江西省上饶市永铜中学高三数学文期末试题含解析

江西省上饶市永铜中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在区间[0,1]上随机取两个数，，则函数有零点的概率是A．

B．

C．

D．参考答案：D2.已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为A∩B空集。若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为（

）A.62

B.66

C.68

D.74参考答案：B解：先证|A∪B|≤66，只须证|A|≤33，为此只须证若A是{1，2，…，49}的任一个34元子集，则必存在n∈A，使得2n+2∈B。证明如下：将{1，2，…，49}分成如下33个集合：{1，4}，{3，8}，{5，12}，…，{23，48}共12个；{2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38}共4个；{25}，{27}，{29}，…，{49}共13个；{26}，{34}，{42}，{46}共4个。由于A是{1，2，…，49}的34元子集，从而由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A，即存在n∈A，使得2n+2∈B。如取A={1，3，5，…，23，2，10，14，18，25，27，29，…，49，26，34，42，46}，B={2n+2|n∈A}，则A、B满足题设且|A∪B|≤66。3.已知函数在上恰有一个极值点和一个零点，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A作出函数的图像，依题意可得，解得．4.函数的定义域为（A）（B）（C）（D）参考答案：C5.如果执行如图所示的程序框图，输出的结果为A.43B．69C.72D．54参考答案：C6.已知F1，F2分别为双曲线的左右焦点，P是抛物线与双曲线的一个交点，若，则抛物线的准线方程为（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】求出点坐标，计算，，列方程计算的值即可得出答案．【详解】双曲线的标准方程为，双曲线的左焦点为抛物线的焦点，联立方程组，消元可得，解得（舍或．不妨设在第二象限，则，，又，，，，即．所以抛物线的方程为抛物线的准线方程为．故选：．【点睛】本题主要考查双曲线和抛物线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.执行如右图所示的程序框图，则输出的k值是（）A.10

B.11

C.12

D.13参考答案：B考查等比数列前n项和，注意输出前k先加1即8.数列的前项和为,前项积为,且,则等于(

)A.31

B.62

C.124

D.126参考答案：B略9.《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A．18

B．17

C.16

D．15参考答案：B10.关于函数f（x）=x2（lnx﹣a）+a，给出以下4个结论：①?a＞0，?x＞0，f（x）≥0；②?a＞0，?x＞0，f（x）≤0；③?a＞0，?x＞0，f（x）≥0；④?a＞0，?x＞0，f（x）≤0．其中正确结论的个数是(

) A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：D考点：命题的真假判断与应用；全称命题；特称命题．专题：简易逻辑．分析：①令a=，进行验证即可；②令a=5，通过验证结论成立；③当a=5时，举反例x=5时，不满足条件；④求函数的导数，判断函数存在极值进行判断．解答： 解：①当a=，则f（x）=x2（lnx﹣）+，函数的定义域为（0，+∞），此时函数的导数f′（x）=2x（lnx﹣）+x2=2xlnx﹣x+x=2xlnx，由f′（x）=0得，x=1，则当x＞1时，则f′（x）＞0，此时函数递增，当0＜x＜1时，则f′（x）＜0，此时函数递减，故当x=1时，函数f（x）取得极小值同时也是最小值f（1）=﹣+=0，则对?x＞0，f（x）≥f（1）=0；故①正确，②当a=5，则f（x）=x2（lnx﹣5）+5，则f（e）=e2（lne﹣5）+5=﹣4e2+5＜0，故②?a＞0，?x＞0，f（x）≤0，成立．③由②知当a=5时，?x=e，满足e＞0，但f（e）＜0，故③?a＞0，?x＞0，f（x）≥0不成立，故③错误．④函数的导数f′（x）=2x（lnx﹣a）+x2=2x（lnx﹣a）+x=x（2lnx﹣2a+1）=2x（lnx+）．由f′（x）=0，则lnx+=0，即lnx=a﹣，即?a＞0，函数f（x）都存在极值点，即?x＞0，f（x）≤0成立，故④正确，综上正确是有①②④，故选：D点评：本题主要考查命题的真假判断，利用特殊值法和排除法是解决本题的关键．难度较大．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设，则“”是“直线与直线平行”的_______.

