湖南省永州市冷水滩第二中学高三数学理上学期期末试卷含解析

湖南省永州市冷水滩第二中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2bsinA，b2＋c2－a2＝bc，则三角形ABC的形状为（）A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、等边三角形参考答案：C略2.“”是“函数在上单调增函数”的

(

)．

充分非必要条件.

必要非充分条件.充要条件.

既非充分也非必要条件.参考答案：A3.函数的零点有(

)

A．0个

B．1个

C.2个

D．3个参考答案：B略4.设函数f（x）=，若对任意给定的m∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=2a2m2+am，则正实数a的取值范围是（）A． B．（，+∞） C．[2，+∞） D．（2，+∞）参考答案：A【考点】分段函数的应用．【分析】作出函数f（x）的图象，结合f（x）的值域范围或者图象，易知只有在f（x）的自变量与因变量存在一一对应的关系时，即只有当f（x）＞1时，才会存在一一对应．然后利用一元二次不等式的性质即可得到结论．【解答】解：根据f（x）的函数，我们易得出其值域为：R，又∵f（x）=2x，（x≤0）时，值域为（0，1]；f（x）=log2x，（x＞0）时，其值域为R，∴可以看出f（x）的值域为（0，1]上有两个解，要想f（f（x））=ma+2m2a2，在a∈（1，+∞）上只有唯一的x∈R满足，必有f（f（x））＞1（因为ma+2m2a2＞0），所以：f（x）＞2，即log2x＞2，解得：x＞4，当x＞4时，x与f（f（x））存在一一对应的关系，∴ma+2m2a2＞1，a∈（1，+∞），且m＞0，把m当作主变量，则不等式等价为2m2a2+ma﹣1＞0，即（ma+1）（2ma﹣1）＞0，∵ma+1＞0，∴不等式等价为2ma﹣1＞0，即m＞，∵a＞1，∴＜，则m≥，故正实数m的取值范围是[，+∞）．故选：A5.已知函数满足对恒成立，则

A.函数一定是偶函数 B.函数一定是偶函数C.函数一定是奇函数 D.函数一定是奇函数参考答案：A略6.各项都是正数的等比数列中，且、、成等差数列，则的值为

（

）A．

B．

C．

D．或参考答案：C7.在数列中，则 A． B． C． D．参考答案：B略8.已知函数f（x）=（x2+x﹣1）ex，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y=3ex﹣2e B．y=3ex﹣4e C．y=4ex﹣5e D．y=4ex﹣3e参考答案：D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．【解答】解：函数f（x）=（x2+x﹣1）ex，可得：f′（x）=（x2+3x）ex，则f′（1）=4e，f（1）=e；曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y=4ex﹣3e．故选：D．9.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+ B．2+2 C．4+D．5参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是侧棱垂直于底面的三棱锥，画出图形，结合图形求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的三棱锥，且侧棱PC⊥底面ABC；所以，S△ABC=×2×2=2，S△PAC=S△PBC=×1=，S△PAB=×2=；所以，该三棱锥的表面积为S=2+2×+=2+2．故选B．

【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题时应根据三视图画出几何图形，求出各个面的面积和，是基础题10.已知偶函数在区间单调递增，则满足＜的x取值范围是

(

)A．（，）

B．（，）

C．（，）

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.向量在单位正方形网格中的位置如图所示，则＝_____________.参考答案：3略12.曲线y=x3+1在点（﹣1，0）处的切线方程为

．参考答案：3x﹣y+3=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】求出函数的导函数，进一步求出f′（﹣1），则切线斜率可求，由点斜式写出切线方程．【解答】解：由y=x3+1，得y′=3x2，所以f′（﹣1）=3×（﹣1）2=3，所以，曲线y=x3+1在点（﹣1，0）处的切线方程为y﹣0=3（x+1），即3x﹣y+3=0．故答案为：3x﹣y+3=0．【点评】本题考查利用导数求曲线上在某点的切线方程的斜率，求解该题时需要区分的是，求曲线在某点处的切线方程还是求过某点的切线方程，在某点处说明该点是切点，过某点说明该点不一定是切点，此题是中档题．13.设抛物线的焦点为，直线过与交于两点，若，则的方程为

