人教版八年级上册压轴题数学综合检测试卷含答案

人教版八年级上册压轴题数学综合检测试卷含答案1．如图，是等边三角形，点分别是射线、射线上的动点，点D从点A出发沿着射线移动，点E从点B出发沿着射线移动，点同时出发并且移动速度相同，连接．(1)如图①，当点D移动到线段的中点时，与的长度关系是：_______．(2)如图②，当点D在线段上移动但不是中点时，探究与之间的数量关系，并证明你的结论．(3)如图③，当点D移动到线段的延长线上，并且时，求的度数．2．已知，A(0，a)，B(b，0)，点为x轴正半轴上一个动点，AC＝CD，∠ACD＝90°．（1）已知a，b满足等式｜a+b｜+b2+4b＝－4．①求A点和B点的坐标；②如图1，连BD交y轴于点H，求点H的坐标；（2）如图2，已知a+b=0，OC＞OB，作点B关于y轴的对称点E，连DE，点F为DE的中点，连OF和CF，请补全图形，探究OF与CF有什么数量和位置关系，并证明你的结论．3．在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=________度；（2）设，．①如图2，当点在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．4．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，以AB为边作等腰直角三角形ABC，使，点C在第一象限．(1)若点A(a，0)，B(0，b)，且a、b满足，则______，_____，点C的坐标为_________；(2)如图2，过点C作轴于点D，BE平分，交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点G，求证：CG垂直平分EF；(3)试探究（2）中OD，OE与DF之间的关系，并说明理由．5．已知，．（1）若，作，点在内．①如图1，延长交于点，若，，则的度数为；②如图2，垂直平分，点在上，，求的值；（2）如图3，若，点在边上，，点在边上，连接，，，求的度数．6．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且|a+4|+b2﹣86+16＝0．（1）求a，b的值；（2）如图1，c为y轴负半轴上一点，连CA，过点C作CD⊥CA，使CD＝CA，连BD．求证：∠CBD＝45°；（3）如图2，若有一等腰Rt△BMN，∠BMN＝90°，连AN，取AN中点P，连PM、PO．试探究PM和PO的关系．7．如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A（a，0）、B(0，b)两点．(1)若＋b2－10b＋25＝0，判断△AOB的形状，并说明理由；(2)如图②，在（1）的条件下，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=4，MN=7，求BN的长；(3)如图③，若即点A不变，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为直角边在第一、第二象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，问当点B在y轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值；若不是，请求其取值范围．8．如图1，A（﹣2，6），C（6，2），AB⊥y轴于点B，CD⊥x轴于点D．（1）求证：△AOB≌△COD；（2）如图2，连接AC，BD交于点P，求证：点P为AC中点；（3）如图3，点E为第一象限内一点，点F为y轴正半轴上一点，连接AF，EF．EF⊥CE且EF＝CE，点G为AF中点．连接EG，EO，求证：∠OEG＝45°．【参考答案】2．(1)(2)，证明见详解(3)【分析】（1）由题意可知，所以，由等边三角形及中点可知，而，所以可证，进一步可证；（2）猜测，在射线AB上截取，如图（见详解），利用等边三角形的性质及可解析：(1)(2)，证明见详解(3)【分析】（1）由题意可知，所以，由等边三角形及中点可知，而，所以可证，进一步可证；（2）猜测，在射线AB上截取，如图（见详解），利用等边三角形的性质及可知为等边三角形，再利用边角边即可证明，最后根据全等三角形的性质即可证明；（3）按照第（2）问的思路，作出类似的辅助线：在射线CB上截取，如图（见详解），用同样的方法证明，再根据ED⊥DC，证出为等腰直角三角形，即可求出∠DEC的度数．（1）解：，证明过程如下：由题意可知，∵D为AB的中点，∴，∴，∴．∵为等边三角形，，∴．∵，∴，∴，∴．（2）解：，理由如下：在射线AB上截取，连接EF，如图所示，∵为等边三角形，∴，．∵，，∴为等边三角形，∴，．由题意知，∴，∴．即．∵，∴．在和中，，∴，∴DE与DC之间的数量关系是．（3）如图，在射线CB上截取，连接DF，如图所示，∵为等边三角形，∴，．