考研数学三(二重积分)模拟试卷3(题后含答案及解析)

考研数学三（二重积分）模拟试卷3(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．下列结论正确的是()A．z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内两个偏导数存在，则z=f(x，y)在点(x0，y0)处连续B．z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内连续，则z=f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数存在C．z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内两个偏导数存在且有界，则z=f(x，y)在点(x0，y0)处连续D．z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内连续，则z=f(x，y)在点(x0，y0)该邻域内两个偏导数有界正确答案：C解析：二元函数的连续性与偏导数之间没有必然的联系．设在(x0，y0)的某邻域U内，对于任意(x，y)∈U有|fx’(x，y)|≤M，|fy’(x，y)|≤M(M为正常数)．由微分中值定理，|f(x，y)一f(x0，y0)|≤|f(x，y)一f(x，y0)|+|f(x，y0)一f(x0，y0)|=|fy’(x，y0+θ1△y).△y|+|fx’(x0+θ2△x，y0).△x|≤M(|△x|+|△y|)．这里△x=x—x0，△y=y—y0，0＜θ1，θ2＜1．当，有△x→0，△y→0，必有|f(x，y)一f(x0，y0)|≤M(|△x|+|△y|)→0，故f(x，y)在点(x0，y0)处连续．知识模块：微积分2．设f(u)具有二阶连续导数，且g(x，y)==()A．B．C．D．正确答案：A解析：依题意有知识模块：微积分填空题3．设存在二元可微函数u(x，y)，满足du(x，y)=(axy3一y2cosx)dx+(1+bysinx+3x2y2)dy，则常数a=____，b=_______，函数u(x，y)=_______．正确答案：2；一2；x2y3一y2sinx+y+C，其中C是任意常数解析：由题设条件知，=axy2一y2cosx,=1+bysinx+3x2y2，于是有即3axy2一2ycosx=6xy2+bycosx，所以a=2，b=一2．于是du(x，y)=(2xy3一y2cosx)dx+(1-2ysinx+3x2y2)dy=(2xy3dx+3x2y2dy)一(y2cosxdx+2ysinxdy)+dy=d(x2y3)-d(y2sinx)+dy=d(x2y3一y2sinx+y)，所以u(x，y)=x2y3一y2sinx+y+C(C是任意常数)．知识模块：微积分4．设F(u，v)对其变元u，v具有二阶连续偏导数，并设正确答案：解析：知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5．设函数f(x，y)可微，又f(0，0)=0，fx’(0，0)=a，fy’(0，0)=b，且φ(t)=f[t，f(t，t2)]，求φ’(0)．正确答案：在φ(t)=f[t，f(t，t2)]中令u=t，v=f(t，t2)，则φ(t)=f(u，v)，于是φ’(t)=f1’(u，v).=f1’(u，v).1+f2’(u，v).[f1’(t，t2).1+f2’(t，t2).2t]=f1’[t，f(t，t2)]+f2’[t，f(t，t2)].[f1’(t，t2)+f2’(t，t2).2t]，所以φ’(0)=f1’(0，0)+f2’(0，0)．[f1’(0，0)+f2’(0，0).2.0]=a+b(a+0)=a(1+b)．涉及知识点：微积分6．设+yφ(x+y)，其中f及φ二阶可微，求正确答案：令u=xy，v=c+y，则由于f及φ二阶可微，而u=xy，v=x+y均为初等函数，故满足这里先求较为简便一些．由复合函数的求导法则，得涉及知识点：微积分7．设其中函数f，g具有二阶连续偏导数，求正确答案：涉及知识点：微积分8．设函数z=f(u)，方程u=φ(u)+∫yxP(t)dt确定u是x，y的函数，其中f(u),φ(u)可微，P(t)，φ’(u)连续，且φ’(u)≠1．求正确答案：由z=f(u),可得在方程u=φ(u)+∫yxP(t)dt两边分别对x，y求偏导数，得涉及知识点：微积分9．