第04讲 一元一次不等式（组）的实际应用（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）

第04讲一元一次不等式（组）的实际应用能够用一元一次不等式解决一些简单的实际问题熟能能够用一元一次不等式组解决实际问题知识点一：根据实际问题列出一元一次不等式；知识点二：积分、分配和行程问题积分问题分类问题行程问题，常用等量关系：路程=速度×时间知识点三：经济与方案问题1.经济问题：常见等量关系：利润=售价-成本.利润率=（售价-成本）/成本X100%.售价=成本X（1+利润率）2.方案问题【题型1：根据实际问题列一元一次不等式】【典例1】（2023春•西安月考）“x的3倍与2的差是正数”用不等式可以表示为（）A．3x﹣2＞0 B．（3+2）x＞0 C．3x﹣2≥0 D．3x+2＜0【答案】A【解答】解：根据题意得：3x﹣2＞0．故选：A．【变式1-1】（2023春•定远县校级月考）根据“x的2倍与5的和小于3”列出的不等式是（）A．2x+5≥3 B．2x+5≤3 C．2x+5＞3 D．2x+5＜3【答案】D【解答】解：根据题意可得：2x+5＜3．故选：D．【变式1-2】（2023•邯山区校级一模）语句“x的与x的差不超过3”可以表示为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：“x的与x的差不超过3”，用不等式表示为x﹣x≤3．故选：B．【变式1-3】（2023春•桐柏县校级月考）“m的2倍与8的和不大于2与m的差”用不等式表示为．【答案】2m+8≤2+m．【解答】解：由题意可列不等式为：2m+8≤2+m．故答案为：2m+8≤2+m．【题型2：积分问题】【典例2】（2022秋•洪江市期末）我校举行数学竞赛，一共有25道题，满分100分，每答对一题得4分，答错扣一分，不答记0分．（1）某同学只有一道题未作答，最后满分86分，则该生一共答对多少题？（2）若规定参赛者每题必须作答，得分大于或等于90分，才可以评为一等奖，则参赛者至少答对多少题才能获评一等奖？【答案】（1）该生一共答对了22道题；（2）参赛者至少需答对23道题才能获评一等奖．【解答】解：（1）设该生一共答对了x道题，则答错了25﹣x﹣1＝（24﹣x）道题，由题意可得：4x﹣（24﹣x）×1＝86，解得x＝22，答：该生一共答对了22道题；（2）设参赛者需答对a道题才能获评一等奖，由题意可得：4a﹣（25﹣a）≥90，解得a≥23，答：参赛者至少需答对23道题才能获评一等奖．【变式2-1】（2023春•定远县校级月考）某大学举办“学习强国”知识竞赛，规定答对一题得20分，答错一题扣10分，在8道必答题中，得分不低于100分即可进入下一轮，冉冉进入了下一轮，则冉冉答错题数最多为2道．【答案】2道．【解答】解：设冉冉答错了x道题，则答对了（8﹣x）道题，根据题意得：20（8﹣x）﹣10x≥100，解得：x≤2，∴x的最大值为2，∴冉冉答错题数最多为2道．故答案为：2道．【变式2-2】（2022春•唐河县期中）为了庆祝中国共产党的生日，增进广大师生对中国共产党发展历程的了解，加强同学们爱国爱党的意识，某校开展了题为“学党史，庆党生，铭党恩，跟党走”的知识竞赛，本次知识竞赛共25题，答对一题得10分，答错一题或不答题扣5分，设小凌同学在这次竞赛中答对了x道题．（1）根据所给的条件，补全表格：答题情况题数（题）每题得分（分）得分（分）答对x1010x答错或不答（25﹣x）﹣5﹣5（25﹣x）（2）若小凌同学的竞赛成绩不低于150分，则小凌至少要答对几道题？【答案】（1）10x，（25﹣x），﹣5，﹣5（25﹣x）；（2）小凌至少要答对19道题．【解答】解：（1）∵本次知识竞赛共25题，且小凌同学在这次竞赛中答对了x道题，∴答错或不答（25﹣x）道题；又∵答对一题得10分，答错一题或不答题扣5分，∴答对题目的得分为10x分，答错或不答题目的得分为﹣5（25﹣x）分．故答案为：10x，（25﹣x），﹣5，﹣5（25﹣x）；（2）根据题意得：10x﹣5（25﹣x）≥150，解得：x≥，又∵x为整数，∴x的最小值为19．答：小凌至少要答对19道题．【变式2-3】（2022秋•雨花区期中）为了庆祝中共二十大胜利召开，雅礼某初中举行了以“二十大知多少”为主题的知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．（1）若某参赛同学有2道题没有作答，最后他的总得分为82分，则该参赛同学一共答对了多少道题？（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于92分才可以被评为“二十大知识小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“二十大知识小达人”？【答案】（1）21道；（2）24道．