∵，，∴为等边三角形，∴，，∴．由题意知，∵，∴，即．∵，∴．在和中，，∴，∴．∵ED⊥DC，∴为等腰直角三角形，∴．【点睛】本题主要考查了等腰三角形，等边三角形，以及全等三角形的判定及性质，能够作出辅助线，并合理利用等边三角形的性质是解题的关键．3．（1）①A（0，2），B（-2，0）；②H（0，-2）；（2）CF⊥OF，CF=OF，证明见解析．【分析】（1）①利用绝对值、完全平方的非负性的应用，求出a、b的值，即可得到答案；②过C作y解析：（1）①A（0，2），B（-2，0）；②H（0，-2）；（2）CF⊥OF，CF=OF，证明见解析．【分析】（1）①利用绝对值、完全平方的非负性的应用，求出a、b的值，即可得到答案；②过C作y轴垂线交BA的延长线于E，然后证明△CEA≌△CBD，得到OB=OH，即可得到答案；（2）由题意，先证明△DFG≌△EFO，然后证明△DCG≌△ACO，得到△OCG是等腰直角三角形，再根据三线合一定理，即可得到结论成立．【详解】解：（1）∵，∴，∴，∴，，∴，∴，∴A（0，2），B（2，0）；②过C作x轴垂线交BA的延长线于E，∵OA=OB=2，∠AOB=90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABO=45°，∵EC⊥BC，∴△BCE是等腰直角三角形，∴BC=EC，∠BCE=90°=∠ACD，∴∠ACE=∠DCB，∵AC=DC，∴△CEA≌△CBD，∴∠CBD=∠E=45°，∴OH=OB=2，∴H（0，2）；（2）补全图形，如图：∵点B、E关于y轴对称，∴OB=OE，∵a+b=0，即∴OA=OB=OE延长OF至G使FG=OF，连DG，CG，∵OF=FG，∠OFE=∠DFG，EF=DF∴△DFG≌△EFO∴DG=OE=OA，∠DGF=∠EOF∴DG∥OE∴∠CDG=∠DCO；∵∠ACO+∠CAO=∠ACO+∠DCO=90°，∴∠DCO=∠CAO；∴∠CDG=∠DCO=∠CAO；∵CD=AC，OA=DG∴△DCG≌△ACO∴OC=GC，∠DCG=∠ACO∴∠OCG=90°，∴∠COF=45°，∴△OCG是等腰直角三角形，由三线合一定理得CF⊥OF∵∠OCF=∠COF=45°，∴CF=OF；【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，非负性的应用，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线进行解题．4．（1）90；（2）①，理由见解析；②当点D在射线BC．上时，a+β=180°，当点D在射线BC的反向延长线上时，a=β．【分析】（1）可以证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，证明∠ACB解析：（1）90；（2）①，理由见解析；②当点D在射线BC．上时，a+β=180°，当点D在射线BC的反向延长线上时，a=β．【分析】（1）可以证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，证明∠ACB＝45°，即可解决问题；（2）①证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，β＝∠B＋∠ACB，即可解决问题；②证明△BAD≌△CAE，得到∠ABD＝∠ACE，借助三角形外角性质即可解决问题．【详解】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴∠ABC=∠ACE=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，故答案为：；（2）①．理由：∵，∴．即．又，∴．∴．∴．∴．∵，∴．②如图：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°，即：∠BCE+∠BAC=180°，∴α+β=180°，如图：当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE，∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180°，∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB，∴∠BAC=∠BCE．∴α=β；综上所述：点D在直线BC上移动，α+β=180°或α=β．【点睛】该题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点．5．(1)，；C(8，4)；(2)证明见解析；(3)，理由见解析．【分析】（1）利用绝对值的非负性求出a，b的值，作轴交于点D，证明，进一步可求出点C坐标；（2）利用已知证明，，再证解析：(1)，；C(8，4)；(2)证明见解析；(3)，理由见解析．