设f(x，y)=正确答案：涉及知识点：微积分10．设函数f(u)在(0，+∞)内具有二阶导数，且(1)验证(2)若f(1)=0，f’(1)=1，求函数f(u)的表达式．正确答案：(1)(2)求可降阶的二阶线性微分方程的通解和特解．在方程)中，令f’(u)=g(u)，则f”(u)=g’(u)，方程变为这是可分离变量微分方程，解得．由初值条件f’(1)=1得C1=1，所以，，两边积分得f(u)=lnu+C2．由初值条件f(1)=0得C2=0，所以f(u)=lnu．涉及知识点：微积分11．设z=u(x，y)eax+y，．求常数a，使正确答案：将①，②，③式代入中并整理得所以a=1．涉及知识点：微积分12．求二元函数z=f(x，y)=x2y(4一x—y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值．正确答案：由方程组得线段x=0(0≤y≤6)，点(4，0)，(2，1)．而点(4，0)及线段x=0(0≤y≤6)在D的边界上，只有点(2，1)在D内部，可能是极值点．又fxx”=8y一6xy一2y2，fxy”=8x一3x2-4xy，fyy”=一2x2．在点(2，1)处，有因为B2一AC=一32＜0，且A＜0，所以点(2，1)是z=f(x，y)的极大值点，极大值f(2，1)=4．在D的边界x=0(0≤y≤6)及y=0(0≤x≤6)上，f(x，y)=0．在边界x+y=6上，y=6-x．代入f(x，y)中得z=2x3-12x2(0≤x≤6)．由z’=6x2一24x=0得x=0或x=4．在边界x+y=6上对应x=0，4，6处z的值分别为：z|x=0=(2x3一12x2)|x=0=0，z|x=4=(2x3一12x2)|x=4=一64，z|x=6=(2x3—12x2)|x=6=0．I因此知z=f(x，y)在边界上的最大值为0，最小值为f(4，2)=一64．将边界上最大值和最小值与驻点(2，1)处的值比较得，z=f(x，y)在闭区域D上的最大值为f(2，1)=4，最小值为f(4，2)=一64．涉及知识点：微积分13．某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R万元与电台广告费x1万元及报纸广告费用x2万元之间的关系有如下经验公式：R=15+14x1+32x2—8x1x2—2x12一10x22．(1)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；(2)若提供的广告费用为1．5万元，求相应的最优广告策略．正确答案：(1)利润函数为z=f(x1，x2)=15+14x1+32x2—8x1x2—2x12一10x22一(x1+x2)=15+13x1+31x2—8x1x2—2x12一10x22．函数z=f(x1，x2)在点(0．75，1．25)处的二阶导数为由于B2一AC=64—80=一16＜0，A=一4＜0，所以函数z=f(x1，x2)在(0．75，1．25)处达到极大值，也即最大值．所以投入电台广告费0．75万元，报纸广告费1．25万元时，利润最大．(2)若广告费用为1．5万元，则需求利润函数z=f(x1，x2)在x1+x2=1．5时的条件极值．构造拉格朗日函数F(x1，x2，λ)=15+13x1+31x2-8x1x2—2x12一10x22+λ(x1+x2—1．5)，由方程组得x1=0，x2=1．5，即将广告费1．5万元全部用于报纸广告，可使利润最大．涉及知识点：微积分14．求f(x，y)=x+xy—x2一y2在闭区域D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤2}上的最大值和最小值．正确答案：这是闭区域上求最值的问题．由于函数f(x，y)=x+xy一x2-y2在闭区域D上连续，所以一定存在最大值和最小值．首先求f(x，y)=x+xy一x2一y2在闭区域D内部的极值：解方程组得区域D内部唯一的驻点为由g(x，y)=(fxy”)2一fxx”fyy”=一3，fxx”=一2，得f(x，y)=x+xy—x2一y2在闭区域D内部的极大值再求f(x，y)在闭区域D边界上的最大值与最小值：这是条件极值问题，边界直线方程即为约束条件．在z轴上约束条件为y=0(0≤x≤1)，于是拉格朗日函数为F(x，y，λ)=x+xy一x2一y2+λy，在下边界的端点(0，0)，(1，0)处f(0，0)=0，f(1，0)=0，所以下边界的最大值为最小值为0．