广东省湛江市雷州新城中学高三数学理期末试卷含解析

广东省湛江市雷州新城中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知不等式组（其中）表示的平面区域的面积为4，点在该平面区域内，则的最大值为(

)（A）9

（B）6

（C）4

（D）3参考答案：D由题意，要使不等式组表示平面区域存在，需要，不等式组表示的区域如下图中的阴影部分，面积，解得，故选D.2.某中学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有A．4种

B．10种

C．18种

D．20种参考答案：B3.已知函数的图象上相邻的一个最大值点与对称中心分别为，，则函数的单调增区间为（

）A.， B.，C.， D.，参考答案：D【分析】由题意得出的解析式，利用三角函数的性质得出其单调增区间可得答案.【详解】解：由题意得：对称中心为，可得b=0，图象上相邻的一个最大值点与对称中心分别为，，可得，，，可得将代入可得，可得，且，，可得，令，可得，故选D.【点睛】本题主要考查三角函数的单调性及的性质，得出函数的解析式是解题的关键.4.函数的大致图象是

参考答案：【知识点】函数图像得确定.

B8C

解析：因为f(0)=-3,所以排除选项A、B；又因为时，,所以排除选项D,故选C.

【思路点拨】利用特殊值法排除三个选项得正确选项.

5.若的展开式中各项二项式系数之和为，的展开式中各项系数之和为，则的值为A．

B．

C．

D．（

）参考答案：答案：B6.对函数f（x）=，若?a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数的值．【分析】当m=2时，f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长；当m＞2时，只要即可，当m＜2时，只要即可，由此能求出结果．【解答】解：当m=2时，f（x）==1，此时f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长，成立；当m＞2时，，只要即可，解得2＜m＜5；当m＜2时，，只要即可，解得，综上．故选：C．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．7.（2013?黄埔区一模）若z=cosθ+isinθ（θ∈R，i是虚数单位），则|z﹣2﹣2i|的最小值是（）A．B．C．D．参考答案：D略8.在同一直角坐标系下作的图象，有下面四种判断：①两支图象可能无公共点。②若两支图象有公共点，则公共点一定在直线y=x上③若两支图象有公共点，则公共点个数可能1个，不可能2个④若两支图象有公共点，则公共点个数最多可能有3个。以上这四种判断中，错误的判断共有______个A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：B9.已知双曲线上一点，过双曲线中心的直线交双曲线于两点，记直线的斜率分别为，当最小时，双曲线离心率为(

)A．

B．

C

D参考答案：B10.关于复数Z=的四个命题：p1：|Z|=2p2：Z2=2ip3：Z的共轭复数为1+ip4：Z的虚部为﹣1．其中的真命题为（）A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4参考答案：C【考点】复数相等的充要条件．【分析】复数Z==﹣1﹣i，再利用复数的有关概念及其运算即可判断出结论．【解答】解：复数Z===﹣1﹣i．p1：|Z|==≠2，因此不正确；p2：Z2=2i，正确；p3：Z的共轭复数为﹣1+i，因此不正确；p4：Z的虚部为﹣1．正确．其中的真命题个数为2．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知底面边长为,各侧面均为直角三角形的正三棱锥P-ABC的四个顶点都在同一球面上,则此球的表面积为

。参考答案：3π【知识点】单元综合G12由题意知此正三棱锥的外接球即是相应的正方体的外接球，此正方体的面对角线为，边长为1．正方体的体对角线是．故外接球的直径是，半径是．

故其表面积是4×π×()2=3π．【思路点拨】底面边长为，各侧面均为直角三角形的正三棱锥可以看作是正方体的一个角，故此正三棱锥的外接求即此正方体的外接球，由此求出正方体的体对角线即可得到球的直径，表面积易求12.已知集合,则_____参考答案：.13.有下列四个命题：①函数的值域是②平面内的动点到点和到直线的距离相等，则的轨迹是抛物线；③直线与平面相交于点，且与内相交于点的三条直线所成的角相等,则④若则其中正确的命题的编号是___参考答案：③④略14.已知a，b为正实数，直线y=x﹣a与曲线y=ln（x+b）相切，则+的最小值为．参考答案：5+2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；7F：基本不等式．【分析】求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得a+b=1，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．【解答】解：y=ln（x+b）的导数为y′=，由切线的方程y=x﹣a可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1﹣b，切点为（1﹣b，0），代入y=x﹣a，得a+b=1，∵a、b为正实数，则+=（a+b）（+）=2+3++≥5+2=5+2．当且仅当a=b，即a=，b=3﹣时，取得最小值5+2．故答案为：5+2．15.已知，函数在上单调递减,则的取值范围是