【解答】解：（1）设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了（25﹣2﹣x）道题，依题意得：4x﹣（25﹣2﹣x）＝82，解得：x＝21．答：该参赛同学一共答对了21道题．（2）设参赛者需答对y道题才能被评为“二十大知识小达人”，则答错了（25﹣y）道题，依题意得：4y﹣（25﹣y）≥92，解得：y≥，又∵y为正整数，∴y的最小值为24．答：参赛者至少需答对24道题才能被评为“二十大知识小达人”．【题型3：分配问题】【典例3】（2022春•番禺区期末）把一部分书分给几名同学，如果每人分3本，则余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本（包含分不到书的情况），这些书有多少本？共有多少人？【答案】这些书有26本，共有6人．【解答】解：设共有x人，则这些书有（3x+8）本，依题意得：，解得：5＜x≤．又∵x为正整数，∴x＝6，∴3x+8＝3×6+8＝26．答：这些书有26本，共有6人．【变式3-1】（2021春•高明区校级期末）现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满．若设宿舍间数为x，则可以列得不等式组为．【答案】【解答】解：∵若每间住4人，则还有19人无宿舍住，∴学生总人数为（4x+19）人，∵一间宿舍不空也不满，∴学生总人数﹣（x﹣1）间宿舍的人数在1和5之间，∴列的不等式组为：，故答案为：．【变式3-2】（2022春•嘉定区校级期中）某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒．问该敬老院的老人至少有多少人？【答案】30人．【解答】解：设该敬老院的老人有x人，依题意，得：，解得：29＜x≤32，又∵x为正整数，∴x可以取的最小值为30．答：该敬老院的老人至少有30人．【变式3-3】（2020春•崇川区校级期中）启秀中学初一年级组计划将m本书奖励给本次期中考试取得优异成绩的n名同学，如果每人分4本，那么还剩下78本；如果每人分8本，那么最后一人分得的书不足8本，但不少于4本，最终，年级组经讨论后决定，给这n名同学每人发6本书，那么将剩余多少本书？【答案】38本．【解答】解：依题意，得：，解得：＜n≤．又∵n为正整数，∴n＝20，∴m＝4n+78＝158，∴m﹣6n＝158﹣6×20＝38．答：将剩余38本书【题型4：行程问题】【典例4】（2019春•番禺区期末）张翔上午7：30出发，从学校骑自行车去县城，路程全长20km，中途因道路施工步行一段路他步行的平均速度是5km/h．（1）若张翔骑车的平均速度是15km/h，当天上午9：00到达县城，则他骑车与步行各用多少时间？（2）若张翔必须在当天上午9：00之前赶到县城，他的步行平均速度不变，则他骑车的平均速度应在什么范围内？【答案】（1）骑车用了1.25小时，步行用了0.25小时（2）的平均速度大于15km/h【解答】解：（1）设他骑车用了x小时，步行用了y小时，依题意得：，解得，答：他骑车用了1.25小时，步行用了0.25小时，（2）设骑车的平均速度为vkm/h，依题意得：1.25v+5×0.25＞20，解得：v＞15，答：骑车的平均速度大于15km/h【变式4-1】（2020春•嘉祥县期末）某人要完成2.1千米的路程，并要在18分钟内到达，已知他每分钟走90米．若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑（）A．3分钟 B．4分钟 C．4.5分钟 D．5分钟【答案】B【解答】解：设这人跑了x分钟，则走了（18﹣x）分钟，根据题意得：210x+90（18﹣x）≥2100，解得：x≥4，答：这人完成这段路程，至少要跑4分钟．故选：B．【变式4-2】（2021春•市南区校级期中）甲、乙两地相距45km，小李要从甲地到乙地办事，若他以7km/h的速度可按时到达，现在小李走了4h后因有事停留了0.5h，为了不迟到，小李后来的速度至少是多少？【解答】解：设小李后来的速度为xkm/h，由题意得：4×7+（﹣4﹣0.5）x≥45，解得：x≥8，答：为了不迟到，小李后来的速度至少是8km/h【题型5：经济问题】【典例5】（2022秋•碑林区校级期末）新年到来之际，百货商场进行促销活动，某种商品进价1000元，出售时标价为1400元，本次打折销售要保证利润不低于5%，则最多可打（）A．六折 B．七折 C．七五折 D．八折【答案】C【解答】解：设该商品打x折销售，依题意得：1400×﹣1000≥1000×5%，解得：x≥7.5，∴该商品最多可打七五折．故选：C．【变式5-1】21.（2022•牡丹江一模）某种商品每件的进价为120元，商场按进价提高50%标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可以打_______折（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.5【答案】A【解答】解：设打x折，由题意可得：120（1+50%）×﹣120≥120×5%，解得x≥7，即至多打7折，故选：A．