同理可求出：在上边界上的最大值为一2，最小值为一4；在左边界上的最大值为0，最小值为一4；在右边界上的最大值为，最小值为一2．比较以上各值，可知函数f(x，y)=x+xy一x2一y在2闭区域D上的最大值为最小值为一4．涉及知识点：微积分15．求函数z=x2+y2+2x+y在区域D：x2+y2≤1上的最大值与最小值．正确答案：由于x2+y2≤1是有界闭区域，z=x2+y2+2x+y在该区域上连续，因此一定能取到最大值与最小值．②函数在区域内部无偏导数不存在的点．③再求函数在边界上的最大值点与最小值点，即求z=x2+y2+2x+y满足约束条件x2+y2=1的条件极值点．此时，z=1+2x+y．用拉格朗日乘数法，作拉格朗日函数L(x，y，λ)=1+2x+y+λ(x2+y2-1)，所有可疑点仅有两个，由于所以z的最小值m=涉及知识点：微积分16．求内接于椭球面的长方体的最大体积．正确答案：设该内接长方体体积为v，P(x，y，z)(x＞0，y＞0，z＞0)是长方体的一个顶点，且位于椭球面上，由于椭球面关于三个坐标平面对称，所以v=8xyz，x＞0，y＞0，z＞0且满足条件．因此，需要求出v=8xyz在约束条件下的极值．①，②，③分别乘以x，y，z，有得或λ=0(λ=0时，8xyz=0，不合题意，舍去)．把由题意知，内接于椭球面的长方体的体积没有最小值，而存在最大值，因而以点为顶点所作对称于坐标平面的长方体即为所求的体积最大的长方体，体积为涉及知识点：微积分17．在第一象限的椭圆上求一点，使原点到过该点的法线的距离最大．正确答案：椭圆上任意一点(x，y)处的法线方程为原点到该法线的距离为记f(x，y)=，x＞0，y＞0，约束条件为g(x，y)=，构造拉格朗日函数h(x，y，λ)=f(x，y)+λg(x，y)．根据条件极值的求解方法，先求根据问题的实际意义，到原点距离最大的法线是存在的，驻点只有一个，所得即所求，故可得出所求的点为涉及知识点：微积分18．讨论下列函数在点(0，0)处的①偏导数的存在性；②函数的连续性；③函数的可微性．正确答案：(1)①按定义易知fx’(0，0)=0，fy’(0，0)=0，故f(x，y)在点(0，0)处偏导数存在．②当(x，y)→(0，0)时，|f(x，y)一f(0，0)|=，所以f(x，y)在点(0，0)处连续．③△f=f(0+△x，0+△y)-f(0，0)=按可微定义，若可微，则但上式并不成立(例如取△y=k△x，上式左边为)，故不可微．(2)以下直接证明③成立，由此可推知①，②均成立．事实上，按可微的定义知，g(x，y)在点(0，0)处可微．涉及知识点：微积分19．设f(x，y)在点O(0，0)的某邻域U内连续，且试讨论f(0，0)是否为f(x，y)的极值?是极大值还是极小值?正确答案：再令a=+b，b＞0，于是上式可改写为由f(x，y)的连续性，有另一方面，由知，存在点(0，0)的去心邻域，当(x，y)∈时，有|α|＜．故在内，f(x，y)＞0．所以f(0，0)是f(x，y)的极小值．涉及知识点：微积分20．求函数f(x，y)=x2+2y2一x2y2在区域D={(x，y)|x2+y2≤4，y≥0)上的最大值与最小值．正确答案：先求f(x，y)在D内部的驻点．由fx’(x，y)=2x一2xy2=0，fy’(x，y)=4y一2x2y=0，解得x=0或y=±1；或y=0．经配对之后，位于区域D内部的点为经计算，有再考虑区域D边界上的f(x，y)．在y=0上，f(x，0)=x2，最大值f(2，0)=4，最小值f(0，0)=0．又在x2+y2=4(y＞0)上，=x2+2(4一x2)一x2(4一x2)=x4一5x2+8g(x)(一2＜x＜2)．令g’(x)=4x3一10x=0，得x=0或．比较所得函数值的大小，有涉及知识点：微积分21．设h(t)为三阶可导函数，u=h(xyz)，h(1)=fxy”(0，0)，h’(1)=fyx”(0，0)，且满足求u的表达式，其中正确答案：ux’=yzh’(xyz)，uxy”=zh’(xyz)+xyz2h”(xyz)，uxyz”‘=h’(xyz)+xyzh”(xyz)+2xyzh”(xyz)+x2y2z2h”‘(xyz)，由题可得3xyzh”(xyz)+h’(xyz)=0，令xyz=t，得3th”(t)+h’(t)=0．设v=h’(t)，得3tv’+v=0，分离变量，得又f(x，0)=0，则易知fx’(0，0)=0，当(x，y)≠(0，0)时，有于是fx’(0，y)=一y，所以fxy”(0，0)=一1，由对称性知fyx”(0，0)=1，所以h(1)=一1，h’(1)=1，从而故h(t)=涉及知识点：微积分22．