苏教版选择性7.4.2二项式系数的性质及应用课件（26张）

二项式系数的性质及应用

1、二项式定理一般地，对于n∈N*，有这个公式叫作二项式定理，右边的多项式叫作(a＋b)n的二项展开式，它一共有n＋1项，其中叫作二项展开式的第r＋1项(也称通项)，用Tr＋1表示，即(r＝0，1，2，···，n)叫作二项式系数。复习回顾

2、二项式展开式特点①项数：共n＋1项；②指数：a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中a，b

的指数和为n；③系数：第r＋1项的二项式系数为。复习回顾1

问题情境(a＋b)n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3，···时，如下表所示：提出问题：发现什么特点？

数史简介这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似下面的表：杨辉三角：表中除“1”以外的每一个数都等于肩上两数

之和。

数学探究问题：二项式系数有什么特点？(a＋b)n展开式的二项式系数为：从函数的角度看，可看成是以r为自变量的函数f(r)，其定义域是{0，1，2，···，n}，即：

数学探究问题：二项式系数有什么特点？(1)对称性每一行中的二项式系数是“对称”的，即第1项与最后一项的二项式系数相等，即第2项与倒数第2项的二项式系数相等，···，与首末两端“等距离”的二项式系数相等，即：图象的对称轴为

数学探究问题：二项式系数有什么特点？(2)可加性图中每行两端都是1，而且除1以外的的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即：

数学探究问题：二项式系数有什么特点？(3)增减性与最大值图中每行二项式系数从两端向中间逐渐增大，即：当时，；当时，。证明：当时，要证明：，只要证即要证，即要证，而是已知条件，故结论得证。同理，当时，也成立。

数学探究问题：二项式系数有什么特点？(3)增减性与最大值二项式系数先增后减，中间一项或两项最大，即：当n为偶数时，中间的一项(第项)二项式系数中，以最大；当n为奇数时，中间的两项(第、项)二项式系数中，以和(两者相等)最大。

数学探究问题：二项式系数有什么特点？(4)各二项式系数的和(a＋b)n展开式各项的二项式系数和为2n，即：证明：在二项式定理中，令a＝b＝1，就有赋值法

数学建构1、二项式系数的性质一般地，(a＋b)n展开式的二项式系数有如下性质：(2)

；(1)；(3)；当时，；当时，(4)。

数学应用类型一二项式系数和问题例1、证明：在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数

的和等于偶数项的二项式系数的和。证明：在二项式定理中，令a＝1，b＝－1，得

即

所以即在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系

数的和等于偶数项的二项式系数的和。思考：能计算它们的结果吗？

数学建构2、二项式系数的和(2)奇偶项二项式系数和(1)各项二项式系数的和取特殊值(又称赋值法)是解决二项式系数和(项的系数和)常用的一种方法，除此之外还有倒序相加法。数学练习1、化简：＝_______2、满足成立的最大正整

数n的值为_______数学应用例2、已知(a＋b)n的展开式中，(1)第10项和第11项的二项式系数最大，求n的值；(2)第3项和第5项的二项式系数相等，求n的值；(3)各项的二项式系数和为1024，求n的值。类型二二项式系数性质的应用数学练习1、在(a＋b)6的展开式中，与倒数第三项二项式系数相等

的是第_______项。2、在(1＋x)10的展开式中，二项式系数最大的项为______在(1－x)11的展开式中，二项式系数最大的项为______3、在(x－1)11的展开式中，二项式系数最大的项为______，

项的系数最大的项为____，项的系数最小的项为____数学应用例3、已知(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋···＋a1x＋a0，求：(1)a0＋a1＋a2＋···＋a6＋a7；(2)a1＋a2＋a3＋···＋a6＋a7；(3)a1＋a2＋a3＋···＋a6；(4)a1＋a2＋a3＋a4＋a6＋a7；(5)a1＋a3＋a5＋a7；(6)a0＋a2＋a4＋a6；(7)a2＋a4＋a6；(8)|a0|＋|a1|＋|a2|＋···＋|a6|＋|a7|

。类型三利用赋值法求项的系数和问题变式拓展已知(3x－1)7＝a7(x－1)7＋a6(x－1)6＋···＋a1(x－1)＋a0，求：(1)a0＋a1＋a2＋···＋a6＋a7；(2)a1＋a2＋a3＋···＋a6＋a7；(3)a1＋a2＋a3＋···＋a6；(4)a1＋a2＋a3＋a4＋a6＋a7；(5)a1＋a3＋a5＋a7；(6)a0＋a2＋a4＋a6；(7)a2＋a4＋a6；(8)|a0|＋|a1|＋|a2|＋···＋|a6|＋|a7|

。数学练习已知(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，求：(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4；(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|

；(3)a1＋a3＋a5；(4)

(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3＋a5)2。数学应用例4、在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数和；(2)各项系数和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项的系数和与偶数项的系数和；(5)求x的奇次项的系数和与偶次项的系数和。数学练习1、在的展开式中，其所有项的二项式系数和为_______，所有项的系数和为_______2、已知展开式的各项系数和比(1＋2x)2n展开

式的二项式系数和小240，则展开式中系数

最大项为_______数学练习3、(多选)已知(1－2x)2021＝a0＋a1x＋a2x2＋···＋a2021x2021，

则下列说法正确的是()(A)展开式中所有项的系数和为－1；(B)展开式中二项式系数最大项为第1010项；(C)；(D)a1＋2a2＋3a3＋···＋2021a2021＝－4042。ACD课堂检测

课本第80页练习第1、2、3、4、5题。

1、二项式系数的性质一般地，(a＋b)n展开式的二项式系数有如下性质：(2)

；(1)；(3)