【变式5-2】（2022春•上蔡县期中）某种商品进价为20元，标价为30元出售，商场规定可以打折销售，但其利润率不能少于5%这种商品最多可以按几折销售？设这种商品打x折销售，则下列符合题意的不等式是（）A．30x﹣20≥20×5% B．30x﹣20≤20×5% C．30×﹣20≥20×5% D．30×﹣20≤20×5%【答案】C【解答】解：设这种商品可以按x折销售，则售价为30×，那么利润为：30×﹣20，根据题意可得：30×﹣20≥20×5%，故选：C．【典例6】（2023•大连模拟）学校为了奖励在“诗词大赛”中获奖同学，准备购买甲、乙两种奖品，已知购买1件甲奖品、4件乙奖品，共需240元；购买2件甲奖品、1件乙奖品，共需165元．（1）求每件甲奖品和每件乙奖品各多少元？（2）如果学校准备购买甲、乙两种奖品共40件，总费用不超过2140元，那么至少购买多少件乙奖品？【答案】（1）每件甲奖品的价格是60元，每件乙奖品的价格是45元；（2）至少购买18件乙奖品．【解答】解：（1）设每件甲奖品的价格是x元，每件乙奖品的价格是y元，根据题意得：，解得：．答：每件甲奖品的价格是60元，每件乙奖品的价格是45元；（2）设购买m件乙奖品，则购买（40﹣m）件甲奖品，根据题意得：60（40﹣m）+45m≤2140，解得：m≥，又∵m为正整数，∴m的最小值为18．答：至少购买18件乙奖品．【变式6-1】（2023•高新区模拟）某文具店经销甲、乙两种笔记本，每次购买同一种笔记本的单价相同，购进笔记本的具体信息如表：进货批次甲种笔记本数量（单位：本）乙种笔记本数量（单位：本）购买总费用（单位：元）第一次1520640第二次3025980（1）求甲、乙两种笔记本的购买单价；（2）若第三次计划用不超过920元购买甲、乙两种笔记本共50本，求至少购买甲种笔记本多少本？【答案】（1）甲种笔记本的购买单价为16元/本，乙种笔记本的购买单价为20元/本；（2）至少购买甲种笔记本20本．【解答】解：（1）设甲种笔记本的购买单价为x元/本，乙种笔记本的购买单价为y元/本，根据题意得：，解得：．答：甲种笔记本的购买单价为16元/本，乙种笔记本的购买单价为20元/本；（2）设购买甲种笔记本m本，则购买乙种笔记本（50﹣m）本，根据题意得：16m+20（50﹣m）≤920，解得：m≥20，∴m的最小值为20．答：至少购买甲种笔记本20本．【变式6-2】（2023•蜀山区校级模拟）某超市现有甲、乙两种商品，已知一个甲商品比一个乙商品贵20元，购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．（1）求甲、乙两种商品的单价各是多少元？（2）为吸引顾客，该超市准备对甲商品进行打折促销活动．已知甲商品的进价为49元/个，为保证打折后利润率不低于20%，至多可打几折．【答案】（1）甲种商品的单价是98元，乙种商品的单价是78元；（2）至多可打6折．【解答】解：（1）设乙种商品的单价是x元，则甲种商品的单价是（x+20）元，由题意得：10（x+20）+10x＝1760，解得：x＝78，∴x+20＝78+20＝98，答：甲种商品的单价是98元，乙种商品的单价是78元；（2）设甲商品可打a折，由题意得：98×0.1a﹣49≥49×20%，解得：a≥6，答：至多可打6折【题型6：方案问题】【典例7】（2023•林州市模拟）某初级中学为了提高教职工的身体素质，举办了“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．已知购买2副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需要350元，购买6副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需要420元．（1）购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？（2）已知该中学需要购买两种球拍共80副，羽毛球拍的数量不超过40副．现商店推出两种购买方案，方案A：购买一副羽毛球拍赠送一副乒乓球拍；方案B：按总价的八折付款．试说明选择哪种购买方案更实惠．【答案】（1）购买一副乒乓球拍需35元，一副羽毛球需70元；（2）当购买羽毛球拍的数量少于20副时，选项方案B更实惠；当当购买羽毛球拍的数量等于20副时，选项两种购买方案所需总费用相同；当购买羽毛球拍的数量大于20副且不超过40副时，选项方案A更实惠．【解答】解：（1）设购买一副乒乓球拍需x元，一副羽毛球需y元，依题意得：，解得：．答：购买一副乒乓球拍需35元，一副羽毛球需70元．