湖南省郴州市资兴市黄草中学高三数学理期末试卷含解析

湖南省郴州市资兴市黄草中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）函数f（x）=x+sinx（x∈R）（）A．是偶函数且为减函数B．是偶函数且为增函数C．是奇函数且为减函数D．是奇函数且为增函数参考答案：D【考点】：利用导数研究函数的单调性．【专题】：函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】：根据函数奇偶性的定义，以及导数和函数单调性的关系即可得到结论．解：∵f（x）=x+sinx，∴f（﹣x）=﹣x﹣sinx=﹣f（x），则函数f（x）是奇函数．函数的导数f′（x）=1+cosx≥0，则函数f（x）单调递增，为增函数．故选：D．【点评】：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用导数和单调性之间的关系是解决本题的关键．2.已知函数若三个正实数互不相等，且满足，则的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】函数与方程B9【答案解析】B

作出函数f（x）的图象如图，

不妨设x1＜x2＜x3，则-lgx1=lgx2=-x3+6∈（0，1）

∴x1x2=1，0＜-x3+6＜1则x1x2x3=x3∈（10，12）．故选：B【思路点拨】画出函数的图象，根据f（x1）=f（x2）=f（x3），不妨不妨设x1＜x2＜x3，求出x1x2x3的范围即可．3.对于非0向量，“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A考点： 向量的共线定理；充要条件．

专题： 常规题型．分析： 利用向量垂直的充要条件，得到由前者推出后者；通过举反例得到后者推不出前者；利用充要条件的定义得到选项．解答： 解：∵??反之，推不出，例如满足两个向量平行但得到所以是的充分不必要条件故选A点评： 本题考查向量共线的充要条件、考查说明一个命题不成立只要举一个反例即可、考查条件判断条件的方法．4.在中，，则

的值是

（

）

参考答案：B略5.函数y=（2x﹣1）ex的图象是（）A． B． C． D．参考答案：A考点： 函数的图象．

专题： 函数的性质及应用．分析： 先通过函数的零点排除C，D，再根据x的变化趋势和y的关系排除B，问题得以解决．解答： 解：令y=（2x﹣1）ex=0，解得x=，函数有唯一的零点，故排除C，D，当x→﹣∞时，ex→0，所以y→0，故排除B，故选：A．点评： 本小题主要考查函数的性质对函数图象的影响，并通过对函数的性质来判断函数的图象等问题．6.在△ABC中，AC=7，∠B=,△ABC的面积S=，则AB=A、5或3

B、5

C、3

D、5或6参考答案：A略7.设集合A={x|x2–4x+3＜0}，B={x|2x–3＞0}，则A∩B=（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D试题分析：因为A={x|x2–4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2x–3＞0}={x|x＞}，所以A∩B={x|1＜x＜3}∩{x|x＞}={x|＜x＜3}.8..若实数x，y满足约束条件，则的最大值为（

）A.-4 B.0 C.4 D.8参考答案：D分析：由已知线性约束条件，作出可行域，利用目标函数的几何意义，采用数形结合求出目标函数的最大值。详解：作出不等式组所对应的平面区域（阴影部分），令，则，表示经过原点的直线，由有，当此直线的纵截距有最大值时，有最大值，由图知，当直线经过A点时，纵截距有最大值，由有，即，此时，选D.点睛：本题主要考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题方法，属于中档题。9.设为非零向量，则以下说法不正确的是（

）A．“”是“”的充分不必要条件B．“”是“”的必要不充分条件C．“”是“存在，使得”的充分不必要条件D．“”是“”的既不充分也不必要条件参考答案：B10.复数（其中为虚数单位）的值是

（

）

A．1-i

B．1+i

C．-1-i

D．-1-+i

参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量，，，且，则实数m=．参考答案：﹣3【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】先求出，再由，能求出m．【解答】解：∵向量，，∴，∵，且，∴，解得，解得m=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．12.已知是双曲线-的左焦点，是双曲线的虚轴，是的中点，过的直线交双曲线于点，且，则双曲线的离心率是

