湖南省衡阳市胜桥中学高三数学理下学期摸底试题含解析

湖南省衡阳市胜桥中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知i是虚数单位，若为纯虚数，则实数a=

A．-1

B．0

C．1

D．1或-l参考答案：D2.已知函数的反函数为，则= （

） A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C略3.若函数，则满足的x的取值范围为A． B． C． D．参考答案：B4.已知，给出下列命题：

①若，则；②若ab≠0，则；③若，则；

其中真命题的个数为(A)3

(B)2

(C)1

(D)0参考答案：C.当时，，所以①为假命题；当与异号时，，，所以②为假命题；因为，所以，③为真命题.5.已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，是以F2P为底边的等腰三角形，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B6.当时，则下列大小关系正确的是

A．

B． C．

D．参考答案：7.用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(

)A．243

B．252

C．261

D．279参考答案：B8.已知函数，集合 ，，记分别为集合中的元素个数，那么下列结论不正确的是A．

B．C．

D．参考答案：D9.（5分）某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N（105，102），已知P（95≤ξ≤105）=0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（）A．10B．9C．8D．7参考答案：B【考点】：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】：计算题；概率与统计．【分析】：根据考试的成绩ξ服从正态分布N（105，102）．得到考试的成绩ξ关于ξ=105对称，根据P（95≤ξ≤105）=0.32，得到P（ξ≥105）=（1﹣0.64）=0.18，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N（105，102）．∴考试的成绩ξ关于ξ=105对称，∵P（95≤ξ≤105）=0.32，∴P（ξ≥105）=（1﹣0.64）=0.18，∴该班数学成绩在115分以上的人数为0.18×50=9故选：B．【点评】：本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩ξ关于ξ=105对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．10.若“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是A. B.

C.

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的极大值为正数，极小值为负数，则的取值范围是____________．参考答案：略12.直线l的参数方程是（其中t为参数），圆c的极坐标方程为，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是

.参考答案：2【知识点】选修4-4

参数与参数方程N3∵圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+），∴ρ2=ρcosθ-ρsinθ，

∴x2+y2=x-y，即（x-）2+（y+）2=1，

∴圆C是以M（，-）为圆心，1为半径的圆

化直线l的参数方程（t为参数）为普通方程：x-y+4=0，

∵圆心M（，-）到直线l的距离为d==5，

要使切线长最小，必须直线l上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心M（，-）到直线的距离d，由勾股定理求得切线长的最小值为==2．【思路点拨】将圆的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离，要使切线长最小，必须直线l上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心到直线的距离d，求出d，由勾股定理可求切线长的最小值．13.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是_______.参考答案：【分析】记事件为“一天的空气质量为优良”,事件为“第二天的空气质量也为优良”,根据条件概率公式可求出答案.【详解】记事件为“一天的空气质量为优良”,事件为“第二天的空气质量也为优良”,则,,根据条件概率公式可得:.故答案为:.【点睛】本题考查了条件概率的计算,考查了条件概率公式的应用,属于基础题.14.

数列的连续项，则等比数列=

。参考答案：答案：215.若(a＋1)＜(3－2a)，则a的取值范围是__________．参考答案：16.函数y=2sin（2x﹣）与y轴最近的对称轴方程是．参考答案：x=﹣【考点】正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：对于函数y=2sin（2x﹣），令（k∈Z）时，，因此，当k=﹣1时，得到，故直线x=﹣是与y轴最近的对称轴，故答案为：x=﹣．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．17.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是_____．参考答案：16三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)已知数列的前项和为，且．数列为等比数列，且，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和；参考答案：（Ⅰ）∵数列的前项和为，且，∴当时，．当时，亦满足上式，故，．

又数列为等比数列，设公比为，∵，，

∴．∴．

（Ⅱ）．．所以．19.已知函数。（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值．参考答案：(1)因为f(x)＝4cosxsin－1＝4cosx－1＝sin2x＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x＝2sin，所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤.于是，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－1.略20.已知函数f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=，=2+2cos（A+C），求f（B）的值．参考答案：【考点】HR：余弦定理；GQ：两角和与差的正弦函数；HP：正弦定理．【分析】（1）由二倍角公式以及变形、两角和的正弦公式化简解析式，由x的范围求出2x+的范围，由正弦函数的性质求出f（x）的值域；（2）由两角和与差的正弦公式、正弦定理化简已知的式子，由条件和余弦定理求出cosA的值，由A的范围和特殊角的三角函数值求出A，由三角形的内角和定理求出B，代入可得f（B）的值．【解答】解：（1）∵f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3=sin2x﹣3?﹣+3=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[，1]，则2sin（2x+）+1∈[0，3]，即函数f（x）=2sin（2x+）+1的值域是[0，3]；（2）∵=2+2cos（A+C），∴sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），﹣sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA，即sinC=2sinA，由正弦定理可得c=2a，又由=可得b=a，由余弦定理可得cosA===，又0°＜A＜180°，∴A=30°，则sinC=2sinA=1，即C=90°，∴B=180°﹣A﹣C=60°，∴f（B）=f（）=2sin（+）+1=2．21.（14分）已知函数（）（1）求的单调区间;（2）时，判断方程:根的个数并说明理由;（3）有两个极值点且证明:.参考答案：【知识点】导数的应用；推理与证明.

B12

M2【答案解析】（1）当时，有单调增区间为当时的单调增区间为，单调递减区间为当时的单调增区间为，单调递减区间为

（2）有且只有一个根.理由略；（3）略解析：（1）函数的定义域为，

---1分令当，即时，函数在单调递增-----2分当，即时方程由两解

---3分当时，有，此时：；时，时，

---4分当时有

---5分综上所述：当时，有单调增区间为当时的单调增区间为，单调递减区间为当时的单调增区间为，单调递减区间为

----6分

（2）由已知方程：，得令，则

-------7分当x变化时，变化如下表：xa2+0-0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增由a的取值范围是，所以

------8分由上表知在上单调递增，在上单调递减所以时，有所以在上无零点

-----9分，又在单调递增，在区间有唯一零点所以原方程有且只有一个根.

--------10分（3）由题意知有两个不同的根，有两解可知，由于，由（1）知

--11分得：

-----12分其中

---13分函数在上递增；

----14分【思路点拨】（1）先求函数的定义域，再求导函数，通过讨论的取值条件，得导函数为零的根的大小关系，从而得导函数大于零或小于零的范围，亦是的单调区间;；（2）由，得，令，则判断方程的根个数，利用导数求函数的极值点，通过确定极值点在轴的上方还是下方，以及单调性、函数值符号等，来确定方程:根的个数.（2）由（1）知时有两个极值点,且是即的两个根，可知，由于，所以，由得，其中，函数在上递增；

.22.设F1，F2分别是椭圆D：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2作倾斜角为的直线交椭圆D于A，B两点，F1到直线AB的距离为2，连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为2．（1）求椭圆D的方程；（2）设过点F2的直线l被椭圆D和圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4所截得的弦长分别为m，n，当m?n最大时，求直线l的方程．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）求得直线AB的方程，利用点到直线的距离公式求得c的值，根据三角形的面积公式ab=，由a2=b2+c2，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2