（2）设购买m（0＜m≤20且m为整数）副羽毛球拍，则选择方案A所需总费用为70m+35（80﹣m）＝2800（元），选项方案B所需总费用为80%×[70m+35（80﹣m）]＝（28m+2240）（元）．当2800＞28m+2240时，m＜20，∵m＞0，∴0＜m＜20；当2800＝28m+2240时，m＝20；当2800＜28m+2240时，m＞20，∵m≤40，∴20＜m≤40．答：当购买羽毛球拍的数量少于20副时，选项方案B更实惠；当当购买羽毛球拍的数量等于20副时，选项两种购买方案所需总费用相同；当购买羽毛球拍的数量大于20副且不超过40副时，选项方案A更实惠．【变式7】（2022•长垣市一模）书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某学校准备为学生的书法课购买一批毛笔和宣纸，已知购买40支毛笔和100张宣纸需要280元；购买30支毛笔和200张宣纸需要260元．（1）求毛笔和宣纸的单价；（2）某超市给出以下两种优惠方案：方案A：购买一支毛笔，赠送一张宣纸；方案B：购买200张宣纸以上，超出的部分按原价打八折，毛笔不打折．学校准备购买毛笔50支，宣纸若干张（超过200张）．选择哪种方案更划算？请说明理由．【答案】（1）毛笔的单价为6元，宣纸的单价为0.4元；（2）当购买的宣纸数量超过200张不足450张时，选择方案A更划算；当购买的宣纸数量等于450张时，选择两方案所需费用相同；当购买的宣纸数量超过450张时，选择方案B更划算．【解答】解：（1）设毛笔的单价为x元，宣纸的单价为y元，依题意得：，解得：．答：毛笔的单价为6元，宣纸的单价为0.4元．（2）设购买宣纸m（m＞200）张．选择方案A所需费用为50×6+0.4×（m﹣50）＝0.4m+280（元）；选择方案B所需费用为50×6+0.4×200+0.4×0.8×（m﹣200）＝0.32m+316．当0.4m+280＜0.32m+316时，解得：m＜450，∴当200＜m＜450时，选择方案A更划算；当0.4m+280＝0.32m+316时，解得：m＝450，∴当m＝450时，选择方案A和方案B所需费用一样；当0.4m+280＞0.32m+316时，解得：m＞450，∴当m＞450时，选择方案B更划算．答：当购买的宣纸数量超过200张不足450张时，选择方案A更划算；当购买的宣纸数量等于450张时，选择两方案所需费用相同；当购买的宣纸数量超过450张时，选择方案B更划算．【典例8】（2023春•新城区校级月考）学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张．若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费17000元，购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费1000元．（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元；（2）若学校购买甲、乙两种办公桌共40张，甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，且总费用不超过18400元，那么有几种购买方案？【答案】（1）甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元；（2）3种方案．【解答】解：（1）设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元，由题意可得，解得，∴甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元；（2）设购买甲种办公桌m张，由题意可得，解得28≤m≤30，∵m取整数，∴m的取值为28或29或30，∴共有3种方案．【变式8-1】（2023春•长沙月考）某商店从批发商处购进甲、乙两种产品，购进5件甲产品和8件乙产品需要成本170元，购进2件甲产品和4件乙产品需要成本80元．销售时，每件甲产品售价为20元，每件乙产品售价为35元．（1）求每件甲产品和每件乙产品的成本价；（2）若商店从批发商处购进甲、乙两种产品共100件，购进时总成本不超过1300元，且全部销售完以后利润不低于1580元，请问有几种购进方案？【答案】（1）每件甲产品的成本价为10元，每件乙产品的成本价为15元；（2）有3种购进方案．【解答】解：（1）设每件甲产品的成本价为x元，每件乙产品的成本价为y元，，解之得：，答：每件甲产品的成本价为10元，每件乙产品的成本价为15元；（2）设商店从批发商处购进甲产品a件，则购进乙产品（100﹣a）件，，解之得：40≤a≤42，∵a为整数，∴a＝40，41，42，答：有3种购进方案．