【分析】（1）利用绝对值的非负性求出a，b的值，作轴交于点D，证明，进一步可求出点C坐标；（2）利用已知证明，，再证明，得到，，利用平行性质得到，进一步得，再利用HL定理证明，可得，即可证明CG垂直平分EF；（3）证明得到，，又由（2）可知，进一步可得．(1)解：∵，即：，∴，，作轴交于点D，∵，，∴，在和中，∴，∴，，∴，即．(2)证明：∵，BE平分，∴，，在和中，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，在和中，∴，∴，即CG垂直平分EF．(3)解：，理由如下：∵，，∴，在和中，∴，∴，，∵，∴，又由（2）可知，∴，即．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，绝对值非负性，垂直平分线的判定，平行线的性质，坐标与图形．本题综合性较强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．6．（1）①15°；②；（2）【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质，连接，得，，所对的直角边是斜边的一半，可得，所以可得，，，和是等腰三角形，由外角性质计算可得；②构造“一线三垂直”模型，证解析：（1）①15°；②；（2）【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质，连接，得，，所对的直角边是斜边的一半，可得，所以可得，，，和是等腰三角形，由外角性质计算可得；②构造“一线三垂直”模型，证明三角形，利用面积比等于等高的三角形的底边的比，结合已知条件即可解得．（2）构造等边，通过证明，等边代换，得出等腰三角形，代入角度计算即得．【详解】（1）①连接ＡＥ，在，因为，，，，，，，，，，，，，，故答案为：．②过Ｃ作交ＤＦ延长线于Ｇ，连接ＡＥＡＤ垂直平分ＢＥ，，，，，故答案为：；（2）以AB向下构造等边，连接DK，延长AD，BK交于点T，，，，，，，等边中，，，，，在和中，，等边三角形三线合一可知，BD是边AK的垂直平分线，，，，，故答案为：．【点睛】考查了等腰直角三角形的性质，外角的性质，等腰三角形的判定和性质，构造等边三角形的方法证明全等，全等三角形的性质应用很关键，熟记几何图形的性质和判定是解决图形问题的重要方法依据．7．（1）a＝﹣4，b＝4；（2）见解析；（3）MP＝OP，MP⊥OP，理由见解析【分析】（1）先利用完全平方公式将a和b的式子化成绝对值与平方数之和的形式，再利用绝对值的非负数和平方数的非负性即可解析：（1）a＝﹣4，b＝4；（2）见解析；（3）MP＝OP，MP⊥OP，理由见解析【分析】（1）先利用完全平方公式将a和b的式子化成绝对值与平方数之和的形式，再利用绝对值的非负数和平方数的非负性即可；（2）如图1（见解析），作于E．易证，由三角形全等的性质得，再证明是等腰直角三角形即可；（3）如图2（见解析），延长MP至Q，使得，连接AQ，OQ，OM，延长MN交AO于C．证出和，再利用全等三角形的性质证明是等腰直角三角形即可.【详解】（1）由绝对值的非负性和平方数的非负性得：解得：；（2）如图1，作于E是等腰直角三角形，；（3）如图2，延长MP至Q，使得，连接AQ，OQ，OM，延长MN交AO于C∴∵在四边形MCOB中，是等腰直角三角形∴是等腰直角三角形.【点睛】本题考查了绝对值的非负数和平方数的非负性、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握这些定理与性质是解题关键.8．(1)△AOB为等腰直角三角形；理由见解析(2)BN=3(3)PB的长为定值；【分析】（1）根据题意求出a、b的值，即可得出A与B坐标，根据OA＝OB，即可确定△AOB的形状；（2）解析：(1)△AOB为等腰直角三角形；理由见解析(2)BN=3(3)PB的长为定值；【分析】（1）根据题意求出a、b的值，即可得出A与B坐标，根据OA＝OB，即可确定△AOB的形状；（2）由OA＝OB，利用AAS得到△AMO≌△ONB，用对应线段相等求长度；（3）如图，作EK⊥y轴于K点，利用AAS得到△AOB≌△BKE，利用全等三角形对应边相等得到OA＝BK，EK＝OB，再利用AAS得到△PBF≌△PKE，寻找相等线段，并进行转化，求PB的长．(1)解：结论：△OAB是等腰直角三角形；理由如下：∵＋b2－10b＋25＝0，即，∴，解得：，∴A（−5，0），B（0，5），∴OA＝OB＝5，∴△AOB是等腰直角三角形．(2)解：∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，∴，，∴，∴，∵在△AMO与△ONB中，∴△AMO≌△ONB（AAS），∴AM＝ON＝4，BN＝OM，∵MN＝7，∴OM＝3，∴BN＝OM＝3．(3)解：结论：PB的长为定值．理由如下，作EK⊥y轴于K点，如图