（填充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件之一）参考答案：充分不必要条件12.已知，则不等式的解集是_________.参考答案：13.（5分）（2015?万州区模拟）已知向量，若⊥，则16x+4y的最小值为．参考答案：8【考点】：基本不等式；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】：计算题．【分析】：利用向量垂直的充要条件：数量积为0，得到x，y满足的等式；利用幂的运算法则将待求的式子变形；利用基本不等式求出式子的最小值，注意检验等号何时取得．【解答】：∵∴4（x﹣1）+2y=0即4x+2y=4∵=当且仅当24x=22y即4x=2y=2取等号故答案为8【点评】：本题考查向量垂直的充要条件：数量积为0；考查利用基本不等式求函数的最值需注意满足的条件：一正、二定、三相等．14.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为，直线与双曲线的一个交点P满足，则双曲线的离心率为_____．参考答案：【分析】由题意，利用直角三角形的边角关系即可得到，，再利用双曲线的定义及离心率的计算公式即可得出．【详解】解：如图所示，直线的斜率，则对应直线的倾斜角为，即，则，，即，，，由双曲线的定义可得：，即，即，即双曲线的离心率，故答案为：.【点睛】熟练掌握圆的性质、直角三角形的边角关系、双曲线的定义、离心率的计算公式是解题的关键，属于基础题．15.幂函数的图像经过点，则的值为__________参考答案：216.设k是非零常数，则直线与曲线的公共点个数为

个。参考答案：417.已知=

。参考答案：2由得，所以。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数=的图像在点处的切线为求函数的解析式。当时，求证：；若对任意的恒成立，求实数k的取值范围。参考答案：（Ⅰ）f（x）=ex-x2+a，f'（x）=ex-2x．

由已知?，f（x）=ex-x2-1．

（Ⅱ）令φ（x）=f（x）+x2-x=ex-x-1，φ'（x）=ex-1，由φ'（x）=0，得x=0，

当x∈（-∞，0）时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减；

当x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增．

∴φ（x）min=φ（0）=0，从而f（x）≥-x2+x．…（8分）

（Ⅲ）f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立?＞k对任意的x∈（0，+∞）恒成立，

令g(x)=，x＞0，

∴g′(x)===．

由（Ⅱ）可知当x∈（0，+∞）时，ex-x-1＞0恒成立，令g'（x）＞0，得x＞1；g'（x）＜0，得0＜x＜1．

∴g（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．g（x）min=g（1）=0．

∴k＜g（x）min=g（1）=0，∴实数k的取值范围为（-∞，0）略19.已知函数，曲线在处的切线方程为.（1）若在上有最小值，求的取值范围；（2）当时，若关于的不等式有解，求的取值范围.参考答案：20.在直角坐标系中，曲线（为参数），在以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线．（Ⅰ）写出曲线和的普通方程；（Ⅱ）若曲线上有一动点，曲线上有一动点，求使最小时点的坐标．参考答案：（Ⅰ），（Ⅱ）设，结合图形可知：最小值即为点到直线的距离的最小值．∵到直线的距离∴当时，最小，即最小．此时，，结合可解得：，即所求的坐标为21.已知函数，.

（1）如果函数在上是单调减函数，求的取值范围；是否存在实数，使得方程在区间内有且只

有两个不相等的实数根？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）①当a=0时，f（x）=2x在[1，+∞）上是单调增函数，不符合题意；

②当a＞0时，y=f（x）的对称轴方程为x=-，y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，不符合题意；

③当a＜0时，函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调减函数，则-≤1，解得a≤-2，

综上，a的取值范围是a≤-2；

（2）把方程=f′（x）-（2a+1）整理为=ax+2-(2a+1)，即方程ax2+（1-2a）x-lnx=0，

设H（x）=ax2+（1-2a）x-lnx（x＞0），则原问题等价于函数H（x）在区间（，e）内有且只有两个零点．H′（x）=2ax+（1-2a）-==，令H′（x）=0，因为a＞0，解得x=1或x=-（舍），当x∈（0，1）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数；当x∈（1，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数．H（x）在（，e）内有且只有两个不相等的零点，只需，即0<a<，所以a的取值范围是（1，）．略22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．(1)求曲线C1与曲线C2两交点所在直线的极坐标方程；(2)若直线l的极坐标方程为，直线l与y轴的交点为M，与曲线C1相交于A，B两点，求的值.参考答案：（1）；（2）【分析】(1)先将和化为普通方程，可知是两个圆，由圆心的距离判断出两者相交，进而得相交直线的普通方程，再化成极坐标方程