【变式8-2】（2022秋•长沙期中）我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗2棵，需要900元；购买A种树苗5棵，B种树苗4棵，需要700元．（1）求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？（2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于32棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过5750元，若购进这两种树苗共80棵，则有哪几种购买方案？【解答】解：（1）设购买A种树苗每棵需x元，购买B种树苗每棵需y元，根据题意得：，解得，答：购买A种树苗每棵需100元，购买B种树苗每棵需50元；（2）设购买A种树苗m棵，则购买B种树苗（80﹣m）棵，∵购进A种树苗不能少于32棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过5750元，∴，解得32≤m≤35，∵m是正整数，∴m可取32，33，34，35，∴有4种购买方案：①购买A种树苗32棵，购买B种树苗48棵，②购买A种树苗33棵，购买B种树苗47棵，③购买A种树苗34棵，购买B种树苗46棵，④购买A种树苗35棵，购买B种树苗45棵．1．（2021•攀枝花）某学校准备购进单价分别为5元和7元的A、B两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的3倍，不少于B种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解答】解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为（50﹣x）本，由题意得：，解得：33≤x≤37，∵x为正整数，∴x的取值为34，、35、36、37，则不同的购买方案种数为4种，故选：D．2．（2021•台湾）美美和小仪到超市购物，且超市正在举办摸彩活动，单次消费金额每满100元可以拿到1张摸彩券．已知美美一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；小仪一次购买5盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券．若每盒饼干的售价为x元，每个蛋糕的售价为150元，则x的范围为下列何者？（）A．50≤x＜60 B．60≤x＜70 C．70≤x＜80 D．80≤x＜90【答案】B【解答】解：美美拿到3张彩券说明消费金额达到了300元，但是不足400元，小仪拿到了4张彩券说明消费金额达到了400元，但是不足500元，由此可得，，解得，60≤x＜70，故选：B．3．（2023•怀化）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．（1）求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？（2）若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？（3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？【答案】（1）原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人；（2）该学校共有3种租车方案，方案1：租用5辆B种客车，20辆A种客车；方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车；方案3：租用7辆B种客车，18辆A种客车；（3）租用5辆B种客车，20辆A种客车最合算．【解答】解：（1）设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了（45x+30）人，根据题意得：45x+30＝60（x﹣6），解得：x＝26，∴45x+30＝45×26+30＝1200．答：原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人；（2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车（25﹣y）辆，根据题意得：，解得：5≤y≤7，又∵y为正整数，∴y可以为5，6，7，∴该学校共有3种租车方案，方案1：租用5辆B种客车，20辆A种客车；方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车；方案3：租用7辆B种客车，18辆A种客车；（3）选择方案1的总租金为300×5+220×20＝5900（元）；选择方案2的总租金为300×6+220×19＝5980（元）；选择方案3的总租金为300×7+220×18＝6060（元）．