．参考答案：13.方程在区间内的解是

．参考答案：14.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，则直线和曲线的公共点有_______个.参考答案：【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程.N3

【答案解析】

解析：直线的普通方程为，圆的普通方程为，圆心到直线的距离为，所以直线和曲线相切，公共点只有个.故答案为1.【思路点拨】把参数方程极坐标方程分别化成普通方程，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离与半径的关系即可得出。15.函数f（x）＝的定义域为＿＿＿＿（用区间表示）参考答案：16.圆与双曲线的渐近线相切，则的值是_______.参考答案：双曲线的渐近线为，不妨取，若直线与圆相切，则有圆心到直线的距离，即，所以。17.若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是

.参考答案：-2<a<2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}满足an=2an﹣1+1（n≥2）且a1=1，bn=log2（a2n+1+1），．求证：（Ⅰ）数列{an+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）数列{cn}的前n项和．参考答案：证明：（Ⅰ）由，知，

所以是以为首项，2为公比的等比数列，

故而，即，所以．

……（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

，

所以．

……………（12分）

略19.已知A为圆上一点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点P满足（I）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）设Q为直线上一点，O为坐标原点，且，求面积的最小值.参考答案：（Ⅰ）设，由题意得：，由，可得点是的中点，故，所以，又因为点在圆上，所以得，故动点的轨迹方程为.（Ⅱ）设，则，且，当时，，此时；当时，因为,即故，，，①，代入①

设因为恒成立，在上是减函数，当时有最小值，即,综上：的最小值为20.（本题13分）已知函数f(x)＝x2＋ax＋3，g(x)＝(6＋a)·2x－1.(1)若f(1)＝f(3)，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，判断函数F(x)＝的单调性，并给出证明；(3)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a(a(－4,4))恒成立，求实数a的最小值．参考答案：(1)∵f(1)＝f(3)，∴函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝2，即－＝2，故a＝－4.(2)由(1)知，g(x)＝(6－4)·2x－1＝2x，根据指数函数性质及x1<x2，得2x1－2x2<0，由上式得Δy<0，所以F(x)在R上是减函数．(3)f(x)＝x2＋ax＋3＝(x＋)2＋3－，x∈[－2,2]，又a(－4,4)，故－(－2,2)．①当－≥2，即a≤－4时，f(x)在[－2,2]上单调递减，f(x)min＝f(2)＝7＋2a，故7＋2a≥a，即a≥－7.所以－7≤a≤－4.②当－≤－2，即a≥4时，f(x)在[－2,2]上单调递增，f(x)min＝f(－2)＝7－2a，故7－2a≥a，即a≤，这与a≥4矛盾，故此情形不存在．因此，实数a的最小值为－7.21.（本小题满分13分）已知函数f（x）=lnx+cosx－（）x的导数为（x），且数列{an}满足。

（1）若数列{an}是等差数列，求a1的值：

（2）若对任意n∈N'*，都有an+2n2≥0成立，求a1的取值范围．参考答案：22.已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为2，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，A，B分别为椭圆的左，右顶点，设点P在第一象限，且轴，连接PA交椭圆于点C，直线PA的斜率为k.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若三角形ABC的面积等于四边形OBPC的面积，求k的值；（Ⅲ）设点N为AC的中点，射线NO（O为原点）与椭圆交于点M，满足，求的值.参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【分析】（I）根据抛物线的准线求得，根据短轴长求得，由此求得，进而求得椭圆方程.（II）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，求得点的坐标，令求得点坐标.利用三角形的面积公式计算出和的面积，根据题目已知条件，这两个三角形的面积相等，由此列方程，解方程求得的值.（III）根据（II）求得点坐标，由此求得的斜率，设所在直线方程为，代入椭圆方程，求得点坐