▲

参考答案：16.在△ABC中，设AD为BC边上的高，且AD=BC，b，c分别表示角B，C所对的边长，则的取值范围是____________．参考答案：17.若直线过点，且是它的一个法向量，则的方程为

。参考答案：本题考查直线方程的求解，难度中等.因为（1,2）是直线的一个法向量，所以该直线的斜率是，所以直线的方程为，即为.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图(1)所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图(2)所示．(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值．参考答案：详见解析【知识点】立体几何综合解：(1)证明：在图(1)中，

因为AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，

∠BAD＝，所以BE⊥AC，BE∥CD．

即在图(2)中，BE⊥OA1，BE⊥OC，

又OA1∩OC＝O，OA1?平面A1OC，OC?平面A1OC，

从而BE⊥平面A1OC．

又CD∥BE，

所以CD⊥平面A1OC．

(2)

由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，

又由(1)知，BE⊥OA1，BE⊥OC，

所以∠A1OC为二面角A1-BE-C的平面角，

所以∠A1OC＝．

如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别

为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

因为A1B＝A1E＝BC＝ED＝1，BC∥ED，

所以B(，0，0)E(－，0，0)，A1(0，0，)，C(0，，0)

得＝(－，，0)，＝(0，，－)

＝＝(－，0，0)．

设平面A1BC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n2＝(x2，y2，z2)，平面A1BC与平面A1CD的夹角为θ，

则得取n1＝(1，1，1)；

得取n2＝(0，1，1)，

从而cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝，

即平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值为．19.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）写出直线l的直角坐标方程；（2）设点M的坐标为，若点M是曲线C截直线l所得线段的中点，求l的斜率.参考答案：(1)见解析，(2)-1.【分析】（1）讨论倾斜角α的情况，即可写出直线的直角坐标方程。（2）将M的极坐标化为直角坐标，将曲线C的极坐标化为直角坐标，并把直线参数方程代入曲线C

的直角坐标，可得【详解】（1）当时，直线的直角坐标方程为；当时，直线的直角坐标方程为.（2）点的直角坐标为，曲线的直角坐标方程为，把代入曲线的直角坐标方程，化简得点是曲线截直线所得线段的中点则，即化简可得，所以直线斜率为-1.【点睛】本题考查了极坐标方程、直角坐标方程的转化，参数方程与直角坐标方程联立的用法，属于中档题。

20.已知数列{an}的前n项和Sn满足(n≥2,n∈N)，且.（1）求数列的通项公式an；（2）记，Tn为{bn}的前n项和，求使成立的n的最小值.参考答案：（1）由已知有，数列为等差数列，且，，即，当时，，又也满足上式，；(2）由（1）知，，由有，有，所以，的最小值为5.21.如图，已知F是抛物线C：的焦点，过E(﹣l，0)的直线与抛物线分別交于A，B两点（点A，B在x轴的上方）．（1）设直线AF，BF的斜率分別为，，证明：；（2）若ABF的面积为4，求直线的方程．参考答案：(1)见解析；(2)【分析】（1）设直线的方程为x＝my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线方程利用韦达定理可得.（2）S△ABF＝S△EFB﹣S△EFA＝|y1﹣y2|＝．解得m即可．【详解】（1）当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合题意．当直线的斜率不为0时，设直线的方程为x＝my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线方程可得得y2﹣4my+4＝0，可得y1+y2＝4m，y1y2＝4∴.（2）S△ABF＝S△EFB﹣S△EFA＝|y1﹣y2|＝．解得m＝（负值舍去）．∴直线的方程为：．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．22.

某校高三年级文科共有800名学生参加了学校组织的模块测试，教务处为