∵5900＜5980＜6060，∴租用5辆B种客车，20辆A种客车最合算．4．（2022•内江）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：甲型客车乙型客车载客量（人/辆）3530租金（元/辆）400320学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．（1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？（3）学校租车总费用最少是多少元？【答案】（1）参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；（2）一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；（3）学校租车总费用最少是2800元．【解答】解：（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）人，根据题意得：30x+7＝31x﹣1，解得x＝8，∴30x+7＝30×8+7＝247，答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；（2）师生总数为247+8＝255（人），∵每位老师负责一辆车的组织工作，∴一共租8辆车，设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，根据题意得：，解得3≤m≤5.5，∵m为整数，∴m可取3、4、5，∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；（3）∵7×35＝245＜255，8×35＝280＞255，∴租车总费用最少时，至少租8辆车，设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，由（2）知：3≤m≤5.5，设学校租车总费用是w元，w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，∵80＞0，∴w随m的增大而增大，∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），答：学校租车总费用最少是2800元．5．（2022•遂宁）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？【答案】（1）篮球的单价为120元，足球的单价为90元；（2）方案一：采购篮球30个，采购足球20个；方案二：采购篮球31个，采购足球19个；方案三：采购篮球32个，采购足球18个；方案四：采购篮球33个，采购足球17个．【解答】解：（1）设篮球的单价为a元，足球的单价为b元，由题意可得：，解得，答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；（2）设采购篮球x个，则采购足球为（50﹣x）个，∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，∴，解得30≤x≤33，∵x为整数，∴x的值可为30，31，32，33，∴共有四种购买方案，方案一：采购篮球30个，采购足球20个；方案二：采购篮球31个，采购足球19个；方案三：采购篮球32个，采购足球18个；方案四：采购篮球33个，采购足球17个．1．（2023•滨江区一模）如图，用40m长的篱笆围成一边靠墙（墙足够长）的矩形ABCD菜园，若6m≤AB≤10m，则BC的取值范围为20m≤BC≤28m．【答案】20m≤BC≤28m．【解答】解：根据题意可得：2AB+BC＝40m，∴，∵6m≤AB≤10m，∴，解得：20m≤BC≤28m，∴BC的取值范围为：20m≤BC≤28m，故答案为：20m≤BC≤28m．2．（2023春•河西区期末）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，那么这些书共有26本．【答案】见试题解答内容【解答】解：设共有x名学生，则图书共有（3x+8）本，由题意得：，解得：5＜x≤6.5，∵x为非负整数，∴x＝6．∴这些书共有：3×6+8＝26（本）．故答案为：26．3．（2023春•正阳县期末）在我市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元．（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，该校有几种购买方案？（3）上面的哪种方案费用最低？按费用最低方案购买需要多少钱？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据题意得：解得：，答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元．