证明：f(x，y)=Ax2+2Bxy+Cy2在约束条件g(x，y)=下有最大值和最小值，且它们是方程k2一(Aa2+Cb2)k+(AC—B2)a2b2=0的根．正确答案：因为f(x，y)在全平面连续，为有界闭区域，故f(x，y)在此约束条件下必有最大值和最小值．设(x1，y1)，(x2，y2)分别为最大值点和最小值点，令L(x，y，λ)=Ax2+2Bxy+Cy2+则(x1，y1)，(x2，y2)应满足方程记相应λ为λ1，λ2，则(x1，y1，λ1)满足解得λ1=Ax12+2Bx1y1+Cy12．同理λ2=Ax22+2Bx2y2+Cy22即λ1，λ2是f(x，y)在椭圆上的最大值和最小值．又方程组①和②有非零解，系数行列式为0，即化简得λ2一(Aa2+Cb2)λ+(AC—B2)a2b2=0，所以λ1，λ2是上述方程(即题目所给方程)的根．涉及知识点：微积分23．某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为p1和p2，销售量分别为q1和q2．需求函数分别为：q1=2-ap1+bp2，q2=1-cp2+dp1．总成本函数C=3+k(q1+q2)．其中a，b，c，d，k都为大于0的常数，且4ac≠(b+d)2．试问厂家如何确定两个市场的售价，能够使获得的总利润最大．正确答案：收益函数R=p1q1+p2q2=2p1一ap12+p2一cp22+(b+d)p1p2．利润函数L=R—C=R—[3+k(q1+q2)]=2p1一ap12+p2一cp22+(b+d)p1p2—3一k(3一ap1+bp2一cp2+dp1)此时(由实际情况)获得的利润最大．涉及知识点：微积分24．设生产某种产品必须投入两种要素，x1和x2分别为两要素的投入量，Q为产出量．如果生产函数为Q=2x1αx2β，其中α，β为正常数，且α+β=1.假设两种要素价格分别为p1，p2．试问产出量为12时，两要素各投入多少，可以使得投入总费用最小?正确答案：费用c=p1x1+p2x2，条件：12=2x1αx2β．构造拉格朗日函数：F(x1，x2，λ)=p1x1+p2x2+λ(12—2x1αx2β)．于是，有此时投入总费用最小．涉及知识点：微积分25．设生产函数和成本函数分别为当成本预算为S时，两种要素投入量x和y为多少时，产量Q最大，并求最大产量．正确答案：令F(x，y，λ)=ln(lxαyβ)+λ(S一ax一by)=lnl+αlnx+βlny+λ(S—ax—by)，则此时产量Q最大，即涉及知识点：微积分26．设z=f(x，y)在点(1，2)处存在连续的一阶偏导数，且f(1，2)=2，f1’(1，2)=3，f2’(1，2)=4，φ(x)=f(x，f(x，2x))．求正确答案：因φ(1)=f(1,f(1，2))=f(1，2)=2，φ’(x)=f1’(x，f(x，2x))+f2’(x，f(x，2x))=f1’(x，f(x，2x))+f2’(x，f(x，2x))[f1’(x，2x)+2f2’(x，2x)]，φ’(1)=f1’(1，f(1，2))+f2’(1，f(1，2))[f1’(1，2)+2f2’(1，2)]=f1’(1，2)+f2’(1，2)[f1’(1，2)+2f2’(1，2)]=3+4×(3+8)=47，故=3φ2(1)φ’(1)=3×22×47=564．涉及知识点：微积分27．设f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且表达式[xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy为某二元函数u(x，y)的全微分．(1)求f(x)；(2)求u(x，y)的一般表达式．正确答案：(1)由题意知，du=[xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy，即=xy(1+y)一f(x)y，=f(x)+x2y．由于f(x)具有一阶连续导数，所以u的二阶混合偏导数连续，所以有即有x(1+2y)一f(x)=f’(x)+2xy，f’(x)+f(x)=x．又f(0)=0，可求得f(x)=x一1+e-x．(2)由(1)知du=(xy2+y—ye-x)dx+(x一1+e-x+x2y)dy．求u(x，y)有多种方法．du=(xy2+y-ye-x)dx+(x-1+e-x+x2y)dy=xy