．参考答案：14.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，给出下列命题：①当时，；

②函数有2个零点；③的解集为；

④，都有．其中所有正确的命题序号是

．参考答案：③④15.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m），则该几何体的体积为__________m3．参考答案：4略16.已知复数为纯虚数，则为

．

A．0

B．

C．

D．参考答案：【知识点】复数的基本概念与运算.

L4

【答案解析】

解析：因为复数为纯虚数，所以，所以，故答案为.【思路点拨】根据复数是纯虚数的条件的结论.17.给出下列三个命题：①若直线l过抛物线y=2x2的焦点，且与这条抛物线交于A，B两点，则|AB|的最小值为2；②双曲线的离心率为；③若，则这两圆恰有2条公切线；④若直线l1：a2x﹣y+6=0与直线l2：4x﹣（a﹣3）+9﹣0互相垂直，则a=﹣1．其中正确命题的序号是．（把你认为正确命题的序号都填上）参考答案：②③略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知点A（3，4），C（2，0），点O为坐标原点，点B在第二象限，且|OB|=3，记∠AOC=θ．高．（Ⅰ）求sin2θ的值；（Ⅱ）若AB=7，求△BOC的面积．参考答案：考点：二倍角的正弦；任意角的三角函数的定义．分析：（Ⅰ）先由三角函数定义求sinθ、cosθ，再根据正弦的倍角公式求出sin2θ；（Ⅱ）设点B坐标，然后列方程组解之，最后由三角形面积公式求得答案．解答： 解：（Ⅰ）∵A点的坐标为（3，4），∴，∴，∴（Ⅱ）设B（x，y），由OB=3，AB=7得解得或，又点B在第二象限，故．∴△BOC的面积点评：本题考查三角函数定义、正弦的二倍角公式及方程思想．19.某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，统计情况如下表：

同意不同意合计男生a5

女生40d

合计

100（1）求a，d的值；（2）根据以上数据，能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由；附：0.150.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635参考答案：（1）因为100人中同意父母生“二孩”占60%，所以，

（2）由列联表可得而所以有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关.20.（本题满分14分）在ΔABC中，角A,B,C的对边长分别是a、b,c,若.(1)求内角B的大小；

(2)若b=2,求面积的最大值.参考答案：由正弦定理知：，

.∴,，∵，∴，∴，∴，即的面积的最大值是.略21.某市需对某环城快速车道进行限速，为了调研该道路车速情况，于某个时段随机对100辆车的速度进行取样，测量的车速制成如下条形图：经计算：样本的平均值μ=85，标准差σ=2.2，以频率值作为概率的估计值．已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于μ﹣3σ或车速大于μ+2σ是需矫正速度．（1）从该快速车道上所有车辆中任取1个，求该车辆是需矫正速度的概率；（2）从样本中任取2个车辆，求这2个车辆均是需矫正速度的概率；（3）从该快速车道上所有车辆中任取2个，记其中是需矫正速度的个数为ε，求ε的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）记事件A为“从该快速车道上所有车辆中任取1个，该车辆是需矫正速度”，因为μ﹣3σ=78.4，μ+2σ=89.4，由样本条形图可得所求的概率．（2）记事件B为“从样本中任取2个车辆，这2个车辆均是需矫正速度”由题设可知样本容量为100，又需矫正速度个数为5个，可得所求概率．（3）需矫正速度的个数ε服从二项分布，即?～B，即可得出．【解答】解：（1）记事件A为“从该快速车道上所有车辆中任取1个，该车辆是需矫正速度”，因为μ﹣3σ=78.4，