（2）设需购进电脑a台，则购进电子白板（30﹣a）台，则，解得：15≤a≤17，即a＝15、16、17．故共有三种方案：方案一：购进电脑15台，电子白板15台；方案二：购进电脑16台，电子白板14台；方案三：购进电脑17台，电子白板13台．（3）方案一：总费用为15×0.5+1.5×15＝30（万元）；方案二：总费用为16×0.5+1.5×14＝29（万元），方案三：17×0.5+1.5×13＝28（万元），∵28＜29＜30，∴选择方案三最省钱，即购买电脑17台，电子白板13台最省钱．需要28万元．4．（2023•安化县二模）某礼品店准备购进A，B两种纪念品，每个A种纪念品比每个B种纪念品的进价少20元，购买9个A种纪念品所需的费用和购买7个B种纪念品所需的费用一样，请解答下列问题：（1）A，B两种纪念品每个进价各是多少元？（2）若该礼品店购进B种纪念品的个数比购进A种纪念品的个数的2倍还多5个，且A种纪念品不少于18个，购进A，B两种纪念品的总费用不超过5450元，则该礼品店有哪几种进货方案？【答案】（1）A种纪念品每个的进价是70元，B种纪念品每个的进价是90元；（2）该礼品店共有3种进货方案，方案1：购进A种纪念品18个，B种纪念品41个；方案2：购进A种纪念品19个，B种纪念品43个；方案3：购进A种纪念品20个，B种纪念品45个．【解答】解：（1）设A种纪念品每个的进价是x元，B种纪念品每个的进价是y元，依题意得：，解得：．答：A种纪念品每个的进价是70元，B种纪念品每个的进价是90元．（2）设购进A种纪念品m个，则购进B种纪念品（2m+5）个，依题意得：，解得：18≤m≤20．又∵m为正整数，∴m可以为18，19，20，∴该礼品店共有3种进货方案，方案1：购进A种纪念品18个，B种纪念品41个；方案2：购进A种纪念品19个，B种纪念品43个；方案3：购进A种纪念品20个，B种纪念品45个．5．（2023春•临高县期末）接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段．北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒．（1）求每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输多少盒疫苗．（2）计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗，A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500盒，且总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输x盒疫苗、y盒疫苗，由题意可得，，解得，答：每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输150盒疫苗、100盒疫苗；（2）设A型车a辆，则B型车（12﹣a）辆，由题意可得，，解得6≤a＜9，∵a为正整数，∴a＝6，7，8，∴共有三种运输方案，方案一：A型车6辆，B型车6辆，方案二：A型车7辆，B型车5辆，方案三：A型车8辆，B型车4辆，∵A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元，计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗，∴A型车辆数越少，费用越低，∴方案一所需费用最少，此时的费用为5000×6+3000×6＝48000（元），答：方案一：A型车6辆，B型车6辆，方案二：A型车7辆，B型车5辆，方案三：A型车8辆，B型车4辆，其中方案一所需费用最少，最少费用是48000元．6．（2023春•红安县期末）某市教育局对某镇实施“教育精准扶贫”，为某镇建了中、小两种图书馆．若建立3个中型图书馆和5个小型图书馆需要30万元，建立2个中型图书馆和3个小型图书馆需要19万元．（1）建立一个中型图书馆和一个小型图书馆各需要多少万元？（2）现要建立中型图书馆和小型图书馆共10个，小型图书馆的数量不多于中型图书馆的数量，且总费用不超过45万元，请问有几种方案？哪种方案所需费用最少？【答案】（1）建立一个中型图书馆需要5万元，一个小型图书馆需要3万元；（2）有3种建立方案，方案1所需费用最少．【解答】解：（1）设建立一个中型图书馆需要x万元，一个小型图书馆需要y万元，依题意得：，解得：．答：建立一个中型图书馆需要5万元，一个小型图书馆需要3万元．（2）设建立m个中型图书馆，则建立（10﹣m）个小型图书馆，依题意得：，解得：5≤m≤．