2,

则y：=4xl=4,£=4x9=36=%=6（舍去负值），故4+%=10,应填10.

12.【答案】述

12

【解析】由题意可设（根+，5,2）,因此,42'（机+百）=＞，=4•，/〃=乎，因此点A

1=2pm2J

到抛物线的焦点的距离是根+‘=@+走=拽.

23412

13.【答案】企

【解析】依题意得焦点厂的坐标为（2,0）,设"在抛物线的准线上的射影为K,连接加；由抛物线的定义

4

_0-1_-4,

/

知Ml=|四|,因为|掰：|硼=1：3,所以|KN\：|KM\=2媳：1,又%=an=T,k，T熬-2也

---0AM

4

4

所以一=2^/2,解得SFyfZ,

a

14.【解析】（1）因为抛物线的准线方程为“=-1,

所以与=1,得r=2.

Ju

所以抛物线的方程为y-=4x.

⑵设Mg,%),

因为点在抛物线上，且IMF]=3,

由抛物线定义知附产|=不+。=3,得痂=2.

由拉(Z外)在抛物线上，满足抛物线的方程尸=也去口兄=±2播,

所以题/的面积为;pF|闻=；xlx2jl=&.

15.【解析】(1)设/(不凶),/^(_¥2，%)，则方+%2=8-〃，

而|"P|=X|+g闪目=/+^,

.•.|*+岫=%+/+0=8.

(2)当p=2时，抛物线方程为/=4x.

①若直线极V的斜率不存在,则6(3,0).

②若直线,m的斜率存在，设4(3,t)(tW0),则由⑴知卜2一,整理得短一%2=4(%一3,

[%-=以2

•••^■^■(弘+必)=4,即七N=2,

%—%2t

直线A/N:y-.=:(x-3),

2

二6点的横坐标为3—1,

2

y-t=—(x-3),.

由丁t消去x得2)+2/—12=0,

,2=4x

由△>0得0<四12,

t2

.•.3--e(-3,3).

2

综上，点3的横坐标的取值范围为(-3,3].

【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，意在考查学生理解能力、分析判

断能力以及综合利用所学知识解决问题的能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与

圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的

问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.在得到三角形的面积的表达式后，能否利用换元的方法，

观察出其中的函数背景成了完全解决问题的关键.

22

16.【解析】⑴设/(汨，％),庾打㈤，则为=2冏，丫2=20思

...runty旧=0.

，师二娼

.\jcixir4p2.

即4田两点的横坐标之积、纵坐标之积都为定值.

⑵二资-闺⑦学尸取XE),

...当时苴线AB的方程为Xr=2p,

则直线AB的方程为y-x=-2p—•（X-%）,

y+%

2P2py\2p力及

.・・产力+y2・广力+力•茄弘二力+力•广为+y2.

又力用二一47；

2P4P2_2p

/.片万电•『为+y2~yi+y2（尸20）,

，直线48过定点（2p,0）.

17•【解析】（1）由题意设抛物线方程为f=2〃），（〃>0）,其准线方程为y=一5,

•・・点产（见5）到焦点的距离等于尸到其准线的距离，

5+—=6,p=2.

2

所以抛物线方程为，=4卜

⑵由⑴可得点拉（44）,

设直线MD的方程为。=h％-4）+4,

了=上（工-4）+4

联立<1>得——4Ax+16A:-16=0,

1，=4y

设（再J2），则・xv-jq=16A;—16,

16左一16,工，

_一%,—4A:4,j…，

4

同理，巧=一三一4,%=4（河：

4（A;-1）2-4|i+l]

所以直线DE的方程为y一小体-1?=_________Ik）（x-4上+4）

4

4/t-4+-+4

k

-2〕

=1—L2L——七——2（%一4左+4）二=1%—：—2卜—4Z+4）,

Z+一

k

化简得y=[左_：_2]x+4k_：=(x+4)+8.

，直线DE过定点(-4,8).

【名师点睛】(1)本题主要考查了抛物线的性质，考查了直线和抛物线的位置关系和直线的定点问题.

(2)定点问题：对满足一定条件曲线上两点连接所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，

证明直线过定点，一般有两种方法：

①特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点

在该直线或该曲线上(定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立).

②分离参数法：一般可以根据需要选定参数4eR,结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数

得到等式工(x,+力(x,y"+力(x,y)=0,(一般地，,[(x,y)(z=1,2,3)为关于乂V的二元一

工(x,y)=o

次关系式)由上述原理可得方程组(&(x,y)=O,从而求得该定点.

/(x,y)=o

1.【答案】D

【解析】根据题意，过点(-2,0)且斜率为g的直线方程为y=g(x+2),

2

y=-(x+2)

与抛物线方程联立得«3''，消元整理得：/_6y+8=0,解得好。,2)W(4,4),又F(LO),

y=4x

所以由=(Q2),或=(3,4),

从而可以求得丽.成=0x3+2x4=8,故选D.

【名师点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，

首先需要根据题意