又∵m为整数，∴m可以取5，6，7，∴共有3种建立方案，方案1：建立5个中型图书馆，5个小型图书馆，该方案所需费用为5×5+3×5＝40（万元）；方案2：建立6个中型图书馆，4个小型图书馆，该方案所需费用为5×6+3×4＝42（万元）；方案3：建立7个中型图书馆，3个小型图书馆，该方案所需费用为5×7+3×3＝44（万元）．∵40＜42＜44，∴有3种建立方案，方案1所需费用最少．7．（2023春•东湖区校级期末）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元．（1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？（2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？【答案】（1）每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元；（2）有5种购买方案；8440元．【解答】解：（1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是（x﹣40）元，由题意可得5x+10（x﹣40）＝1100，解得x＝100，x﹣40＝60．答：每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元；（2）设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”（120﹣m）套，由题意可得：，解得85≤m＜90，又∵m为正整数，∴m可以取85，86，87，88，89；∴共有5种购买方案，方案1：购进35套甲型号“文房四宝”，85套乙型号“文房四宝”；方案2：购进34套甲型号“文房四宝”，86套乙型号“文房四宝”；方案3：购进33套甲型号“文房四宝”，87套乙型号“文房四宝”；方案4：购进32套甲型号“文房四宝”，88套乙型号“文房四宝”；方案5：购进31套甲型号“文房四宝”，89套乙型号“文房四宝”；∵每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，∴甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低，∴最低费用是31×100+60×89＝8440（元）．8．（2023春•广阳区期末）学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张．若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费17000元，购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费1000元．（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元；（2）若学校购买甲、乙两种办公桌共40张，甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，且总费用不超过18400元，那么有几种购买方案？【答案】（1）甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元；（2）3种方案．【解答】解：（1）设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元，由题意可得，解得，∴甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元；（2）设购买甲种办公桌m张，由题意可得，解得28≤m≤30，∵m取整数，∴m的取值为28或29或30，∴共有3种方案．9．（2023春•泾阳县期中）某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示：月用水量不超过12吨的部分超过12吨不超过18吨的部分超过18吨的部分收费标准（元/吨）2.002.503.00（1）某户5月份交水费45元，则该用户5月份的用水量是多少？（2）要使月所缴水费控制在20元至30元之间，则该户的月用水量应该控制在什么范围内？【答案】见试题解答内容【解答】（1）设该用户5月份的用水量为x吨，根据题意得：12×2+6×2.5+3（x﹣18）＝45，解得x＝20，答：该用户5月份的用水量为20吨．（2）设该用户月用水量为x吨，若x＞18时，12×2+2.5×6＝39＞30（元），所以只能x＜18．若x＜12，则由2x＝20，得x＝10；若12＜x＜18，则由24+2.5（x﹣12）＜30，得x＜14.4，所以10＜x＜14.4，答：该户的月用水量应该控制在10吨到14.4吨之间．10．（2023•浠水县一模）某超市计划同时购进一批甲、乙两种商品，若购进甲商品10件和乙商品8件，共需要资金880元；若购进甲商品2件和乙商品5件，共需要资金380元．（1）求甲、